Как вписать круг в прямоугольный треугольник

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

  • Главная
  • IQ тренинг
  • Запомнить? Легко!
  • Из ЕГЭ
  • Легкое решение
  • Логический тренинг
  • Математические фокусы
  • Разное

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Если в задаче дана окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, то ее решение может быть связано со свойством отрезков касательных, проведенных из одной точки, и теоремой Пифагора.

Кроме того, следует учесть, что радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле

где a и b — длины катетов, c — гипотенузы.

Рассмотрим две задачи на вписанную в прямоугольный треугольник окружность.

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найти периметр и площадь треугольника и радиус окружности.

Дано: ∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

1) По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,

AK=AM=6 см,

2) AB=AM+BM=6+4=10 см,

3) По теореме Пифагора:

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CK+CF=2 см, AC=8 см, BC=6 см.

Ответ: 24 см, 24 см², 2 см.

Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.

Дано:∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

1) Проведем отрезки OK и OF.

(как радиусы, проведенные в точки касания).

Четырехугольник OKCF — прямоугольник (так как у него все углы — прямые).

А так как OK=OF (как радиусы), то OKCF — квадрат.

2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,

3) AC=AK+KC=(x+4) см, BC=BF+CF=26-x+4=(30-x) см.

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

.

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, – полупериметр (рис. 6).

с помощью формулы Герона получаем:

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

то, в случае равностороннего треугольника, когда

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Как вписать круг в прямоугольный треугольник

Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике

Пусть `ABC` прямоугольный треугольник с прямым углом `C` и острым углом при вершине `A`, равным `alpha` (рис. 1).

Используем обычные обозначения:

`c` — гипотенуза `AB`;

`a` и `b` – катеты `BC` и `AC` (по-гречески «kathetos — катет» означает отвес, поэтому такое изображение прямоугольного треугольника нам представляется естественным);

`a_c` и `b_c` – проекции `BD` и `AD` катетов на гипотенузу;

`h` – высота `CD`, опущенная на гипотенузу;

`m_c` – медиана `CM`, проведённая к гипотенузе;

`R` – радиус описанной окружности;

`r` – радиус вписанной окружности.

Напомним, что если `alpha` — величина острого угла `A` прямоугольного треугольника `ABC` (см. рис. 1), то

`sin alpha = a/c`, `cos alpha = b/c` и `»tg»alpha = a/b`.

Значения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника зависят только от меры угла и не зависят от размеров и расположения треугольника.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

`c^2 = a^2 + b^2`

Доказательство теоремы повторите по учебнику.

Выведем ряд соотношений между элементами прямоугольного треугольника.

Квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу

Если `/_ A = alpha` (см. рис. 1), то `/_ CBD = 90^@ — alpha` и `/_ BCD = alpha`. Из треугольника `ABC` `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треугольника `BCD` `sin alpha = (BD)/(BC)`.

Значит, `(BC)/(AB) = (BD)/(BC)`, откуда `BC^2 = AB * BD`, т. е. `a^2 = c * a_c` . Аналогично доказывается второе равенство.

Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекции катетов на гипотенузу

Из треугольника `ACD` (рис. 1) имеем `»tg»alpha = (CD)/(AD)`, а из треугольника `BCD` `»tg»alpha = (BD)/(CD)`.

Значит `(BD)/(CD) = (CD)/(AD)`, откуда `CD^2 = AD * BD`, т. е. `h^2 = a_c * b_c`.

Произведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты, опущенной на гипотенузу

Из треугольника `ABC` имеем `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треуольника `ACD` `sin alpha = (CD)/(AC)`.

Таким образом, `(BC)/(AB) = (CD)/(AC)`, откуда `BC * AC = AB * CD`, т. е. `a * b = c * h`.

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, т. е.

Пусть `AM = BM`. Проведём $$ MKVert BC$$ (рис. 2), тогда по теореме Фалеса `AK = CK`

.

Кроме того, из того, что `BC _|_ AC` и $$ MKVert BC$$ следует `MK _|_ AC`. В прямоугольных треугольниках `CMK` и `AMK` катет `MK` общий, катеты `CK` и `AK` равны. Эти треугольники равны и `CM = AM`, т. е. `CM = 1/2 AB`.

Полезно также запомнить, что медиана к гипотенузе разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы

Это следует из Свойства 4, действительно, `MA = MB = MC`, следовательно, окружность с центром в точке `M` и радиуса `c/2` проходит через три вершины.

Сумма катетов равна удвоенной сумме радиусов описанной и вписанной окружностей

`a + b = 2(R + r)` или `a + b = c + 2r`

Пусть `O` — центр вписанной окружности и `F`, `N` и `S` — точки касания сторон треугольника `ABC` (рис. 3), тогда `OF_|_ BC`, `ON _|_ AC`, `OS _|_ AB` и `OF = ON = OS = r`. Далее, `OFCN` — квадрат со стороной `r`, поэтому `BF = BC — FC`, `AN = AC — CN`, т. е. `BF = a — r` и `AN = b — r`.

Прямоугольные треугольники `AON` и `AOS` равны (гипотенуза `AO` — общая, катеты `ON` и `OS` равны), следовательно, `AS = AN`, т. е. `AS = b — r`.

Аналогично доказывается, что `BS = a — r`, поэтому из `AB = AS + BS` следует `c = (b — r) + (a — r)`, т. е. `a + b = c + 2r`. Зная, что `c = 2R`, окончательно получаем `a + b = 2(R + r)`.

Равенства, доказанные в Свойствах 1 и 2, записываются также как:

Как вписать круг в прямоугольный треугольник

Ключевые слова: окружность, описанная окружность, центр окружности, вписанная окружность, треугольник, четырехугольник, вневписанная окружность

Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности.
Таким образом, в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности.

Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность.
Для треуголь ника это всегда возможно.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон, а её центр находится внутри окружности

  • Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
  • В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
  • Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра: $$r = frac

    $$ , где S — площадь треугольника, а $$p =frac<2>$$ — полупериметр треугольника.

Серединным перпендикуляром называют прямую перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через три его вершины.

  • Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.
  • В любом треугольнике сторона равна произведению диаметра описанной окружности и синуса противолежащего угла.
  • Площадь треугольника равна отношению произведения длин всех его сторон к учетверенному радиусу окружности, описанной около этого треугольника: $$R =frac<4S>$$, где S — площадь треугольника.
  • Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внешних углов, при вершинах касаемой стороны, и биссектрисы угла при третей вершине.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

  • Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
  • Радиус равен половине гипотенузы: $$R = frac<2>$$.
  • Радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе: $$R = m_$$.

Четырехугольник, вписанный в окружность

  • Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противолежащих углов равна $$180^circ: alpha + beta + gamma +delta = 180^circ$$.
  • Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих углов равны $$180^circ$$.
  • Сумма произведений противолежащих сторон четырехугольника ABCD равна произведению диагоналей: $$ABcdot DC + AD cdot BC = BD cdot AC$$.
  • Площадь: $$S = sqrt<(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)>$$, где $$p = frac<2>$$ — полупериметр четырехугольника.

Окружность, вписанная в ромб

  • В любой ромб можно вписать окружность.
  • Радиус r вписанной окружности: $$r = frac<2>$$, где h — высота ромба или $$r = frac cdot d_<2>><4a>$$, где a — сторона ромба, d1 и d2 — диагонали ромба.

Как вписать круг в прямоугольный треугольник

Прямоугольным называют треугольник, один из углов которого равен 90°. Как и в всякий иной, в него дозволено вписать круг. Такой круг может быть только один, радиус его определяется длинами сторон, а центр лежит в точке пересечения биссектрис углов. Возвести вписанную окружность дозволено несколькими методами – как с применением формул и вычислений, так и без них.

Вам понадобится

  • Чертеж с треугольником, транспортир, циркуль, линейка, карандаш.

Инструкция

1. Обнаружьте точку, которая будет центром вписанной окружности. Она должна лежать на пересечении биссектрис углов в вершинах треугольника, следственно вначале приложите транспортир к одному из углов, определите его величину и поставьте вспомогательную точку на отметке, равной половине этой величины. Проведите отрезок из вершины этого угла – он должен пройти через вспомогательную точку и закончиться на противолежащей стороне. Таким же методом постройте биссектрису иного угла. Точка пересечения 2-х вспомогательных отрезков будет центром вписанной окружности.

2. Определите радиус круга. Для этого проведите еще один вспомогательный отрезок. Он должен начинаться в обнаруженной точке, заканчиваться на одном из катетов и быть параллельным иному катету. Длина этого отрезка и будет радиусом вписанной окружности – отложите ее на циркуле и начертите круг с центром в обнаруженной точке. На этом построение будет закончено.

3. Дозволено начертить вписанную окружность по-иному – с применением формулы из курса элементарной геометрии. Для этого вам необходимо знать длины всех сторон – измерьте их. После этого рассчитайте радиус (r) – сложите длины катетов (a и b), отнимите от итога длину гипотенузы (c), а то, что получилось, поделите напополам: r = (a+b-c)/2. Отложите обнаруженную величину на циркуле и до конца построения не меняйте этого расстояния.

4. Установите циркуль в вершину прямого угла и начертите вспомогательную дугу – она должна пересекать оба катета. Собственно, только точки пересечения вам и необходимы, следственно взамен дуги дозволено примитивно поставить метки на катетах. Эти метки указывают точки касания вписанной окружности и сторон треугольника.

5. Установите циркуль в всякую из точек касания и проведите два полукруга, лежащих внутри треугольника. Точка их пересечения будет центром вписанной окружности – установите в нее циркуль и проведите вписанный в прямоугольный треугольник круг.

Совет 2: Как вписать треугольник в окружность

Если окружность касается всех 3 сторон данного треугольника, а её центр находится внутри треугольника, то ее называют вписанной в треугольник.

Вам понадобится

  • линейка, циркуль

Инструкция

1. В всякий треугольник дозволено вписать окружность. Такая окружность будет единственно допустимой.

2. Центр вписанной в треугольник окружности находится на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.Из вершин треугольника (стороны противоположной делимому углу) циркулем проводят дуги окружности произвольного радиуса до пересечения их между собой;Точку пересечения дуг по линейке соединяют с вершиной делимого угла;Тоже самое проделывают с любым иным углом;

3. Радиусом вписанной в треугольник окружности будет отношение площади треугольника и его полупериметра: r=S/p , где S – площадь треугольника, а p=(a+b+c)/2 – полупериметр треугольника.Радиус вписанной в треугольник окружности равноудален от всех сторон треугольника.

Совет 3: Как вписать треугольник в круг

Если все вершины треугольника лежат на одной окружности, то в этом случае он именуется вписанным, а окружность, соответственно — описанной вокруг него. Возвести треугольник на знаменитой окружности дюже легко, но как вписать треугольник в круг, если первоначально существует именно он?

Вам понадобится

  • – циркуль;
  • – бумага;
  • – карандаш;
  • – линейка.

Инструкция

1. Для всякого треугольника неизменно допустимо возвести описанную окружность, от того что эта кривая однозначно определяется тремя заданными точками.Дабы это найти, довольно предположить, что треугольник задан декартовыми координатами своих вершин. В этом случае радиус и координаты центра окружности, проходящей через все три точки, обязаны быть решениями системы из 3 уравнений 2-й степени с тремя неведомыми.Эта система будет иметь исключительное решение в том случае, если заданные точки не лежат на одной прямой (в этом последнем случае она совсем не имеет решений). Но три точки, лежащие на одной прямой, не могут быть вершинами треугольника, следственно, данный случай дозволено даже не рассматривать. Выходит, решение заведомо существует.

2. Дабы треугольник был вписан в окружность, видимо, требуется, дабы ее центр находился на равном расстоянии от всех 3 его вершин. Задача, таким образом, сводится к нахождению центра описанной окружности.

3. Сторона вписанного треугольника будет являться хордой описанной окружности. Для всякий такой хорды существует перпендикулярный к ней радиус, причем точка их пересечения делит хорду ровно напополам.Следственно, всякий срединный перпендикуляр треугольника (то есть прямая, проходящая через середину его стороны и перпендикулярная ей) проходит через центр описанной окружности. Довольно провести два таких перпендикуляра, и точка их пересечения будет центром. Радиус же описанной окружности однозначно определяется расстоянием до всякий из вершин.

4. Процедура деления отрезка напополам циркулем и линейкой представляет собой, по сути, построение срединного перпендикуляра. Таким образом, задача нахождения центра описанной окружности сводится к делению циркулем и линейкой 2-х сторон треугольника.

5. Если данный треугольник — прямоугольный, то центр описанной окружности совпадает с серединой его гипотенузы.

Видео по теме

Совет 4: Как возвести вписанный треугольник

Вписанным именуется такой треугольник, все вершины которого находятся на окружности. Возвести его дозволено, если знать правда бы одну сторону и угол. Окружность именуется описанной, и она будет исключительной для данного треугольника.

Вам понадобится

  • – окружность;
  • – сторона и угол треугольника;
  • – лист бумаги;
  • – циркуль;
  • – линейка;
  • – транспортир;
  • – калькулятор.

Инструкция

1. Постройте окружность с заданным радиусом. Обозначьте ее центр как О. Определите на окружности произвольную точку, с которой вы начнете построение. Пускай это будет точка А.

2. Разведите ножки циркуля на расстояние, равное заданной стороне треугольника. Поставьте иголку в точку А и опрятно поворачивайте циркуль так, дабы его грифель оказался на окружности. Обозначьте точку В и объедините ее с точкой А.

3. От точки А с подмогой транспортира отложите данный угол. Продолжите сторону угла до пересечения с окружностью и поставьте точку С. Объедините точки В и С. У вас получился треугольник АВС. Он может быть всякого типа. Центр окружности у остроугольного треугольника находится внутри него, у тупоугольного – вне, а у прямоугольного – на гипотенузе. Если вам задан не угол, а, скажем, три стороны треугольника, вычислите один из углов по радиусу и знаменитой стороне.

4. Гораздо почаще доводится иметь дело с обратным построением, когда задан треугольник и нужно вокруг него описать окружность. Вычислите его радиус. Сделать это дозволено по нескольким формулам, в зависимости от того, что вам дано. Радиус дозволено обнаружить, скажем, по стороне и синусу противолежащего угла. В этом случае он равен длине стороны, поделенной на удвоенный синус противолежащего угла. То есть R=a/2sinCAB. Дозволено его выразить и через произведение сторон, в этом случае R=abc/??(?a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).

5. Определите центр окружности. Поделите все стороны напополам и проведите серединам перпендикуляры. Точка их пересечения и будет центром окружности. Начертите ее так, дабы она пересекла все вершины углов.

Совет 5: Как начертить прямоугольный треугольник

Две короткие стороны прямоугольного треугольника, которые принято называть катетами, по определению обязаны быть перпендикулярны между собой. Это качество фигуры гораздо облегчает ее построение. Впрочем вероятность верно определить перпендикулярность есть не неизменно. В таких случаях дозволено рассчитать длины всех сторон – они дозволят возвести треугольник единственно допустимым, а следственно верным, методом.

Вам понадобится

  • Бумага, карандаш, линейка, транспортир, циркуль, угольник.

Инструкция

1. Если требуется начертить прямоугольный треугольник произвольных размеров, то начните с одного из катетов. Поставьте точку, которая будет вершиной 90° угла, и проведите горизонтальную отрезок подходящей длины. После этого из той же точки проведите вертикальный отрезок – 2-й катет. Он должен быть сурово перпендикулярен горизонтальной стороне треугольника .

2. Если применяемая для построения бумага не размечена «в клеточку», то воспользуйтесь угольником для такого построения. Если и его нет, задействуйте транспортир. После этого объедините оба отрезка третьей линией – это будет гипотенуза прямоугольного треугольника . На этом построение будет закончено.

3. Если требуется возвести фигуру с заданными в начальных условиях параметрами, то может понадобиться проведение заблаговременных вычислений. При отсутствии бумаги в клеточку, транспортира и угольника для построения нужно знать длины всех сторон треугольника . Если не все они даны в начальных условиях, то придется по вестимым формулам рассчитать недостающие.

4. При вестимых длинах 2-х катетов длину третьей стороны определите в соответствии с теоремой Пифагора – возведите всякую из длин в квадрат, итоги сложите и извлеките из полученного значения квадратный корень. А если в условиях дана длина гипотенузы и величина одного из острых углов, то вначале воспользуйтесь теоремой синусов дли нахождения длины одного из катетов – умножьте длину вестимой стороны на синус этого угла. После этого с поддержкой теоремы Пифагора определите длину иного катета. Подобно рассчитайте длины при других комплектах начальных данных.

5. Начинайте построение, когда будут рассчитаны длины всех сторон. Поставьте точку в вершине грядущего прямого угла и по линейке проведите отрезок с длиной одного из катетов. После этого отложите на циркуле длину гипотенузы и проведите полукруг с центром в конце этого отрезка – он должен быть направлен в сторону поставленной в начале построения точки.

6. Отложите на циркуле длину второго катета, установите его в ту же исходную точку и подметьте место пересечения начерченного полукруга с воображаемым кругом отмеренного радиуса. После этого объедините подмеченное место с исходной точкой (это будет 2-й катет) и с окончанием проведенного ранее отрезка (это – гипотенуза). На этом построение будет закончено.

Формула радиуса окружности, вписанной в треугольник

Если окружность располагается внутри угла и касается его сторон, её называют вписанной в этот угол. Центр такой вписанной окружности располагается на биссектрисе этого угла.

Если же она лежит внутри выпуклого многоугольника и соприкасается со всеми его сторонами, она называется вписанной в выпуклый многоугольник.

Окружность, вписанная в треугольник

Окружность, вписанная в треугольник, соприкасается с каждой стороной этой фигуры лишь в одной точке. В один треугольник возможно вписать лишь одну окружность.

Радиус такой окружности будет зависеть от следующих параметров треугольника:

  1. Длин сторон треугольника.
  2. Его площади.
  3. Его периметра.
  4. Величины углов треугольника.

Для того чтобы вычислить радиус вписанной окружности в треугольник, не всегда обязательно знать все перечисленные выше параметры, поскольку они взаимосвязаны между собой через тригонометрические функции.

Вычисление с помощью полупериметра

Чтобы рассчитать величину радиуса вписанной окружности в треугольник, необходимо учитывать следующие параметры:

  1. Если известны длины всех сторон геометрической фигуры (обозначим их буквами a, b и c), то вычислять радиус придётся путём извлечения квадратного корня.
  2. Приступая к вычислениям, необходимо добавить к исходным данным ещё одну переменную — полупериметр (р). Его можно рассчитать, сложив все длины и полученную сумму разделив на 2. p = (a+b+c)/2. Таким образом можно существенно упростить формулу нахождения радиуса.
  3. В целом формула должна включать в себя знак радикала, под который помещается дробь, знаменателем этой дроби будет величина полупериметра р.
  4. Числителем данной дроби будет представлять собой произведение разностей (p-a)*(p-b)*(p-c)
  5. Таким образом, полный вид формулы будет представлен следующим образом: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

Вычисление с учётом площади треугольника

Если нам известна площадь треугольника и длины всех его сторон, это позволит найти радиус интересующей нас окружности, не прибегая к извлечению корней.

  1. Для начала нужно удвоить величину площади.
  2. Результат делится на сумму длин всех сторон. Тогда формула будет выглядеть следующим образом: r = 2*S/(a+b+c).
  3. Если воспользоваться величиной полупериметра, можно получить совсем простую формулу: r = S/p.

Расчёт с помощью тригонометрических функций

Если в условии задачи присутствует длина одной из сторон, величина противоположного угла и периметр, можно воспользоваться тригонометрической функцией — тангенсом. В этом случае формула расчёта будет иметь следующий вид:

r = (P /2- a)* tg (α/2), где r — искомый радиус, Р — периметр, а — значение длины одной из сторон, α — величина противоположного стороне, а угла.

Радиус окружности, которую необходимо будет вписывать в правильный треугольник, можно найти по формуле r = a*√3/6.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

В прямоугольный треугольник можно вписать только одну окружность. Центр такой окружности одновременно служит точкой пересечения всех биссектрис. Эта геометрическая фигура имеет некоторые отличительные черты, которые необходимо учесть, вычисляя радиус вписанной окружности.

  1. Для начала необходимо выстроить прямоугольный треугольник с заданными параметрами. Построить такую фигуру можно по размеру её одной стороны и величинам двух углов или же по двум сторонам и углу между этими сторонами. Все эти параметры должны быть указаны в условии задачи. Треугольник обозначается как АВС, причём С — это вершина прямого угла. Катеты при этом обозначаются переменными, а и b, а гипотенуза — переменной с.
  2. Для построения классической формулы и вычисления радиуса окружности необходимо найти размеры всех сторон описанной в условии задачи фигуры и по ним вычислить полупериметр. Если в условиях даются размеры двух катетов, по ним можно вычислить величину гипотенузы, исходя из теоремы Пифагора.
  3. Если в условии дан размер одного катета и одного угла, необходимо понять, прилежащий этот угол или противолежащий. В первом случае гипотенуза находится с помощью теоремы синусов: с=a/sinСАВ, во втором случае применяют теорему косинусов с=a/cosCBA.
  4. Когда все расчёты выполнены и величины всех сторон известны, находят полупериметр по формуле, описанной выше.
  5. Зная величину полупериметра, можно найти радиус. Формула представляет собой дробь. Её числителем является произведение разностей полупериметра и каждой из сторон, а знаменателем —величина полупериметра.

Следует заметить, что числитель данной формулы является показателем площади. В этом случае формула нахождения радиуса гораздо упрощается — достаточно разделить площадь на полупериметр.

Определить площадь геометрической фигуры можно и в том случае, если известны оба катета. По сумме квадратов этих катетов находится гипотенуза, далее вычисляется полупериметр. Вычислить площадь можно, умножив друг на друга величины катетов и разделив полученное на 2.

Если в условиях даны длины и катетов и гипотенузы, определить радиус можно по очень простой формуле: для этого складываются длины катетов, из полученного числа вычитается длина гипотенузы. Результат необходимо разделить пополам.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как находить радиус вписанной в треугольник окружности.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: