Как вычислить частную производную

Частные производные для функции от нескольких переменных

21 сентября 2015

Рассмотрим функцию от двух переменных:

[f=fleft( x,y right)]

Поскольку переменные $x$ и $y$ являются независимыми, для такой функции можно ввести понятие частной производной:

функции $f$ в точке $M=left( <_<0>>;<_<0>> right)$ по переменной $x$ — это предел

Аналогично можно определить частную производную по переменной $y$ :

Другими словами, чтобы найти частную производную функции нескольких переменных, нужно зафиксировать все остальные переменные, кроме искомой, а затем найти обычную производную по этой искомой переменной.

Отсюда вытекает основной приём для вычисления таких производных: просто считайте, что все переменные, кроме данной, являются константой, после чего дифференцируйте функцию так, как дифференцировали бы «обычную» — с одной переменной. Например:

Очевидно, что частные производные по разным переменным дают разные ответы — это нормально. Куда важнее понимать, почему, скажем, в первом случае мы спокойно вынесли $10y$ из-под знака производной, а во втором — вовсе обнулили первое слагаемое. Всё это происходит из-за того, что все буквы, кроме переменной, по которой идёт дифференцирование, считаются константами: их можно выносить, «сжигать» и т.д.

Что такое «частная производная»?

Сегодня мы поговорим о функциях нескольких переменных и о частных производных от них. Во-первых, что такое функция нескольких переменных? До сих пор мы привыкли считать функцию как $yleft( x right)$ или $tleft( x right)$, или любую переменную и одну-единственную функцию от нее. Теперь же функция у нас будет одна, а переменных несколько. При изменении $y$ и $x$ значение функции будет меняться. Например, если $x$ увеличится в два раза, значение функции поменяется, при этом если $x$ поменяется, а $y$ не изменится, значение функции точно так же изменится.

Разумеется, функцию от нескольких переменных, точно так же как и от одной переменной, можно дифференцировать. Однако поскольку переменных несколько, то и дифференцировать можно по разным переменным. При этом возникают специфические правила, которых не было при дифференцировании одной переменной.

Прежде всего, когда мы считаем производную функции от какой-либо переменной, то обязаны указывать, по какой именно переменной мы считаем производную — это и называется частной производной. Например, у нас функция от двух переменных, и мы можем посчитать ее как по $x$, так и по $y$ — две частных производных у каждой из переменных.

Во-вторых, как только мы зафиксировали одну из переменных и начинаем считать частную производную именно по ней, то все остальные, входящие в эту функцию, считаются константами. Например, в $zleft( xy right)$, если мы считаем частную производную по $x$, то везде, где мы встречаем $y$, мы считаем ее константой и обращаемся с ней именно как с константой. В частности при вычислении производной произведения мы можем выносить $y$ за скобку (у нас же константа), а при вычислении производной суммы, если у нас где-то получается производная от выражения, содержащего $y$ и не содержащего $x$, то производная этого выражения будет равна «нулю» как производная константы.

На первый взгляд может показаться, что я рассказываю о чем-то сложном, и многие ученики по началу путаются. Однако ничего сверхъестественного в частных производных нет, и сейчас мы убедимся в этом на примере конкретных задач.

Задачи с радикалами и многочленами

Задача № 1

Чтобы не терять время зря, с самого начала начнем с серьезных примеров.

Для начала напомню такую формулу:

Это стандартное табличное значение, которое мы знаем из стандартного курса.

В этом случае производная $z$ считается следующим образом:

Давайте еще раз, поскольку под корнем стоит не $x$, а некое другое выражение, в данном случае $frac$, то сначала мы воспользуемся стандартным табличным значением, а затем, поскольку под корнем стоит не $x$, а другое выражение, нам необходимо домножить нашу производную на еще одну из этого выражения по той же самой переменной. Давайте для начала посчитаем следующее:

Возвращаемся к нашему выражению и записываем:

В принципе, это все. Однако оставлять ее в таком виде неправильно: такую конструкцию неудобно использовать для дальнейших вычислений, поэтому давайте ее немного преобразуем:

Ответ найден. Теперь займемся $y$:

Задача № 2

Этот пример одновременно и проще, и сложней, чем предыдущий. Сложнее, потому что здесь больше действий, а проще, потому что здесь нет корня и, кроме того, функция симметрична относительно $x$ и $y$, т.е. если мы поменяем $x$ и $y$ местами, формула от этого не изменится. Это замечание в дальнейшем упростит нам вычисление частной производной, т.е. достаточно посчитать одну из них, а во второй просто поменять местами $x$ и $y$.

Приступаем к делу:

Однако многим ученикам такая запись непонятна, поэтому запишем вот так:

Таким образом, мы еще раз убеждаемся в универсальности алгоритма частных производных: каким бы мы образом их не считали, если все правила применяются верно, ответ будет один и тот же.

Теперь давайте разберемся еще с одной частной производной из нашей большой формулы:

Подставим полученные выражения в нашу формулу и получим:

По $x$ посчитано. А чтобы посчитать $y$ от того же самого выражения, давайте не будем выполнять всю ту же последовательность действий, а воспользуемся симметрией нашего исходного выражения — мы просто заменим в нашем исходном выражении все $y$ на $x$ и наоборот:

За счет симметрии мы посчитали это выражение гораздо быстрее.

Нюансы решения

Для частных производных работают все стандартные формулы, которые мы используем для обычных, а именно, производная частного. При этом, однако, возникают свои специфические особенности: если мы считаем частную производную $x$, то когда мы получаем ее по $x$, то рассматриваем ее как константу, и поэтому ее производная будет равна «нулю».

Как и в случае с обычными производными, частную (одну и ту же) можно посчитать несколькими различными способами. Например, ту же конструкцию, которую мы только что посчитали, можно переписать следующим образом:

Далее мы точно таким же образом считаем еще две конструкции, а именно:

Вместе с тем, с другой стороны, можно использовать формулу от производной суммы. Как мы знаем, она равна сумме производных. Например, запишем следующее:

Теперь, зная все это, давайте попробуем поработать с более серьезными выражениями, поскольку настоящие частные производные не ограничиваются одними лишь многочленами и корнями: там встречаются и тригонометрия, и логарифмы, и показательная функция. Сейчас этим и займемся.

Задачи с тригонометрическими функциями и логарифмами

Задача № 1

[zleft( x,y right)=sqrtcos frac]

Запишем следующие стандартные формулы:

Вооружившись этими знаниями, попробуем решить:

Отдельно выпишем одну переменную:

Возвращаемся к нашей конструкции:

Все, по $x$ мы нашли, теперь давайте займемся вычислениями по $y$:

Опять же посчитаем одно выражение:

Возвращаемся к исходному выражению и продолжаем решение:

Задача № 2

[zleft( x,y right)=ln left( x+ln y right)]

Запишем необходимую нам формулу:

Теперь посчитаем по $x$:

По $x$ найдено. Считаем по $y$:

Нюансы решения

Итак, от какой бы функции мы не брали частную производную, правила остаются одними и теми же, независимо от того, работаем ли мы с тригонометрией, с корнями или с логарифмами.

Неизменными остаются классические правила работы со стандартными производными, а именно, производная суммы и разности, частного и сложной функции.

Последняя формула чаще всего и встречается при решении задач с частными производными. Мы встречаемся с ними практически везде. Ни одной задачи еще не было, чтобы там нам она не попадалась. Но какой бы мы формулой не воспользовались, нам все равно добавляется еще одно требование, а именно, особенность работы с частными производными. Как только мы фиксируем одну переменную, все остальные оказываются константами. В частности, если мы считаем частную производную выражения $cos frac$ по $y$, то именно $y$ и является переменной, а $x$ везде остается константой. То же самое работает и наоборот. Ее можно выносить за знак производной, а производная от самой константы будет равна «нулю».

Все это приводит к тому, что частные производные от одного и того же выражения, но по разным переменным могут выглядеть совершенно по-разному. Например, посмотрим такие выражения:

Задачи с показательными функциями и логарифмами

Задача № 1

Для начала запишем такую формулу:

Зная этот факт, а также производную сложной функции, давайте попробуем посчитать. Я сейчас решу двумя различными способами. Первый и самый очевидный — это производная произведения:

Давайте решим отдельно следующее выражение:

Возвращаемся к нашей исходной конструкции и продолжаем решение:

Все, по $x$ посчитано.

Однако как я и обещал, сейчас постараемся посчитать эту же частную производную другим способом. Для этого заметим следующее:

В этом запишем так:

В результате мы получили точно такой же ответ, однако объем вычислений оказался меньшим. Для этого достаточно было заметить, что при произведении показатели можно складывать.

Теперь посчитаем по $y$:

Давайте решим одно выражение отдельно:

Продолжим решение нашей исходной конструкции:

Разумеется, эту же производную можно было бы посчитать вторым способом, ответ получился бы таким же.

Задача № 2

[zleft( x,y right)=xln left( <^<2>>+y right)]

Давайте посчитаем одно выражение отдельно:

Продолжим решение исходной конструкции: $$

Вот такой ответ.

Осталось по аналогии найти по $y$:

Одно выражение посчитаем как всегда отдельно:

Продолжаем решение основной конструкции:

Все посчитано. Как видите, в зависимости от того, какая переменная берется для дифференцирования, ответы получаются совершенно разные.

Нюансы решения

Вот яркий пример того, как производную одной и той же функции можно посчитать двумя различными способами. Вот смотрите:

При выборе разных путей, объем вычислений может быть разный, но ответ, если все выполнено верно, получится одним и тем же. Это касается как классических, так и частных производных. При этом еще раз напоминаю: в зависимости от того, по какой переменной идет взятие производной, т.е. дифференцирование, ответ может получиться совершенно разный. Посмотрите:

В заключение для закрепления всего этого материала давайте попробуем посчитать еще два примера.

Задачи с тригонометрической функция и функцией с тремя переменными

Задача № 1

Давайте запишем такие формулы:

Давайте теперь решать наше выражение:

Отдельно посчитаем такую конструкцию:

Продолжаем решать исходное выражение:

Это окончательный ответ частной переменной по $x$. Теперь посчитаем по $y$:

Решим одно выражение отдельно:

Решаем до конца нашу конструкцию:

Задача № 2

На первый взгляд этот пример может показаться достаточно сложным, потому что здесь три переменных. На самом деле, это одна из самых простых задач в сегодняшнем видеоуроке.

Теперь разберемся с $y$:

Теперь остается найти по $z$:

Мы посчитали третью производную, на чем решение второй задачи полностью завершено.

Нюансы решения

Как видите, ничего сложного в этих двух примерах нет. Единственное, в чем мы убедились, так это в том, что производная сложной функции применяется часто и в зависимости от того, какую частную производную мы считаем, мы получаем разные ответы.

В последней задаче нам было предложено разобраться с функцией сразу от трех переменных. Ничего страшного в этом нет, однако в самом конце мы убедились, что все они друг от друга существенно отличаются.

Ключевые моменты

Окончательные выводы из сегодняшнего видеоурока следующие:

  1. Частные производные считаются так же, как и обычные, при этом, чтобы считать частную производную по одной переменной, все остальные переменные, входящие в данную функцию, мы принимаем за константы.
  2. При работе с частными производными мы используем все те же стандартные формулы, что и с обычными производными: сумму, разность, производную произведения и частного и, разумеется, производную сложной функции.

Конечно, просмотра одного этого видеоурока недостаточно, чтобы полностью разобраться в этой теме, поэтому прямо сейчас на моем сайте именно к этому видео есть комплект задач, посвященных именно сегодняшней теме — заходите, скачивайте, решайте эти задачи и сверяйтесь с ответом. И после этого никаких проблем с частными производными ни на экзаменах, ни на самостоятельных работах у вас не будет. Конечно, это далеко не последний урок по высшей математике, поэтому заходите на наш сайт, добавляйтесь ВКонтакте, подписывайтесь на YouTube, ставьте лайки и оставайтесь с нами!

Методическое пособие для преподавателей математики и студентов средних специальных учебных заведений. Частные производные. Дифференциальные уравнения в частных производных

Разделы: Математика

I Основные понятия функции нескольких переменных

1.1 Понятие функции нескольких переменных

Пусть D – некоторое множество пар действительных чисел и пусть каждой паре (x; y) из D поставлено в соответствие число Z. Тогда говорят, что на множестве D задана функция двух переменных Z = f(x,y).

Переменные x,y называют независимыми переменными (или аргументами), Z — зависимой переменной; говорят также, что f(x,y) есть значение функции f в точке (x;y).

Множество D называют областью определения функции.

Все значения, которые принимает функция f(x,y) (при (x,y) принадлежащих области её определения), образуют область значений функции.

Аналогично можно ввести понятие функции трех переменных u = f(x,y,z), определенной на множестве D, состоящем не из действительных чисел (как для функции одной переменной) и не из пар действительных чисел (как для функции двух переменных), а из троек действительных чисел (x,y,z), рассматриваемых в определенном порядке. Можно ввести понятие функции четырех, пяти и вообще любого конечного числа переменных – все такие функции называют функциями нескольких переменных.

Примеры функций нескольких переменных:

S = xy – площадь прямоугольника со сторонами x, y есть функция двух переменных;

U = IR (закон Ома) – напряжение U на участке электрической цепи есть функция двух переменных: силы тока I и сопротивления R;

V = xyz — объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами x,y,z есть функция трех переменных.

Чтобы задать функцию двух (трех) переменных, нужно указать способ, с помощью которого для каждой пары (тройки) значений аргументов можно найти соответствующее значение функции.

Наиболее употребительным (как и в случае функций одной переменной) является способ задания функции с помощью формулы Z = f(x,y), где f(x,y) – некоторое выражение с переменными x,y. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

Значение функции Z = f(x,y) в точке M(x,y) называется частным значением функции и обозначается f(x,y) или f(M).

Дана функция Вычислить

1.2 Область определения

Область определения функции Z = f(x,y)в простейших случаях представляет собой либо часть плоскости, ограниченную замкнутой кривой, причем точки этой кривой (границы области) могут принадлежать или не принадлежать области определения, либо всю плоскость, либо, наконец, совокупность нескольких частей плоскости xOy

Геометрическим изображением функции Z = f(x,y) в прямоугольной системе координат Oxyz (графиком функции) является некоторая плоскость.

Для аналитически заданной функции иногда не указывают явно область ее определения. В таком случае подразумевают, что область определения функции Z = f(x,y) совпадает с областью определения выражения Z = f(x,y), т.е. с множеством тех значений x,y, при которых выражение f(x,y) имеет смысл.

Пример: Найти область определения функции:

а) Функция не определена лишь в случае, когда y = x. Геометрически это означает, что область определения функции состоит из двух полуплоскостей, одна из которых лежит выше, а другая ниже прямой y = x.

б) Функция определена при условии , т.е. . Это круг с центром в начале координат и радиусом , включающий свою границу, т.е. окружность = 1.

в) Функция определена при условии — 4 > 0, т.е. > 4. Это часть плоскости, лежащая вне круга с центром в начале координат и радиусом 2, не включающая границу круга, т.е. окружность = 4

г) Функция определена при (x,y,z), удовлетворяющих одновременно условиям x 0, y 0, z 0.

1.3 Частные производные

Пусть задана функция Z = f(x,y).

Переменной x дадим приращение dx, а y оставим без изменения. Если существует предел:

то он называется частной производной от функции Z = f(x,y) по переменной x.

Обозначать частную производную от функции Z = f(x,y) по переменной x можно любым из символов:

Чтобы найти частную производную от функции Z = f(x,y) по переменной x, нужно найти производную от этой функции по x, считая, что x является постоянной.

Аналогично, частной производной от функции Z = f(x,y) по переменной y, называется предел:

и обозначается одним из символов:

Частная производная от функции Z = f(x,y) по переменной y — это производная от функции Z = f(x,y) по переменной в предположении, что x = const..

Частные производные от функции нескольких переменных находятся как производные от функции одной переменной при условии, что все остальные переменные считаются на момент дифференцирования постоянными.

Частными производными второго порядка от функции Z = f(x,y) называются частные производные от частных производных первого порядка:

Частные производныеназываются смешанными частными производными второго порядка.

В точках, где смешанные производные непрерывны, они равны, т.е.:

Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Пример 1. Найти .

Рассматривая y как постоянную величину, получим

Рассматривая x как постоянную, найдем

Пример 3. Найти

Найдем частные производные:

Дифференцируя повторно, получим

Пример 4.

.

Пример 6. Требуется показать, что функция удовлетворяет равенству:

Найдем частные производные первого порядка

Найдем смешанную производную

Подставим найденные производные в равенство

т.е. равенство верно.

Ответ: Функция удовлетворяет равенству .

13. Частные производные, частные производные высших порядков

Мы видели, что понятие производной функции оказалось очень полезным для исследования функций одной переменной. Но как применить это понятие для функции двух переменных. Можно считать одну переменную постоянной и взять производную по другой – так мы получим частные производные.

Пусть функция Z=F(X; Y) определена в открытой области D и точка (X0; Y0D.

Дадим значению Х0 приращение DХ, сохраняя значение второго аргумента неизменным и равным Y0. Тогда функция F получит приращение

, которое, естественно, назвать ее частным приращением по переменной Х или частным приращением в направлении оси ОХ.

Частной производной первого порядка функции F по переменной Х в точке (Х0; Y0) называется предел отношения частного приращения DХZ функции F в точке (Х0; Y0) к приращению DХ, когда DХ®0.

Частная производственная функции Z=F(х; Y) в точке (Х0; Y0) по переменной Х обозначается чаще всего следующим образом:

Аналогично определяется частная производная (первого порядка) функции F по переменной Y в точке (Х0; Y0):

Из определения следует, что частная производная функции Z=F(х; Y) по Х есть обыкновенная производная функции Z=F(х; Y0), рассматриваемая как функция одной переменной Х при постоянном значении другой переменной Y. Чтобы найти F’X(X0; Y0), надо взять производную от F(X; Y) по Х, считая Y постоянным, и затем, в полученном результате, заменить х на Х0, а Y – на Y0.

Обратите внимание на отличие в написании производных .

Пример 1. Найти F’x(3;-2), если

Решение. Пользуемся правилами вычисления обычных производных, считая Х переменной, а У постоянным:

Аналогично следует поступать при вычислении частной производной функции Z=F(X;Y) по Y. Только теперь при нахождении F’Y(X0;Y0) надо брать производную от F(X;Y) по Y, считая Х постоянным.

Пример 2. Найти F’Y(-3; -2) функции предыдущего примера.

Решение. Фиксируя Х, получим

Таким образом, приходим к следующему правилу вычисления частных производных.

Чтобы вычислить частную производную от функции Z=Zf(х;Y) по одному из ее аргументов, нужно вычислить производную от функции F по этому аргументу, считая другой аргумент постоянным.

Заметим, что если частные производные функции Z=F(X;Y) существуют в точке (х0;Y0), то они представляют собой вполне определенные конечные числа, которые мы обозначили F’X(X0;Y0) и F’Y(X0;Y0). Но может оказаться, что функция F, определенная в области D, имеет в каждой точке этой области частные производные. Тогда F’X и F’Y есть функции, определенные в области D. В этом случае функции F’X(X;Y) и F’Y(X;Y), определенные в области D, называют частными производными функциями.

Пример 3. Найти функции Z=Yx.

Решение. Найдем сначала частную производную функцию по Х. При дифференцировании по переменной Х данная функция Z является показательной (здесь основание степени Y постоянно).

При дифференцировании по переменной Y функция Z является степенной (здесь показатель степени Х постоянен). Будем иметь:

Пусть в области D функция Z=F(X;Y) имеет частные производные . Естественно поставить вопрос об определении частных производных по X и Y от этих функций в точке (X0; Y0)ÎD. Так мы придем к понятию Частных производных второго порядка от функции Z=F(X; Y) в точке (X0,Y0). Таким образом, каждая из производных функций порождает две производные второго порядка, которые обозначаются следующим образом:

Возможны и другие обозначения частных производных второго порядка. Например,

Частные производные, взятые по различным переменным, называются Смешанными.

Пример. Найдем частные производные второго порядка от функции

Решение. Найти сначала частные производные функции первого порядка:

Дифференцируя каждую из полученных функций вторично и подставляя после этого вместо X значение –1, а вместо y значение 2, окончательно будем иметь:

Сравните между собой значения смешанных производных . Они совпадают. Это обстоятельство не является случайным. Частные производные, вычисленные по различным переменным и отличающиеся друг от друга лишь последовательностью производных дифференцирований, для широкого класса функций будут равны между собой.

Примеры решений задач: функции нескольких переменных

В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа для функций нескольких переменных:

  • Область определения
  • Частные производные и дифференциал
  • Градиент, производная по направлению
  • Касательная плоскость и нормаль
  • Экстремумы функции нескольких переменных
  • Приближенные вычисления
  • Ряд Тэйлора
  • Наибольшее и наименьшее значение в области
  • Контрольное задание

Примеры: область определения ФНП

Задача 1. Найти область определения функции двух переменных $z=f(x,y)$. Изобразить ее на координатной плоскости и заштриховать.

Задача 2. Для данной функции найти область определения и изобразить ее на рисунке в системе координат.

Примеры: частные производные ФНП

Задача 3. Найти частные производные: $z=tg^3 (3x-4y)$

Задача 4. Найти частные производные второго порядка $z=sqrt$

Задача 5. Найти частные производные сложной функции:

$$ z=u^2 cdot ln v; quad u=frac, , v=x^2+y^2.$$

Задача 6. Проверить справедливость теоремы о смешанных производных второго порядка.

Задача 7. Найти полный дифференциал данной функции

Задача 8. Найти дифференциал второго порядка функции:

Задача 9. Для функции $z(x,y)$ двух переменных, неявно заданной уравнением $sin(xz)+cos(yz)=1$, найдите первый и второй дифференциалы в точке $x=y=1, z=0$.

Задача 10. Проверить, удовлетворяет ли функция двух переменных $z(x,y)$ указанному дифференциальному уравнению.

Градиент, производная по направлению

Задача 11. Найти производную функции $f(x,y,z)$ в точке $M(x_0,y_0,z_0)$ по направлению вектора $overline$. Вычислить наибольшую скорость изменения функции в данной точке.

Задача 13. Найдите градиент, производную по направлению $overline$ и матрицу Гессе в точке $M$ заданной функции, где $u=f(x,y,z)=x^2z+z^2x^2+y^3$, $overline=<2;1;-2>$, $M(1,3,1)$.

Задача 14. Найти производную функции $u$ в точке $M$ по направлению нормали к поверхности $S$, образующей острый угол с положительным направлением оси $Oz$.

Касательная плоскость и нормаль

Задача 15. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $x^2+y^2-x+2y+4z-13=0$ в точке $M(2,1,2)$.

Задача 16. Для кривой $overline=overline(t)$ найти в точке $t_0$ уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии.

$$ overline(t)=(t^2-3)overline + (t^3+2)overline+ln t overline, quad t_0=1 $$

Задача 17. Найти градиент, первый дифференциал, матрицу вторых производных, второй дифференциал функции $z=2xy-xy^4+5y^3-3$ в точке $A(2,-3)$. Составить уравнения касательной плоскости и соприкасающегося параболоида к графику данной функции.

Экстремумы функции нескольких переменных

Задача 18. Найти точки экстремума функции $z=x^2+xy+y^2+2x-y$.

Задача 19. Найти точки локального экстремума и экстремальные значения $z=x^2+y^2-xy+x+y$.

Задача 20. Исследовать на экстремум функцию $z=x^4+xy+frac<1><2>y^2+5$.

Задача 21. Определите, при каких значениях параметра $a$ функция $z(x,y)=x^3+y^3+4xy-7x-7y+a(x-1)^2+a(y-1)^2$ в точке (1;1):
А) имеет максимум,
Б) имеет минимум,
В) не имеет экстремума.

Задача 22. Найдите (локальные) экстремумы функции трех переменных $f(x,y,z)=2x^2-xy+2xz-y+y^3+z^2$.

Приближенные вычисления

Задача 23. Вычислить приближенно значение функции $Z=Z(x,y)$ и данной точке с помощью дифференциала.

Задача 24. Дана функция $z=x^2+2xy+3y^2$ и две точки $А (2; 1)$ и $В (1,96; 1,04)$. Требуется:
1) вычислить точное значение функции в точке $В$;
2) вычислить приближённое значение функции в точке $В$, исходя из значения функции в точке $А$ и заменив приращение функции при переходе от точки $А$ к точке $B$ дифференциалом;
3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции её дифференциалом.

Ряд Тэйлора

Задача 25. Разложите функцию $f(x,y)=x^2ln y + y^2$ по формуле Тейлора (с остаточным членом в форме Пеано) в окрестности точки $M(2;1)$ до членов второго порядка включительно. Выпишите первый и второй дифференциалы заданной функции.

Задача 26. Найти первые и вторые частные производные функции $F$ и записать формулу Тэйлора в указанной точке $x^0$.

Наибольшее и наименьшее значение в области

Задача 27. Найти наименьшее $m$ и наибольшее $M$ значения функции $z=f(x,y)=3-2x^2-xy-y^2$ в замкнутой области $D$, заданной системой неравенств $-1 le x le 1; 0le y le 2$. Сделать чертёж области $D$.

Задача 28. Экстремумы функций нескольких переменных. Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $z=5x^2-3xy+y^2+4$ в области, ограниченной заданными линиями $x=0, y=0, x+y=2$.

Решение контрольной

Контрольное задание. Дана функция $f(x,y)=x^2+y^2-3xy$
1. Исследовать функцию $f$ на экстремум. Найти экстремальные значения функции.
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f$ в заданной области $D$.
3. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности $z=f(x,y)$ в точке, где $x=x_0=1$, $y=y)0=3$.
4. Найти величину наибольшей скорости возрастания функции $f$ в точке $M_1(-1;1)$.
5. Вычислить производную функции $f$ в точке $M_1$ в направлении вектора $overline$. Каков характер изменения функции? Почему?
6. Найти угол между градиентами функции $f$ в точках $M_1$ и $M_2(2;2)$. Построить векторы и указать угол.

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Частные производные

Тема 2.4 Функции нескольких переменных.

Основные понятия.

При рассмотрении многих вопросов из различных областей знания приходится изучать такие зависимости между переменными величинами, когда числовые значения одной из них полностью определяются значениями нескольких других.

Например, изучая физическое состояние какого-либо тела, приходится наблюдать изменение его свойств от точки к точке. Каждая точка тела задается тремя координатами: x, y, z. Поэтому, изучая, скажем, распределение плотности, заключаем, что плотность тела зависит от трех переменных: x, y, z. Если физическое состояние тела к тому же еще и меняется с течением времени t, то та же плотность будет зависеть уже от значений четырех переменных: x, y, z, t.

Другой пример: изучаются издержки производства на изготовление единицы некоторого вида продукции. Пусть:

x — затраты по материалам,

y — расходы на выплату заработной платы работникам,

z — амортизационные отчисления.

Очевидно, что издержки производства зависят от значений названных параметров x, y, z.

Определение.Если каждой совокупности значений n переменных из некоторого множества D этих совокупностей соответствует своё единственное значение переменной z, то говорят, что на множестве D задана функция n переменных.

Множество D называется областью определения или областью существования этой функции.

Если рассматривается функция двух переменных, то совокупности чисел

обозначаются, как правило, (x, y) и интерпретируются как точки координатной плоскости Oxy, а область определения функции z = f ( x, y ) двух переменных изобразится в виде некоторого множества точек на плоскости Oxy.

Так, например, областью определения функции

является множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют соотношению

т. е. представляет собой круг радиуса r с центром в начале координат.

областью определения служат точки, которые удовлетворяют условию т. е. внешние точки по отношению к заданному кругу.

Часто функции двух переменных задаются в неявном виде, т. е. как уравнение

,связывающее три переменные величины. В этом случае каждую из величин x, y, z можно рассматривать как неявную функцию двух остальных.

Геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных z = f ( x, y ) является множество точек P ( x, y, z) в трехмерном пространстве Oxyz, координаты которых удовлетворяют уравнению z = f ( x, y ) (плоскости, цилиндры, шары, параболоиды и т.д.).

Графиком функции непрерывных аргументов, как правило, является некоторая поверхность в пространстве Oxyz, которая проектируется на координатную плоскость Oxy в область определения функции z= f ( x, y ).

Так, например, графиком функции является верхняя половина сферы, а графиком функции — нижняя половина сферы:

Графиком линейной функции z = ax + by + с является плоскость в пространстве Oxyz, а графиком функции z = сonst служит плоскость, параллельная координатной плоскости Oxyz.

Заметим, что функцию трех и большего числа переменных изобразить наглядно в виде графика в трехмерном пространстве невозможно.

Частные производные.

Определение. Частной производной от функции по независимой переменной называется производная

, вычисленная при постоянном .

То есть когда мы находим частную производную по «икс», то переменная считается константой (постоянным числом).

Частной производной от функции по независимой переменной называется производная

, вычисленная при постоянном .

То есть когда мы находим частную производную по «игрек», то переменная считается константой (постоянным числом).

Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Следующий пример демонстрирует применение частных производных на практике:

Количественная величина потока П пассажиров железных дорог может быть выражена функцией

где П – количество пассажиров, N – число жителей корреспондирующих пунктов, R – расстоянии между пунктами.

Частная производная функции П по R, равная

показывает, что уменьшение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния между корреспондирующими пунктами при одной и той же численности жителей в пунктах.

Частная производная П по N, равная

показывает, что увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей населённых пунктов при одном и том же расстоянии между пунктами.

Примеры.

а) Найти частные производные функции

1.Считаем переменную y константой и применяем правила дифференцирования:

2. Используем табличные производные:

3. Теперь считаем переменную х константой и применяем те же правила дифференцирования и табличные производные:

б) Найти частные производные функции

1. Считаем переменную y константой, применяем правило дифференцирования сложной функции, правило дифференцирования суммы, правило вынесение постоянного множителя за знак производной и табличную производную:

2. Теперь считаем переменную х константой и применяем те же правила дифференцирования и табличные производные:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: