Как выразить синус через косинус

Универсальная тригонометрическая подстановка, вывод формул, примеры

Данная статья посвящена разбору такой темы, как универсальная тригонометрическая подстановка. Суть данного термина состоит в том, что мы находим значение любой тригонометрической функции ( sin α , cos α , t g α , c t g α ) через формулу тангенса половинного угла. Этот вариант намного проще и рациональнее, так как выполнять дальнейшие вычисления легче без корней, а с целыми числами.

Мы подробно рассмотрим этот раздел. Для начала мы расскажем вам о формулах тангенса половинного угла, которой мы будем часто пользоваться. После мы перейдем к практическому применении формул, рассмотрим несколько примеров использования универсальной тригонометрической подстановки.

Универсальная тригонометрическая подстановка для sin α , cos α , t g α , c t g α

Во введении мы рассказали, что основной темой этого раздела станет основная тригонометрическая подстановка. Для начала запишем и разберем формулы, с помощью которых можно выразить sin α , cos α , t g α , c t g α через тангенс половинного угла α 2 .

sin α = 2 · t g α 2 1 + t g 2 α 2 , cos α = 1 — t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 · t g α 2 1 — t g 2 α 2 , c t g = 1 — t g 2 α 2 2 · t g α 2

Указанные формулы будут правильны для всех углов α . Для работы в задаче должен быть определен входящие тангенсы и котангенсы.

Формулы для sin α и cos α , sin α = 2 · t g α 2 1 + t g 2 α 2 и cos α = 1 — t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 имеют место для a ≠ π + 2 π · z , где z – любое целое число, так как при a = π + 2 π · z , t g α 2 не определен.

Формула t g α = 2 · t g α 2 1 — t g 2 α 2 справедлива для α ≠ π 2 + π · z и a ≠ π + 2 π · z , так как при a = π 2 + π · z не определен t g α Знаменатель дроби обращается в нуль, а при α = π + 2 π · z не определен t g α 2 .

Формула c t g = 1 — t g 2 α 2 2 · t g α 2 , выражающая c t g через t g α 2 , справедлива для a ≠ π · z , так как при a = π · z не определен c t g , при a = π + 2 π · z не определен t g α 2 , а при α = 2 π · z знаменатель дроби обращается в нуль.

Вывод формул

Разберем вывод формул, выражающих sin α , cos α , t g α , c t g α через тангенс половинного угла. Начнем с формул для синуса и косинуса. Представим синус и косинус по формулам двойного угла как sin α = 2 · sin α 2 · cos α 2 и cos α = cos 2 α 2 — sin 2 α 2 соответственно. Теперь выражения 2 · sin α 2 · cos α 2 и cos 2 α 2 — sin 2 α 2 запишем в виде дробей со знаменателем 1 как 2 · sin α 2 · cos α 2 1 и cos 2 α 2 — sin 2 α 2 1 . Воспользуемся основным тождеством из тригонометрии и заменим единицы в знаменателе на сумму квадратов sin и cos , после чего получаем 2 · sin α 2 · cos α 2 sin 2 α 2 + cos 2 α 2 и cos 2 α 2 — sin 2 α 2 sin 2 α 2 + cos 2 α 2

Для решения данного выражения необходимо числитель и знаменатель полученных дробей разделить на cos 2 α 2 (его значение не равно нулю при условии α ≠ π + 2 π · z ). Вся формула будет выглядеть так sin α = 2 · sin α 2 · cos α 2 = 2 · sin α 2 · cos α 2 sin 2 α 2 + cos 2 α 2 = 2 · sin α 2 · cos α 2 cos 2 α 2 sin 2 α 2 + cos 2 α 2 cos 2 α 2 = 2 · sin α 2 cos α 2 sin 2 α 2 с os 2 α 2 + cos 2 α 2 с os 2 α 2 = 2 · t g α 2 t g 2 α 2 + 1

и cos α = cos 2 α 2 — sin 2 α 2 = c os 2 α 2 — sin 2 α 2 1 = c os 2 α 2 — sin 2 α 2 sin 2 α 2 + c os 2 α 2 = = cos 2 α 2 — sin 2 α 2 c os 2 α 2 sin 2 α 2 + c os 2 α 2 c os 2 α 2 = cos 2 α 2 cos 2 α 2 — sin 2 α 2 cos 2 α 2 sin 2 α 2 c os 2 α 2 + cos 2 α 2 c os 2 α 2 = 1 — t g 2 α 2 t g 2 α 2 + 1

Мы закончили вывод формул для sin и cos , завершив все вычислительные действия.

Следующий шаг – это вывод определенных формул для нахождения t g и c t g .

Взяв за основу описанные выше примеры t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α , мы сразу получаем формулы, которые выражают тангенс и котангенс через тангенс половинного угла:

t g α = sin α cos α = 2 · t g α 2 1 + t g 2 α 2 1 — t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 = 2 · t g α 2 1 — t g 2 α 2 ;

c t g α = cos α sin α = 1 — t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 2 · t g α 2 1 + t g 2 α 2 = 1 — t g 2 α 2 2 · t g α 2 ;

В этом разделе мы нашли все формулы, которые нам потребуются для выражения основных тригонометрических функций.

Примеры использования в задачах и упражнениях

Для начала рассмотрим пример применения универсальной тригонометрической подстановки при преобразовании выражений.

Необходимо привести 2 + 3 · cos 4 α sin 4 α — 5 к примеру, который содержит только одну функцию t g 2 α .

В данном упражнении мы также воспользуемся универсальной подстановкой, которая является одним из важных правил тригонометрии. Применим к косинусу и синусу 4 α те самые формулировки, которые выражают основные функции через тангенс половинного угла. Получив сложное выражение, нам остается только его упростить.

2 + 3 · cos 4 α sin 4 α — 5 = 2 + t g 2 2 α t g 2 2 α + 1 2 · t g 2 α t g 2 2 α + 1 — 5 = 2 · t g 2 2 α + 2 + 3 — 3 · t g 2 2 α t g 2 2 α + 1 2 · t g 2 α — 5 · 2 · t g 2 2 α — 5 t g 2 2 α + 1 = t g 2 2 α — 5 5 · t g 2 2 α — 2 · t g 2 α + 5

2 + 3 · cos 4 α sin 4 α — 5 = t g 2 2 α — 5 5 · t g 2 2 α — 2 · t g 2 α + 5 .

Вспомним, что во введении мы подробно рассказали, как менять sin α , cos α , t g α , c t g α в частных случаях. Она заключается в том, чтобы преобразовать первоначальное рациональное выражение, содержащее sin , cos , t g и c t g , к выражению с одной функцией благодаря формуле. Это намного проще и понятнее. Мы выражаем все формулы через t g половинного угла. Данное преобразование обязательно пригодится при решении разнообразных уравнений и задач, интегрировании основных функций sin α , cos α , t g α , c t g α .

Основные тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

Основные тригонометрические тождества

[ sin^<2>alpha + cos^ <2>alpha = 1 ]

[ tg alpha cdot ctg alpha = 1 ]

Четность, нечетность тригонометрических функций

[ sin left ( — alpha right ) = — sin left ( alpha right ) ]

[ cos left ( — alpha right ) = cos left ( alpha right ) ]

[ tg left ( — alpha right ) = — tg left ( alpha right ) ]

[ ctg left ( — alpha right ) = ctg left ( alpha right ) ]

Зависимость между синусом и косинусом

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой ( dfrac=dfrac ) , а отношение ( dfrac=dfrac ) — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов ( alpha ) , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества ( tg alpha = dfrac ) , ( ctg alpha=dfrac ) .

Например: ( tg alpha = dfrac ) является справедливой для углов ( alpha ) , которые отличны от ( dfrac<2>+pi z ) , а ( ctg alpha=dfrac ) — для угла ( alpha ) , отличного от ( pi z ) , ( z ) — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

[ tg alpha cdot ctg alpha=1 ]

Данное тождество справедливо только для таких углов ( alpha ) , которые отличны от ( dfrac <2>z ) . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Читайте также  Как к ноутбуку подключить колонки и сабвуфер

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что ( tg alpha = dfrac ) , а ( ctg alpha=dfrac ) . Отсюда следует, что ( tg alpha cdot ctg alpha = dfrac cdot dfrac=1 ) . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

( tg^ <2>alpha + 1=dfrac<1> alpha> ) — сумма квадрата тангенса угла ( alpha ) и ( alpha ) , отличных от ( dfrac<2>+ pi z ) .

( 1+ctg^ <2>alpha=dfrac<1>alpha> ) — сумма ( alpha ) , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого ( alpha ) , отличного от ( pi z ) .

Формулы приведения

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin — α + 2 π z = — sin α , cos — α + 2 π z = cos α t g — α + 2 π z = — t g α , c t g — α + 2 π z = — c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = — sin α t g π 2 + α + 2 π z = — c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = — t g α sin π 2 — α + 2 π z = cos α , cos π 2 — α + 2 π z = sin α t g π 2 — α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 — α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = — sin α , cos π + α + 2 π z = — cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π — α + 2 π z = sin α , cos π — α + 2 π z = — cos α t g π — α + 2 π z = — t g α , c t g π — α + 2 π z = — c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = — cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = — c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = — t g α sin 3 π 2 — α + 2 π z = — cos α , cos 3 π 2 — α + 2 π z = — sin α t g 3 π 2 — α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 — α + 2 π z = t g α

Формулы понижения степени

sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α — sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 — 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Тригонометрические формулы. Их вывод

Наиболее часто встречающиеся тригонометрические формулы:

(blacktriangleright) Основные тождества: [begin <|l|l|>hline sin^2 alpha+cos^2 alpha =1& mathrm, alpha cdot mathrm, alpha =1 \ &(sinalphane 0, cosalphane 0)\[0.5ex] hline &\ mathrm, alpha=dfrac &mathrm, alpha =dfrac \&\ 1+mathrm^2, alpha =dfrac1 & 1+mathrm^2, alpha=dfrac1\&\ (cosalphane 0)& (sinalphane 0) \ hline end]

(blacktriangleright) Формулы сложения углов: [begin <|l|r|>hline &\ sin<(alphapm beta)>=sinalphacdot cosbetapm sinbetacdot cosalpha & cos<(alphapm beta)>=cosalphacdot cosbeta mp sinalphacdot sinbeta\ &\ hline &\ mathrm, (alphapm beta)=dfrac, alphapm mathrm, beta><1 mp mathrm, alphacdot mathrm, beta> & mathrm, (alphapmbeta)=-dfrac<1mp mathrm, alphacdot mathrm, beta>, alphapm mathrm, beta>\&\ cosalphacosbetane 0&sinalphasinbetane 0\ hline end]

(blacktriangleright) Формулы двойного и тройного углов: [begin <|lc|cr|>hline sin <2alpha>=2sin alphacos alpha & qquad &qquad & cos<2alpha>=cos^2alpha -sin^2alpha\ sin alphacos alpha =dfrac12sin <2alpha>&& & cos<2alpha>=2cos^2alpha -1\ & & & cos<2alpha>=1-2sin^2 alpha\ hline &&&\ mathrm, 2alpha = dfrac<2mathrm, alpha><1-mathrm^2, alpha> && & mathrm, 2alpha = dfrac^2, alpha-1><2mathrm, alpha>\&&&\ cosalphane 0, cos2alphane 0 &&& sinalphane 0, sin2alphane 0\ hline &&&\ sin <3alpha>=3sin alpha -4sin^3alpha && & cos<3alpha>=4cos^3alpha -3cos alpha\&&&\ hline end]

(blacktriangleright) Формулы понижения степени: [begin <|lc|cr|>hline &&&\ sin^2alpha=dfrac<1-cos<2alpha>>2 &&& cos^2alpha=dfrac<1+cos<2alpha>>2\&&&\ hline end]

(blacktriangleright) Формулы произведения функций: [begin <|c|>hline \ sinalphasinbeta=dfrac12bigg(cos<(alpha-beta)>-cos<(alpha+beta)>bigg)\\ cosalphacosbeta=dfrac12bigg(cos<(alpha-beta)>+cos<(alpha+beta)>bigg)\\ sinalphacosbeta=dfrac12bigg(sin<(alpha-beta)>+sin<(alpha+beta)>bigg)\\ hline end]

(blacktriangleright) Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла: [begin <|l|r|>hline &\ sin<2alpha>=dfrac<2mathrm, alpha><1+mathrm^2, alpha> & cos<2alpha>=dfrac<1-mathrm^2, alpha><1+mathrm^2, alpha>\&\ cosalphane 0 & sinalphane 0\ hline end]

(blacktriangleright) Формула вспомогательного аргумента: [begin <|c|>hline text<Частный случай>\ hline \ sinalphapm cosalpha=sqrt2cdot sin4right)>\\ sqrt3sinalphapm cosalpha=2sin6right)>\\ sinalphapm sqrt3cosalpha=2sin3right)>\\ hline text<Общий случай>\ hline\ asinalphapm bcosalpha=sqrtcdot sin<(alphapm phi)>, cosphi=dfrac a>, sinphi=dfrac b>\\ hline end]

Зная идею вывода формул, вы можете запомнить лишь несколько из них. Тогда остальные формулы вы всегда сможете быстро вывести.

Вывод всех основных тождеств был рассказан в предыдущем разделе “Введение в тригонометрию”.

(blacktriangleright) Вывод формулы косинуса разности углов (cos<(alpha -beta)>=cosalphacosbeta+sinalphasinbeta)

Рассмотрим тригонометрическую окружность и на ней углы (alpha) и (beta) . Пусть этим углам соответствуют точки (A) и (B) соответственно. Тогда координаты этих точек: (A(cosalpha;sinalpha), B(cosbeta;sinbeta)) .

Рассмотрим (triangle AOB: angle AOB=alpha-beta) . По теореме косинусов:

(AB^2=AO^2+BO^2-2AOcdot BOcdot cos(alpha-beta)=1+1-2cos(alpha-beta) (1)) (т.к. (AO=BO=R) – радиус окружности)

По формуле расстояния между двумя точками на плоскости:

Таким образом, сравнивая равенства ((1)) и ((2)) :

Отсюда и получается наша формула.

(blacktriangleright) Вывод остальных формул суммы/разности углов:

Остальные формулы с легкостью выводятся с помощью предыдущей формулы, свойств четности/нечетности косинуса/синуса и формул приведения (sin x=cos(90^circ-x)) и (cos x=sin (90^circ-x)) :

разделим числитель и знаменатель дроби на (cosalphacosbetane 0)
(при (cosalpha=0 Rightarrow mathrm,(alphapmbeta)=mp mathrm,beta) , при (cosbeta=0 Rightarrow mathrm,(alphapmbeta)=pm mathrm,alpha) ):

Таким образом, данная формула верна только при (cosalphacosbetane 0) .

5) Аналогично, только делением на (sinalphasinbetane 0) , выводится формула котангенса суммы/разности двух углов.

(blacktriangleright) Вывод формул двойного и тройного углов:

Данные формулы выводятся с помощью предыдущих формул:

1) (sin 2alpha=sin(alpha+alpha)=sinalphacosalpha+sinalphacosalpha=2sinalphacosalpha)

Используя основное тригонометрическое тождество (sin^2alpha+cos^2alpha=1) , получим еще две формулы для косинуса двойного угла:

разделим числитель и знаменатель дроби на (cos^2alphane 0) (при (cosalpha=0 Rightarrow mathrm,2alpha=0) ):

Таким образом, эта формула верна только при (cosalphane 0) , а также при (cos2alphane 0) (чтобы существовал сам (mathrm,2alpha) ).

По тем же причинам при (sinalphane 0, sin2alphane 0) .

5) (sin3alpha=sin(alpha+2alpha)=sinalphacos2alpha+cosalphasin2alpha=sinalpha(1-2sin^2alpha)+cosalphacdot 2sinalphacosalpha=)

6) Аналогично выводится, что (cos3alpha=cos(alpha+2alpha)=4cos^3alpha-3cosalpha)

(blacktriangleright) Вывод формул понижения степени:

Данные формулы — просто по-другому записанные формулы двойного угла для косинуса:

1) (cos2alpha=2cos^2alpha-1 Rightarrow cos^2alpha=dfrac<1+cos2alpha>2)

2) (cos2alpha=1-2sin^2alpha Rightarrow sin^2alpha=dfrac<1-cos2alpha>2)

Заметим, что в данных формулах степень синуса/косинуса равна (2) в левой части, а в правой части степень косинуса равна (1) .

(blacktriangleright) Вывод формул произведения функций:

1) Сложим формулы косинуса суммы и косинуса разности двух углов:

Получим: (cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)=2cosalphacosbeta Rightarrow cosalphacosbeta=dfrac12Big(cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)Big))

2) Если вычесть из формулы косинуса суммы косинус разности, то получим:

3) Сложим формулы синуса суммы и синуса разности двух углов:

(blacktriangleright) Вывод формул суммы/разности функций:

Обозначим (alpha+beta=x, alpha-beta=y) . Тогда: (alpha=dfrac2, beta=dfrac2) . Подставим эти значения в предыдущие три формулы:

Получили формулу суммы косинусов.

Получили формулу разности косинусов.

Получили формулу суммы синусов.

4) Формулу разности синусов можно вывести из формулы суммы синусов:

Аналогично выводится формула суммы котангенсов.

(blacktriangleright) Вывод формул выражения синуса и косинуса через тангенс половинного угла:

(разделим числитель и знаменатель дроби на (cos^2alphane 0) (при (cosalpha=0) и (sin2alpha=0) ):)

2) Так же, только делением на (sin^2alpha) , выводится формула для косинуса.

(blacktriangleright) Вывод формул вспомогательного угла:

Данные формулы выводятся с помощью формул синуса/косинуса суммы/разности углов.

Рассмотрим выражение (asin x+bcos x) . Домножим и разделим это выражение на (sqrt,) :

(asin x+bcos x=sqrtleft(dfrac a>sin x+ dfrac b>cos x right)=sqrtbig(a_1sin x+b_1cos xbig))

Заметим, что таким образом мы добились того, что (a_1^2+b_1^2=1) , т.к. (left(dfrac a>right)^2+left(dfrac b>right)^2=dfrac=1)

Таким образом, можно утверждать, что существует такой угол (phi) , для которого, например, (cos phi=a_1, sin phi=b_1) . Тогда наше выражение примет вид:

(sqrt,big(cos phi sin x+sin phicos xbig)=sqrt,sin (x+phi)) (по формуле синуса суммы двух углов)

Читайте также  Как мыть голову горчицей

Значит, формула выглядит следующим образом: [,sin (x+phi),>> quad text <где >cos phi=dfrac a>] Заметим, что мы могли бы, например, принять за (cos phi=b_1, sin phi=a_1) и тогда формула выглядела бы как [asin x+bcos x=sqrt,cos (x-phi)]

(blacktriangleright) Рассмотрим некоторые частные случаи формул вспомогательного угла:

(a) sin xpmcos x=sqrt2,left(dfrac1sin xpmdfrac1cos xright)=sqrt2, sin left(xpmdfrac4right))

(b) sqrt3sin xpmcos x=2left(dfrac2sin xpm dfrac12cos xright)=2, sin left(xpmdfrac6right))

(c) sin xpmsqrt3cos x=2left(dfrac12sin xpmdfrac2cos xright)=2,sinleft(xpmdfrac3right))

Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
  • Тригонометрический круг
  • Основное тригонометрическое тождество
  • Таблица значений тригонометрических функций
  • Градусы и радианы
  • Формулы приведения
  • Теорема синусов
  • Расширенная теорема синусов
  • Теорема косинусов
  • Тригонометрические уравнения (10-11 класс)
  • Примеры решений заданий из ОГЭ

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:

sin ∠ A = C B A B

cos ∠ A = A C A B

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

sin ∠ B = A C A B

cos ∠ B = B C A B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .

Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .

Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .

Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β :

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

Как выразить синус через косинус

Учебный курс Решаем задачи по геометрии

Простейшие тригонометрические тождества

Частное от деления синуса угла альфа на косинус того же угла равно тангенсу этого угла (Формула 1). См. также доказательство правильности преобразования простейших тригонометрических тождеств.
Частное от деления косинуса угла альфа на синус того же угла равно котангенсу этого же угла (Формула 2)
Секанс угла равен единице, деленной на косинус этого же самого угла (Формула 3)
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице (Формула 4). см. также доказательство суммы квадратов косинуса и синуса.
Сумма единицы и тангенса угла равна отношению единицы к квадрату косинуса этого угла (Формула 5)
Единица плюс котангенс угла равна частному от деления единицы на синус квадрат этого угла (Формула 6)
Произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице (Формула 7).

Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)

Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.

Как видно, косинус и секанс является четной функцией, синус, тангенс и котангенс — нечетные функции.

Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа).
Косинус «минус альфа» даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа.
Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.

Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)

Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла) в одинарный происходит по следующим правилам:

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла

Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла

Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица

Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла

Тангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — удвоенный тангенс одинарного угла, а знаменатель равен единице минус тангенс квадрат одинарного угла.

Котангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — квадрат котангенса одинарного угла минус единица, а знаменатель равен удвоенному котангенсу одинарного угла

Формулы универсальной тригонометрической подстановки

Указанные ниже формулы преобразования могут пригодиться, когда нужно аргумент тригонометрической функции ( sin α, cos α, tg α) разделить на два и привести выражение к значению половины угла. Из значения α получаем α/2 .

Данные формулы называются формулами универсальной тригонометрической подстановки. Их ценность заключается в том, что тригонометрическое выражение с их помощью сводится к выражению тангенса половины угла, вне зависимости от того, какие тригонометрические функции (sin cos tg ctg) были в выражении изначально. После этого уравнение с тангенсом половины угла решить гораздо проще.

Тригонометрические тождества преобразования половины угла

Тригонометрические формулы сложения углов

cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β

Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой — сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель — единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.

Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель — единице плюс произведение тангенсов этих углов.

Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой — произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.

Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций

Формулы тройного угла — преобразование sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций

Формулы приведения тригонометрических функций

Пользоваться таблицей приведения нужно следующим образом. В строке выбираем функцию, которая нас интересует. В столбце — угол. Например, синус угла (α+90) на пересечении первой строки и первого столбца выясняем, что sin (α+90) = cos α .

Плиз, хелп! Как выразить косинус через синус?
Вот, например, дано выражение cos пи9, там по формулам приведения с пи2? Объясните, пожалуйста, что дальше :сс

sin(90-a)=cosa
sin(180+a)=-sina
cos(270+a)=sina
cos(360+a)=cosa
u0418u043cu0435u043du043du043e u044du0442u0438u043cu0438 u0443u0433u043bu0430u043cu0438(90(u03c0/2)u00a0, 180(u03c0), 270(3u03c0/2), 360(2u03c0)) u043cu044b u043fu043eu043bu044cu0437u0443u0435u043cu0441u044f u0432 u0444u043eu0440u043cu0443u043bu0430u0445 u043fu0440u0438u0432u0435u0434u0435u043du0438u044f. u0418 u0435u0449u0451 u043eu0434u043du043e, u0443u0433u043eu043b au2208(0;90).
u041du043e u0447u0442u043eu0431u044b u0438u0445 u0432u0441u0435 u043du0435 u0437u0430u043fu043eu043cu0438u043du0430u0442u044c, u043du0443u0436u043du043eu00a0u0437u0430u043fu043eu043cu043du0438u0442u044c u0437u0430u043au043eu043d u0441 u043fu043eu043cu043eu0449u044cu044e u043au043eu0442u043eu0440u043eu0433u043e u043cu043eu0436u043du043e u0432u044bu0432u0435u0441u0442u0438 u043bu044eu0431u0443u044e u0438u0437 u043du0438u0445. u0418u0442u0430u043a u043du0443u0436u043du043e u0437u0430u043fu043eu043cu043du0438u0442u044c u0432 u043au0430u043au0438u0445 u0447u0435u0442u0432u0435u0440u0442u044fu0445 cos, sin, tg, ctg u043fu043eu043bu043eu0436u0438u0442u0435u043bu044cu043du044b u0438u043bu0438 u043eu0442u0440u0438u0446u0430u0442u0435u043bu044cu043du044b . u0412u0441u0451 u044du0442u043e u0435u0441u0442u044c u0432u043e u0432u043bu043eu0436u0435u043du0438u0438. u041bu0435u0433u0447u0435 u0437u0430u043fu043eu043cu043du0438u0442u044c u0435u0441u043bu0438 u043au043eu0435 u0447u0442u043e u0443u044fu0441u043du0438u0442u044c sin u043fu043eu043bu043eu0436u0438u0442u0435u043bu0435u043d u043au043eu0433u0434u0430 u043fu043eu043bu043eu0436u0438u0442u0435u043bu044cu043du0430 u043eu0441u044c u043eu0440u0434u0438u043du0430u0442(u0435u0451 u0447u0430u0441u0442u043e u043eu0431u043eu0437u043du0430u0447u0430u044eu0442 y), cos — u043au043eu0433u0434u0430 u043fu043eu043bu043eu0436u0438u0442u0435u043bu044cu043du0430u044f u043eu0441u044c u0430u0431u0441u0446u0438u0441u0441(x), tg u0438 ctg (u044du0442u043e sin/cos(cos/sin)) u043fu043eu044du0442u043eu043cu0443 u043eu043du0438 u043fu043eu043bu043eu0436u0438u0442u0435u043bu044cu043du044b u043au043eu0433u0434u0430 u043eu0434u043du043eu0432u0440u0435u043cu0435u043du043du043e u043fu043eu043bu043eu0436u0438u0442u0435u043bu044cu043du044b u0438u043bu0438 u043eu0442u0440u0438u0446u0430u0442u0435u043bu044cu043du044b cos u0438 sin. u0421 u044du0442u0438u043c u0432u0440u043eu0434u0435 u0431u044b u0440u0430u0437u043eu0431u0440u0430u043bu0438u0441u044c.
u0422u0435u043fu0435u0440u044c u0435u0449u0451 u043eu0434u0438u043d u0437u0430u043au043eu043d:
u043fu0440u0438 u0443u0433u043bu0430u0445 90 u0438 270 u0444u0443u043du043au0446u0438u044f u0438u0437u043cu0435u043du044fu0435u0442u0441u044f u043du0430 u043au043eu0444u0443u043du043au0446u0438u044e.
u043fu0440u0438 u0443u0433u043bu0430u0445 180 u0438 360 u0444u0443u043du043au0446u0438u044f u043du0435 u0438u0437u043cu0435u043du044fu0435u0442u0441u044f.
u0418u0437u043cu0435u043du0435u043du0438u0435 u043du0430 u043au043eu0444u0443u043du043au0446u0438u044e — u0437u0430u043cu0435u043du0430 u043au043eu0441u0438u043du0443u0441u0430 u0441u0438u043du0443u0441u043eu043c(u0438 u043du0430u043eu0431u043eu0440u043eu0442) u0438 u0437u0430u043cu0435u043du0430 u0442u0430u043du0433u0435u043du0441u0430 u043au043eu0442u0430u043du0433u0435u043du0441u043eu043c(u0438 u043du0430u043eu0431u043eu0440u043eu0442).

u0422u0435u043fu0435u0440u044c u043fu043eu043fu0440u043eu0431u0443u0435u043c u0440u0435u0448u0438u0442u044c u0432u0430u0448 u043fu0440u0438u043cu0435u0440:
cos(u03c0/9) u043du0430u043c u043du0443u0436u043du043e u0437u0430u043cu0435u043du0438u0442u044c u043du0430 sin. u0412u0441u043fu043eu043cu043du0438u043c u0447u0442u043e u043fu0440u0438 u0443u0433u043bu0430u0445 u03c0/2 u0438 3u03c0/2 u0444u0443u043du043au0446u0438u044f u0438u0437u043cu0435u043du044fu0435u0442u0441u044f u043du0430 u043au043eu0444u0443u043du043au0446u0438u044e, u043fu043eu044du0442u043eu043cu0443 u043fu0440u0435u0434u0441u0442u0430u0432u0438u043cu00a0u03c0/9 u0432 u0432u0438u0434u0435 u0441u0443u043cu043cu044b(u0440u0430u0437u043du043eu0441u0442u0438) u0441 u043eu0434u043du0438u043c u0438u0437 u044du0442u0438u0445 u0443u0433u043bu043eu0432:
u03c0/2=9u03c0/18
u03c0/9=2u03c0/18=9u03c0/18u00a0-u00a07u03c0/18
cos(u03c0/9)=cos(u03c0/2 — 7u03c0/18)=[u03c0/2 — 7u03c0/18 u044du0442u043e 1 u0447u0435u0442u0432u0435u0440u0442u044c, cos u0432 u043du0435u0439 u043fu043eu043bu043eu0436u0438u0442u0435u043bu0435u043d, u0437u043du0430u043a u043fu0440u0438 u0437u0430u043cu0435u043du0435 u043du0435 u043cu0435u043du044fu0435u0442u0441u044f]=sin(7u03c0/18).
u0411u0443u0434u0443u0442 u0432u043eu043fu0440u043eu0441u044b — u0441u043fu0440u0430u0448u0438u0432u0430u0439u0442u0435.»>]» data-test=»answer-box-list»>

Чтобы уметь выражать косинус через синус с помощью формул приведения, сначала нужно разобраться с этими формулами. Их довольно много, вот парочка из них:
sin(90-a)=cosa
sin(180+a)=-sina
cos(270+a)=sina
cos(360+a)=cosa
Именно этими углами(90(π/2) , 180(π), 270(3π/2), 360(2π)) мы пользуемся в формулах приведения. И ещё одно, угол a∈(0;90).
Но чтобы их все не запоминать, нужно запомнить закон с помощью которого можно вывести любую из них. Итак нужно запомнить в каких четвертях cos, sin, tg, ctg положительны или отрицательны. Всё это есть во вложении. Легче запомнить если кое что уяснить sin положителен когда положительна ось ординат(её часто обозначают y), cos — когда положительная ось абсцисс(x), tg и ctg (это sin/cos(cos/sin)) поэтому они положительны когда одновременно положительны или отрицательны cos и sin. С этим вроде бы разобрались.
Теперь ещё один закон:
при углах 90 и 270 функция изменяется на кофункцию.
при углах 180 и 360 функция не изменяется.
Изменение на кофункцию — замена косинуса синусом(и наоборот) и замена тангенса котангенсом(и наоборот).

Теперь попробуем решить ваш пример:
cos(π/9) нам нужно заменить на sin. Вспомним что при углах π/2 и 3π/2 функция изменяется на кофункцию, поэтому представим π/9 в виде суммы(разности) с одним из этих углов:
π/2=9π/18
π/9=2π/18=9π/18 — 7π/18
cos(π/9)=cos(π/2 — 7π/18)=[π/2 — 7π/18 это 1 четверть, cos в ней положителен, знак при замене не меняется]=sin(7π/18).
Будут вопросы — спрашивайте.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: