Как вынести множитель из-под знака корня

Как вынести из-под корня

Вынесение множителя из-под знака корня — это извлечение корня из одного из множителей (числа или буквы), которые находятся под корнем.

Говорят: «Число « 25 » вынесли из-под знака корня».

Рассмотрим подробнее пример вынесения множителя из-под знака корня.

№ 15 .1 (в) Мордкович 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

Извлечь квадратный корень из « √ 5 » целым числом не получится, поэтому нам остается только извлечь квадратный корень из « √ 16 ».

Обязательно выучите таблицу квадратов чисел от « 1 » до « 15 » и таблицу часто используемых квадратных корней.

Вспомним, чему равен квадрат числа четыре?

Решение примера выше записываем следующим образом.

√ 16 · 5 = √ 16 · √ 5 = 4 · √ 5

Действие выше называют вынесением множителя из-под знака корня. Говорят: «Число « 16 » вынесли из-под знака корня, получив число « 4 ».

Выносить из-под знака корня можно, только если все действия под знаком корня — умножение .

Примеры правильного и неправильного вынесения из-под знака корня:

  • √ 144 · 2 = √ 144 · √ 2 = 12 √ 2 (верно) . Под знаком квадратного корня только действие умножения;
  • √ 16 + 5 ≠ 4 + √ 5 (неверно) . Нельзя выносить « 16 » из-под знака корня, так как под знаком корня сложение ;
  • √ 25 − 3 ≠ 5 − √ 3 (неверно) . Нельзя выносить из-под знака корня « 25 », так как под знаком корня вычитание ;
  • √ 16 ·2 + 3 ≠ 4 √ 2 + 3 (неверно) . Нельзя выносить « 16 » из-под знака корня, так как под знаком корня есть сложение (должно быть только умножение ).

Как вынести множитель из корня с одним числом

Рассмотрим пример, когда под корнем только одно число и по условию задания требуется вынести множитель из-под знака корня.

№ 524 (1) Мерзляк 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

Извлечь целое число из квадратного корня « √ 8 » нельзя, так как нет такого целого числа, которое в квадрате давало бы « 8 ».

Обязательно выучите таблицу квадратов чисел от « 1 » до « 15 » и таблицу часто используемых квадратных корней.

Подумаем, на какие множители можно разложить число « 8 », чтобы была возможность вынести один из множителей из-под знака корня. Вспоминаем таблицу умножения.

Число « 8 » — это произведение
« 8 = 4 · 2 ». Теперь можем вынести « 4 » из-под знака корня.

√ 8 = √ 4 · 2 = √ 4 · √ 2 = 2 √ 2

Разберем другие примеры вынесения множителя из-под знака квадратного корня

№ 524 (4) Мерзляк 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

Зададим себе вопрос: «На какие множители нужно разложить « 54 », чтобы была возможность вынести один из множителей из-под знака квадратного корня?».

Видим число « 9 ». Подходит, так как « √ 9 = 3 ».

Завершим решение примера вынесением из-под знака корня числа « 9 ».

√ 54 = √ 9 · 6 = 3 √ 6

Извлечь « √ 6 » целым числом невозможно. Поэтому ответ оставляем в таком виде.

№ 524 (5) Мерзляк 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

В примерах с числами, которые делятся на « 10, 100, 1000… » и так далее, стоит сразу попробовать разложить число на « 10, 100, 1000… » и второй множитель.

То есть число « 490 » можно разложить на « 490 = 49 · 10 ». Из « 49 » можно извлечь квадратный корень.

Теперь можно вынести « 49 » из-под знака корня.

√ 490 = √ 49 · 10 = 7 √ 10

№ 524 (6) Мерзляк 8 класс

№ 524 (8) Мерзляк 8 класс

√ 108 = √ 54 · 2 = √ 9 · 6 · 2 =

= 3 √ 6 · 2 = 3 √ 12 = 3 √ 4 · 3 =

№ 526 (6) Мерзляк 8 класс

0,4 · √ 250 = 0,4 · √ 25 · 10 =

Завершим пример, умножив десятичную дробь « 0,4 » на « 5 » по правилу умножения десятичной дроби на число.

0,4 · √ 250 = 0,4 · √ 25 · 10 =

= 0,4 · 5 √ 10 = 2 √ 10

№ 526 (8) Мерзляк 8 класс

4
9

· √ 63 =

4
9

· √ 9 · 7 =

4
9

· 3 √ 7 = …
Умножим дробь «

4
9

» на число « 3 », которое вынесли из-под знака квадратного корня. Используем правило умножения обыкновенной дроби на число.

4
9

· √ 63 =

4
9

· √ 9 · 7 =

4
9

· 3 √ 7 =

=

4 · 3
9

· √ 7 =

4 · 3
9 3

· √ 7 =

=

4
3

· √ 7 = …

Чтобы дать окончательный ответ, выделим целую часть неправильной дроби «

4
3

».

4
9

· √ 63 =

4
9

· √ 9 · 7 =

4
9

· 3 √ 7 =

=

4 · 3
9

· √ 7 =

4 · 3
9 3

· √ 7 =

4
3

· √ 7 =

= 1

1
3

· √ 7

Как вынести десятичную дробь из-под знака корня

В уроке «Как извлечь квадратный корень из дроби» мы разбирали, каким образом извлечь квадратный корень из десятичной дроби. Например, извлечение квадратного корня из десятичной дроби « √ 0,25 ».

√ 0,25 = 0,5 , так как
0,5 2 = 0,5 · 0,5 = 0,25

Тот же самый метод используется при вынесении десятичной дроби из-под знака корня.

№ 524 (10) Мерзляк 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

Разложим десятичную дробь на произведение множителей, чтобы потом была возможность вынести один из множителей из-под знака корня.

Подберем десятичную дробь, на которую делится « 0,48 », из которой потом можно извлечь квадратный корень.

Например, « 0,16 ». Десятичная дробь « 0,48 » делится на « 0,16 » нацело.

Извлечь квадратный корень из « √ 0,16 » по правилу нахождения квадратного корня из десятичной дроби.

Завершим пример вынесением « 0,16 » из-под знака корня.

Примеры вынесения десятичной дроби из-под знака квадратного корня

№ 524 (9) Мерзляк 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

№ 526 (7) Мерзляк 8 класс

Вынесите множитель из-под знака корня:

−2 · √ 0,18 = −2 · √ 0,09 · 2 =

= −2 · 0,3 √ 2 = −0,6 √ 2

Как вынести букву из-под знака корня

При вынесении из-под знака квадратного корня множителя в степени (буквы или числа) степень делится на « 2 ».

  • √ a 2 = a
    2
    2

    = a 1 = a , гдe a ≥ 0

  • √ y 4 = y
    4
    2

    = y 2 , гдe y ≥ 0

  • √ 12 4 = 12
    4
    2

    = 12 2 = 144

  • √ x 6 = x
    6
    2

    = x 3 , гдe x ≥ 0

Рассмотрим примеры вынесения буквы в степени из-под корня.

№ 347 (2, 4) Колягин (Алимов) 8 класс

Вынести множитель из-под знака корня (буквами обозначены положительные числа).

2) √ 2x 2 = x

2
2

√ 2 = x √ 2

4) √ 3a 6 = a

6
2

√ 3 = a 3 √ 3

В более сложных примерах требуется вынести и числовой множитель, и букву в степени из-под корня.

№ 348 (2) Колягин (Алимов) 8 класс

Вынести множитель из-под знака корня (буквами обозначены положительные числа).

Вначале отдельно вынесем буквенный множитель из-под корня.

√ 75a 2 = a

2
2

· √ 75 = a √ 75 = …

Теперь разложим число « 75 » на множители, один из которых можно вынести из-под знака квадратного корня.

Число « 75 » явно делится на « 5 ». Проверим, можно ли число « 75 » разложить на квадрат числа « 5 2 = 25 ».

Завершим пример, вынеся число « 25 » из-под знака корня.

√ 75a 2 = a

2
2

· √ 75 = a √ 75 =

= a √ 25 · 3 = 5a √ 3

№ 549 (2) Мерзляк 8 класс

Не всегда удается сразу вынести букву в степени из-под знака корня. В данном примере степень « 9 » не делится нацело на « 2 ».

Вспомним из урока «Свойства степени» правило произведение степеней с одинаковым основанием.

Свойство работает и в обратную сторону.

Вернемся к нашему примеру. Разложим « y 9 » на множители со степенями так, чтобы одна из степеней нацело делилась на « 2 ». Представим степень « 9 » как сумму чисел « 9 = 6 + 3 ».

Используем свойство произведения степеней с одинаковым основанием в обратную сторону и разложим « у » на множители.

Вынесение числа из-под корня

  • Вынесение числа из-под корня — что значит
  • Почему возможно заменить корень на произведение
  • Как вынести множитель из-под знака корня
    • Необходимые операции и определения
  • Примеры решения на практике

Вынесение числа из-под корня — что значит

Корнем n-ной степени из числа a называют число, n-ная степень которого равна a. Корень из нуля всегда равен нулю. Корень четной степени из a>0 всегда представляет собой два числа с противоположными знаками.

Вынесение множителя из-под знака корня представляет собой замену выражения (sqrt[n]) на произведение (atimessqrt[n]b) , если n — нечетное число, и на произведение (left|aright|timessqrt) , если n — четное число.

Вынесение числа (или множителя) из-под корня позволяет упрощать выражения, например, сокращать дроби или выносить общий множитель.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Смысл вынесения множителя из-под корня заключается в том, чтобы разложить число под корнем на несколько, хотя бы одно из которых можно освободить от знака корня. Однако выноситься из-под корня может неограниченное количество множителей.

Обычно число выносят из-под корня с помощью разложения числа на произведение. Рассмотрим, почему такое действие в принципе возможно.

Почему возможно заменить корень на произведение

Теория преобразования иррациональных выражений дает сформулировать два основных положения:

  1. Нечетное выражение (sqrt[n]) можно заменить на (sqrt[n]atimessqrt[n]b) . Чётное выражение (sqrt[n]) — на (sqrt[n]timessqrt[n])
  2. Нечетное выражение (sqrt[n]) можно заменить на a. Чётное выражение (sqrt[n]) — на ( left|aright|.)

Зная эти положения и свойства модуля, можем вывести следующие выражения:

Наконец, беря данные выражения за основу наших преобразований, получаем две формулы:

  1. (sqrt[n]<_1times_2times. times_ktimes b>=a_1times a_2times. times a_ktimessqrt[n]b) , если n — нечетное число.
  2. (sqrt[n]<_1times_2times. times_ktimes b>=left|a_1right|timesleft|a_2right|times. timesleft|a_kright|timessqrt[n]) , если n — четное число.

a в данном случае может быть не только числом, но и отдельным выражением.

Как вынести множитель из-под знака корня

Для вынесения множителя из-под корня можно записать одно общее правило. Оно обосновано тем фактом, что выражение под корнем чаще всего приходится приводить к виду (a^ntimes b) .

Для того чтобы вынести множитель из-под корня в выражении (sqrt[n]A) , нужно привести корень к виду (sqrt[n]) и после перейти к произведению (atimessqrt[n]b) , если n — нечетное число, или к (left|aright|timessqrt[n]) , если n — четное число.

В целом, единственное отличие выражений с четным показателем от выражений с нечетным — наличие модуля, который при необходимости раскрывают.

Необходимые операции и определения

После того как нам стало известно основное определение, перейдем к более детальному рассмотрению процесса вынесения множителя из-под корня.

Вспомним, что основой вынесения числа из-под корня является разложение на множители. Для этого используются следующие приемы:

  1. Вынесение общего множителя за скобки. При использовании данного метода мы находим число, на которое можно поделить каждую составляющую выражения, непосредственно делим на него выражение и выносим это число за скобки.
  2. Группировка множителей. При использовании данного метода мы объединяем определенные множители в группы и правильно расставляем скобки.
  3. Использование формул сокращенного умножения.
  4. Комбинация данных методов.

Формул сокращенного умножения:

Мы уже знаем, что вынесение множителя из-под корня n-ной степени — это упрощение выражения с помощью записи одного из множителей перед знаком корня. Опишем этот процесс пошагово:

  1. Раскладываем выражение под корнем на простые множители.
  2. Представляем множители в виде простых чисел в натуральной степени.
  3. Делим показатели степени множителей на показатель корня.
  4. Выносим множитель в полученной степени из-под корня.

Примеры решения на практике

Пример 1

Задание: вынести множитель из-под корня в выражении:

Используем правило вынесения множителя из-под четного корня:

Пример 2

Задание: вынести множитель из-под корня в выражении:

Разложим число 72 на множители, показатель одного из которых равен показателю корня:

Пример 3

Задание: вынести множитель из-под корня в выражении:

Преобразуем выражение по правилам вынесения множителя из-под нечетного корня и разложения числа на множители:

Презентация : » Вынесение множителя из — под знака корня»

Описание презентации по отдельным слайдам:

Цели урока: 1. Выработать алгоритм внесение множителя под знак корня и вынесение множителя из-под знака корня, повторить определение квадратного корня и арифметического квадратного корня. 2. Способствовать развитию вычислительных навыков; умению ставить самооценку, развитию наблюдательности. 3. Побуждать учащихся к учебному сотрудничеству на уроке посредством работы в парах, к самостоятельности и требовательности в достижении успехов.

Учащиеся должны знать: алгоритмы внесения множителя под знак корня; алгоритм вынесения множителя из-под знака корня; применение свойств квадратного корня к преобразованию выражений, содержащих квадратный корень.

Повторение Дайте определение квадратного корня из числа. Дайте определение арифметического квадратного корня. При каких значениях а, выражение имеет смысл? Сформулируйте правило извлечения корня квадратного из четной степени. Мы закончили изучение свойств арифметического квадратного корня, остаётся применять наши знания и умения при решении примеров и задач.

ВЫНЕСЕНИЕ МНОЖИТЕЛЯ ЗА ЗНАК КОРНЯ 1)Представим подкоренное выражение в виде произведения таких множителей, чтобы из одного можно было бы извлечь квадратный корень. 2)Применим теорему о корне из произведения. 3)Извлечь корень.

1 способ: — вынесение множителя из-под знака корня.

2 способ: -Внесение множителя под знак корня.

Пример 1. Вынесите множитель из-под знака корня. Разложим число 45 на множители 9 и 5 Применим теорему о квадратном корне из произведения Вычислим

Пример 2. Вынесите множитель из-под знака корня. Применим теорему о квадратном корне из произведения Выражение имеет смысл лишь при , тогда Представим в виде произведения , в котором является степенью с четным показателем Применим теорему о квадратном корне из степени

вынесение множителя из-под знака корня

Внесение множителя под знак корня:

Обучающий тест: Вынести множитель за знак корня:

Обучающий тест: Внести множитель под знак корня:

Примеры вынесение множителя из-под знака корня: Внесение под знак корня

Закрепление знаний, отработка умений. вынесите множитель из-под знака корня: №407(б, г, е, з) внесите множитель под знак корня: №410(а, в, д), №412(а, в)

Ваше настроение после урока

Итог урока. Задание на дом: Пункт 18, №409(а, в, д, ж); №410(б, г, е); №417(а)

  • Все материалы
  • Статьи
  • Научные работы
  • Видеоуроки
  • Презентации
  • Конспекты
  • Тесты
  • Рабочие программы
  • Другие методич. материалы

  • Беланенко Римма АлексеевнаНаписать 539 03.01.2020

Номер материала: ДБ-890322

  • Алгебра
  • 8 класс
  • Презентации
    02.12.2019 43
    02.12.2019 33
    01.12.2019 63
    29.10.2019 194
    29.10.2019 303
    29.10.2019 313
    23.09.2019 103
    18.09.2019 86

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Школьники из России победили на соревнованиях по робототехнике

Время чтения: 1 минута

YouTube анонсировал новые меры по защите несовершеннолетних пользователей

Время чтения: 2 минуты

В России в октябре пройдет первый педагогический диктант

Время чтения: 1 минута

Молодым россиянам начислят по 3000 рублей на культурное просвещение

Время чтения: 1 минута

В России построят студенческие кампусы мирового уровня

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки рекомендовало перевести непривитых студентов на удаленку

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Как вынести число из-под корня

Вы будете перенаправлены на Автор24

Как выносить из под корня число

Часто вынесение множителя (числа) из под знака корня может быть необходимо для совершения каких-либо арифметических операций, например, для сокращения дроби или вынесения общего множителя и дальнейшего преобразования выражения.

Давайте рассмотрим основные арифметические правила и определения, необходимые для того, чтобы понять, как вынести число из под корня.

Необходимые операции и определения

Разложение выражения на множители — это преобразование этого числа в произведение нескольких сомножителей без изменения значения исходного выражения.

Это довольно частая операция, необходимая для вынесения множителя из-под знака корня.

Для разложения на множители используются следующие приёмы:

  • Вынесение за скобки общего множителя;
  • Группировка множителей;
  • Применение формул сокращённого умножения;
  • Комбинация вышеизложенных методов.

При вынесении за скобки общего множителя для начала нужно определить множитель, который можно вынести, а затем разделить всё выражение на этот множитель и записать результат частного рядом со множителем как произведение, например:

$6x^2 – 8xy +4x = 2x cdot 3x — 2x cdot 4y + 2x cdot 2 = 2x cdot (3x — 4y + 2)$.

Также для вынесения множителя используются формулы сокращённого умножения, например:

$(x + y)^2 = x^2 +2xy + y^2$.

Оба продемонстрированных выше метода можно комбинировать.

Свойства корня

Теперь перейдём к более детальному рассмотрению корня.

Корнем $n$-нной степени из числа $b$ называют число, которое нужно возвести в $n$-нную степень чтобы получить число $b$:

Процесс получения корня называется его извлечением.

Левая часть равенства вида $sqrt[n] = m$ называется радикалом, то, что стоит непосредственно под знаком корня — подкоренным выражением, а число, стоящее слева сверху перед знаком корня называется показателем корня.

Готовые работы на аналогичную тему

Правая же часть равенства после знака «равно» называется корнем $n$-нной степени из числа $b$.

При извлечении числа из-под корня нужно учитывать то, что в случае с корнем нечётной степени возможен лишь один ответ, математически это запишется так: $sqrt[n] = b$, тогда как в случае с извлечением корня чётной степени ответа будет два, причём один с положительным знаком, а другой с отрицательным, это записывается так: $sqrt[n] = ±b$.

Также существует ещё одна теорема, которую нужно знать при вынесении множителя из-под знака корня:

Для извлечения корня $n$-ой степени из произведения, моно извлечь его из каждого сомножителя отдельно, а результаты перемножить. Математически это запишется так: $sqrt[n]=sqrt[n]sqrt[n]sqrt[n]left(1right)$.

Докажем эту теорему для случая если под корнем стоит положительное число, а степень $n$ является нечётной.

Применим эту логику к равенству $(1)$.

Для этого возведём в степень правую часть равенства. Но для того чтобы сделать это, необходимо возвести в степень произведение, а для этого нужно возвести в степень каждый сомножитель и затем перемножить их все между собой:

Получилось выражение, стоящее под знаком корня, а это значит, что теорема доказана.

Правила вынесения множителя из под знака корня

Вынесение множителя из-под знака корня $n$-ой степени — это упрощение выражения с помощью записи какого-либо множителя, являющегося частью подкоренного выражения, перед знаком корня. Например, $sqrt[6] <192>= sqrt[6] <64 cdot 3>= 2 sqrt[6]<3>$.

Для вынесения множителей из-под знака корня необходимо показатель выносимого множителя разделить на показатель корня и разместить перед корнем этот множитель с тем показателем степени, который получится в результате этого деления:

В частном случае, если приходится иметь дело с квадртным корнем, степень множителя, который необходимо вынести, нужно разделить на два, а сам множитель записать перед знаком корня:

В случае если приходится иметь дело с множителем-дробью, можно извлечь по отдельности корень из числителя и знаменателя, например:

Общий порядок вынесения множителя из под корня такой:

  1. Сначала подкоренное значение раскладывается на множители непосредственно под знаком корня, а у этих множителей выделяются показатели степени.
  2. Затем показатель степени при множителе делится на показатель корня, а сам выносимый множитель записывается слева от радикала.

Вынесите множитель из-под знака корня в следующих выражениях:

Как вынести множитель из-под знака корня

ОБОЙДИ УЖЕ ЭТИ ГРАБЛИ! :-)

Содержание сайта

Раздел 1.
Про ЕГЭ.
  • Как проходит ЕГЭ?
    >
    • Перед экзаменом.
    • Во время экзамена.
    • По окончании экзамена.

  • Что будет на ЕГЭ по математике?
    >
    • Базовый и профильный уровни.
    • Как работать на ЕГЭ?

  • Система оценок в ЕГЭ

  • Как готовиться к ЕГЭ?

Раздел 2.
ЕГЭ на 3.
  • Как учить математику?

  • Дроби
    >
    • Виды дробей. Преобразования.
    • Сложение и вычитание дробей.
    • Умножение и деление дробей.

  • Уравнения
    >
    • Как решать уравнения? Тождественные преобразования.
    • Линейные уравнения.
    • Квадратные уравнения. Дискриминант.
    • Дробные уравнения. ОДЗ.

  • Решение задач по математике
    >
    • Как решать задачи по математике?
    • Что такое математическая модель? Составление математической модели.
    • Задачи на движение.
    • Задачи на работу.

  • Проценты. Задачи на проценты

  • Числовые и алгебраические выражения. Преобразования выражений
    >
    • Числовые и алгебраические выражения. Тождественные преобразования.
    • Разложение на множители.
    • Формулы сокращённого умножения.

  • Квадратные корни
    >
    • Что такое квадратный корень?
    • Свойства (формулы) корней. Как умножать корни?
    • Как делить корни? Корень из квадрата. Корень в квадрате.

  • Арифметическая прогрессия
    >
    • Понятие арифметической прогрессии. Разность прогрессии.
    • Формула n-го члена арифметической прогрессии.
    • Сумма арифметической прогрессии.

  • Логарифмы. Основы

Раздел 3.
ЕГЭ на 4.

  • Тригонометрия. Основные понятия
    >
    • Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс?
    • Тригонометрический круг. Единичная окружность. Числовая окружность.
    • Отсчёт углов на тригонометрическом круге.
    • Градусная мера угла. Радианная мера угла. Перевод градусов в радианы и обратно.
    • Таблица синусов. Таблица косинусов. Таблица тангенсов и котангенсов.
    • Как не забыть таблицу синусов и косинусов.
    • Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?

  • Тригонометрия. Решение уравнений
    >
    • Решение тригонометрических уравнений с помощью круга.
    • Решение тригонометрических уравнений с помощью формул.

  • Неравенства
    >
    • Линейные неравенства. Решение, примеры.
    • Квадратные неравенства. Решение, примеры.

  • Показательные уравнения

  • Логарифмические уравнения
    >
    • Простейшие логарифмические уравнения
    • ОДЗ в логарифмических уравнениях

Формулы корней. Свойства квадратных корней.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )

В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень. Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней, каковы свойства корней, и что со всем этим можно делать.

Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями — это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да.

Начнём с самой простой. Вот она:

Напоминаю (из предыдущего урока): а и b — неотрицательные числа! Иначе формула смысла не имеет.

Это свойство корней, как видите простое, короткое и безобидное. Но с помощью этой формулы корней можно делать массу полезных вещей! Разберём на примерах все эти полезные вещи.

Полезная вещь первая. Эта формула позволяет нам умножать корни.

Как умножать корни?

Да очень просто. Прямо по формуле. Например:

Казалось бы, умножили, и что? Много ли радости?! Согласен, немного. А вот как вам такой пример?

Из множителей корни ровно не извлекаются. А из результата — отлично! Уже лучше, правда? На всякий случай сообщу, что множителей может быть сколько угодно. Формула умножения корней всё равно работает. Например:

Так, с умножением всё ясно, зачем нужно это свойство корней — тоже понятно.

Полезная вещь вторая. Внесение числа под знак корня.

Как внести число под корень?

Предположим, что у нас есть вот такое выражение:

Можно ли спрятать двойку внутрь корня? Легко! Если из двойки сделать корень, сработает формула умножения корней. А как из двойки корень сделать? Да тоже не вопрос! Двойка — это корень квадратный из четырёх!

Корень, между прочим, можно сделать из любого неотрицательного числа! Это будет корень квадратный из квадрата этого числа. 3 — корень из 9. 8 — корень из 64. 11 — корень из 121. Ну, и так далее.

Конечно, расписывать так подробно нужды нет. Разве что, для начала. Достаточно сообразить, что любое неотрицательное число, умноженное на корень, можно внести под корень. Но — не забывайте! — под корнем это число станет квадратом самого себя. Это действие — внесение числа под корень — можно ещё назвать умножением числа на корень. В общем виде можно записать:

Процедура простая, как видите. А зачем она нужна?

Как и любое преобразование, эта процедура расширяет наши возможности. Возможности превратить жестокое и неудобное выражение в мягкое и пушистое). Вот вам простенький пример:

Как видите, свойство корней, позволяющее вносить множитель под знак корня, вполне годится для упрощения.

Кроме того, внесение множителя под корень позволяет легко и просто сравнивать значения различных корней. Безо всякого их вычисления и калькулятора! Третья полезная вещь.

Как сравнивать корни?

Это умение очень важно в солидных заданиях, при раскрытии модулей и прочих крутых вещах.

Сравните вот эти выражения. Какое из них больше? Без калькулятора! С калькулятором каждый. э-э-э. короче, каждый справится!)

Так сразу и не скажешь. А если внести числа под знак корня?

Запомним (вдруг, не знали?): если число под знаком корня больше, то и сам корень — больше! Отсюда сразу правильный ответ, безо всяких сложных вычислений и расчётов:

Здорово, да? Но и это ещё не всё! Вспомним, что все формулы работают как слева направо, так и справа налево. Мы пока формулу умножения корней слева направо употребляли. Давайте запустим это свойство корней наоборот, справа налево. Вот так:

И какая разница? Разве это что-то даёт!? Конечно! Сейчас сами увидите.

Предположим, нам нужно извлечь (без калькулятора!) корень квадратный из числа 6561. Кое-кто на этом этапе и падёт в неравной борьбе с задачей. Но мы упорные, мы не сдаёмся! Полезная вещь четвёртая.

Как извлекать корни из больших чисел?

Вспоминаем формулу извлечения корней из произведения. Ту, что я чуть выше написал. Но где у нас произведение!? У нас огромное число 6561 и всё. Да, произведения здесь нет. Но если нам надо — мы его сделаем! Разложим это число на множители. Имеем право.

Для начала сообразим, на что делится это число ровно? Что, не знаете!? Признаки делимости забыли!? Зря. Идите в Особый раздел 555, тема «Дроби», там они есть. На 3 и на 9 делится это число. Потому, что сумма цифр (6+5+6+1=18) делится на эти числа. Это один из признаков делимости. На три нам делить ни к чему (сейчас поймёте, почему), а вот на 9 поделим. Хотя бы и уголком. Получим 729. Вот мы и нашли два множителя! Первый — девятка (это мы сами выбрали), а второй — 729 (такой уж получился). Уже можно записать:

Улавливаете идею? С числом 729 поступим аналогично. Оно тоже делится на 3 и 9. На 3 опять не делим, делим на 9. Получаем 81. А это число мы знаем! Записываем:

Всё получилось легко и элегантно! Корень пришлось по кусочкам извлекать, ну и ладно. Так можно поступать с любыми большими числами. Раскладывать их на множители, и — вперёд!

Кстати, а почему на 3 делить не надо было, догадались? Да потому, что корень из трёх ровно не извлекается! Имеет смысл раскладывать на такие множители, чтобы хотя бы из одного корень хорошо извлекался. Это 4, 9, 16 ну, и так далее. Делите своё громадное число на эти числа поочерёдно, глядишь, и повезёт!

Но не обязательно. Может и не повезти. Скажем, число 432 при разложении на множители и использовании формулы корней для произведения даст такой результат:

Ну и ладно. Всё равно мы упростили выражение. В математике принято оставлять под корнем самое маленькое число из возможных. В процессе решения все зависит от примера (может и без упрощения всё посокращается), а вот в ответе надо дать результат, который уже дальнейшему упрощению не поддаётся.

Кстати, знаете, что мы с вами сейчас с корнем из 432 сделали?

Мы вынесли множители из-под знака корня! Вот так называется эта операция. А то попадётся задание — «вынести множитель из-под знака корня» а мужики-то и не знают. ) Вот вам ещё одно применение свойства корней. Полезная вещь пятая.

Как вынести множитель из-под корня?

Легко. Разложить подкоренное выражение на множители и извлечь корни, которые извлекаются. Смотрим:

Ничего сверхъестественного. Важно правильно выбрать множители. Здесь мы разложили 72 как 36·2. И всё получилось удачно. А могли разложить иначе: 72 = 6·12. И что!? Ни из 6, ни из 12 корень не извлекается. Что делать?!

Ничего страшного. Или поискать другие варианты разложения, или продолжать раскладывать всё до упора! Вот так:

Как видим, всё получилось. Это, кстати, не самый быстрый, но самый надёжный способ. Раскладывать число на самые маленькие множители, а затем собирать в кучки одинаковые. Способ успешно применяется и при перемножении неудобных корней. Например, надо вычислить:

Перемножать всё — сумасшедшее число получится! И как потом из него корень извлекать?! Опять на множители раскладывать? Не, лишняя работа нам ни к чему. Сразу раскладываем на множители и собираем одинаковые по кучкам:

Вот и всё. Конечно, раскладывать до упора не обязательно. Всё определяется вашими личными способностями. Довели пример до состояния, когда вам всё ясно, значит, можно уже считать. Главное — не ошибаться. Не человек для математики, а математика для человека!)

Применим знания к практике? Начнём с простенького:

Вынесение множителя из под знака корня

Сценарий открытого урока в 8 классе «Вынесение множителя из под знака корня»

Просмотр содержимого документа
«Вынесение множителя из под знака корня»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Пушкинского муниципального района

«Софринская средняя общеобразовательная школа № 2»

Открытый урок

«Вынесение множителя из-под знака корня.

Внесение множителя под знак корня»,

1. Начать формировать умение учащихся выносить множитель из-под знака корня и вносить множитель под знак корня на простейших примерах.

2. Развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации, развивать логическое мышление, умение делать вывод и обобщения.

3. Воспитывать интерес к предмету, культуру поведения, чувство ответственности.

Тип: изучение нового материала.

Форма: игровая, проблемное обучение, исследовательская работа (ознакомление с этапами исследовательской работы).

Оборудование: оформленная доска, эмблема, плакат с заданием, алгоритмы.

1. Организационный момент. Взаимное приветствие.

Сегодня наш класс отправляется в научно-исследовательскую экспедицию, которая называется «Радикал» (эмблема на доске).

— Ребята, а как вы думаете, почему экспедиция называется «радикал»?

В эпоху Возрождения европейские математики обозначали корень латинским словом «Radix» — корень. Отсюда и произошел термин радикал, которым принято называть знак корня.

Девизом нашей экспедиции я взяла слова А.В.Суворова «Непреодолимого на свете ничего нет».

Наша экспедиция создается для обнаружения новых незнакомых действий с корнями.

А теперь, ребята, давайте обратим внимание на этапы исследовательской работы:

1. Подготовительный этап.

2. Выдвижение гипотезы.

3. Проверка истинности гипотезы. Опора на ранее изученный материал.

4. Теоретическое обоснование.

5. Применение на практике.

6. Завершающий этап (подведение итога работы)

Мы с вами придерживаясь данных этапов на первом этапе нашей работы проверим теоретическую подготовку экспедиции.

1) Какие из следующих равенств являются верными?

=5, — = — 6, = — 0,

=-4, = — 2, =3.

2) Представьте числа в виде произведения таких множителей, чтобы один из них являлся квадратом рационального числа.

3) Представьте числа в виде арифметического корня:

4) Вычислите значение выражения

= =

Продолжи ряд чисел:

, , , …

3. Изучение нового материала.

Большая часть участников экспедиции готова к научно-исследовательской работе. Ваша задача по поставленному мною вопросу сформулировать тему нашей научно-исследовательской работы.

Итак, ребята, перед нами практическая задача: Применим теорему о корне из произведения.

Как сравнить значения выражений?

и 4

а) Для применим теорему о корне из произведения.

б) представим произведение 4в виде арифметического квадратного корня.

Такие преобразования называют вынесение множителя из-под знака корня и внесение множителя под знак корня.

А теперь давайте, ребята сформулируем тему над которой работает наша научно-исследовательская экспедиция и запишем в тетради.

Данная тема очень часто применяется для сравнения выражений и преобразовании выражений, содержащих квадратные корни.

Прежде чем приступить к данной теме на практике, давайте составим алгоритм вынесения множителя из-под знака корня и внесение множителя под знак корня.

(Вывешивается последовательно на доску)

ВЫНЕСЕНИЕ МНОЖИТЕЛЯ ИЗ-ПОД ЗНАКА КОРНЯ

1) Представим подкоренное выражение в виде произведения таких множителей, чтобы из одного можно было бы извлечь квадратный корень.

2) Применим теорему о корне из произведения.

3) Извлечь корень

Запишем данное преобразование и в буквенном виде:

Если а

ВНЕСЕНИЕ МНОЖИТЕЛЯ ПОД ЗНАК КОРНЯ

1) Представим произведение в виде арифметического квадратного корня.

2) Преобразуем произведение квадратных корней в квадратный корень из произведения подкоренных выражений..

3) Выполним умножение под знаком корня.

Запишем данное преобразование в буквенном виде:

Если

4. А теперь ребята, давайте обратим внимание на этапы исследовательской работы и переходим к следующему этапу – применение наших исследований на практике.

б)(на доске и в тетрадях)

г)(прокомментировать с места)

е) (вернуться к устным упражнениям №2)

з)( вернуться к устным упражнениям №2)

2 ученика на крыльях доски

а)

№ 401 ( д, ж) — прокомментировать

№ 404 (в, г) (на доске и в тетрадях)

№ 404 (а, б) — 2 ученика на крыльях доски

5. Я считаю, что у вас хорошие результаты исследовательской работы и теперь каждый оценит себя сам при выполнении обучающего теста.

Вынести множитель из-под знака корня:

а) 3 , б) 5 , в)-5 , г) -3 .

а) 6 , б) –x, в) -6 , г) x.

а) 6 ; б)6а; в)6а 2 ; г)-6а .

Внести множитель под знак корня:

а) , б) , в) — , г) .

Прав, ребята, был Александр Васильевич Суворов : непреодолимого на свете ничего нет.

Каждое правильно выполненное задание оценим в 1 балл. Кто набрал 3 балла? Более 3 баллов? Более 4 баллов? Оценки все кроме “2” в журнал, “3” по желанию.

Те, у кого были затруднения на перемене подойти к доске и просмотреть решения заданий.

6. Ребята наша исследовательская работа на сегодняшнем уроке не заканчивается. Поэтому дома продолжаете работу с п.17, обращаете особое внимание на примеры выражений, содержащих переменную перед радикалом и под радикалом. О результатах своих исследований сообщите на следующем уроке и не забывайте об этапах исследовательской работы. В дневниках записали: п.17 № 403, № 407.

7. За вашу сегодняшнюю работу предлагаю вам басню на размышление:

Мартышка – апельсинов продавщица,
Приехав как-то раз к себе на дачу,
Нашла там с радикалами задачу.
Но сосчитать не в силах стройный ряд,
Разбрасывать их стала все подряд,
И молвила: “Что толку в той задаче,
Коль из неё не слепишь новой дачи!”
Мы верим всё же, что мартышки мненье —
Не истина для тех, кто знает толк в ученье.
И просим вас, девчонки и мальчишки,
Решить задачу на хвосте мартышки.

( )

(?)

Указание: разобраться в закономерности чисел, расположенных в 1 строке и учитывая эту закономерность по аналогии вместо ? поставить выражение.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: