Как возвести корень в степень

Формулы степеней и корней.

Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

Число c является n-ной степенью числа a когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Операции с корнями.

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n-ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

Формулу a m :a n =a m — n можно использовать не только при m > n , но и при m 4 :a 7 = a 4 — 7 = a -3 .

Чтобы формула a m :a n =a m — n стала справедливой при m=n, нужно присутствие нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n, необходимо извлечь корень n–ой степени из m-ой степени этого числа а:

Формулы степеней.

6. a n = — деление степеней;

7. — деление степеней;

8. a 1/n = ;

Вычислить квадратный корень из числа


Необходимо произвести сложные расчеты, а электронного вычислительного устройства под рукой не оказалось? Воспользуйтесь онлайн программой — калькулятором корней. Она поможет:

  • найти квадратные или кубические корни из заданных чисел;
  • выполнить математическое действие с дробными степенями.
Число знаков после запятой:

Что такое квадратный корень

Корень n степени натурального числа a — число, n степень которого равна a (подкоренное число). Обозначается корень символом √. Его называют радикалом.

Каждое математическое действие имеет противодействие: сложение→вычитание, умножение→деление, возведение в степень→извлечение корня.

Квадратным корнем из числа a будет число, квадрат которого равен a. Из этого следует ответ на вопрос, как вычислить корень из числа? Нужно подобрать число, которое во второй степени будет равно значению под корнем.

Обычно 2 не пишут над знаком корня. Поскольку это самая маленькая степень, а соответственно если нет числа, то подразумевается показатель 2. Решаем: чтобы вычислить корень квадратный из 16, нужно найти число, при возведении которого во вторую степень получиться 16.

Проводим расчеты вручную

Вычисления методом разложения на простые множители выполняется двумя способами, в зависимости от того, какое подкоренное число:

1.Целое, которое можно разложить на квадратные множители и получить точный ответ.

Квадратные числа — числа, из которых можно извлечь корень без остатка. А множители — числа, которые при перемножении дают исходное число.

25, 36, 49 — квадратные числа, поскольку:


Получается, что квадратные множители — множители, которые являются квадратными числами.

Возьмем 784 и извлечем из него корень.

2.Неделимое. Его нельзя разложить на квадратные множители.

Такие примеры встречаются чаще, чем с целыми числами. Их решение не будет точным, другими словами целым. Оно будет дробным и приблизительным. Упростить задачу поможет разложение подкоренного числа на квадратный множитель и число, из которого извлечь квадратный корень нельзя.

2,7 x 2,7 = 7,2. Не подходит, так как 7,2>7, берем меньшее 2,6 x 2,6 = 6,76. Оставляем, ведь 6,76

Как вычислить корень из сложного числа? Тоже методом оценивая значения корня.

При делении в столбик получается максимально точный ответ при извлечении корня.

— целую часть справа налево;

Извлеките из этого числа корень — √n. Запишите полученный результат сверху справа, а квадрат этого числа — снизу справа.

А верхнее число справа удвойте и запишите справа выражение 4_х_=_.

Как думаете сколько времени вы потратите на такие расчеты? Сложно, долго, запутанно. Тогда почему бы не упростить себе задачу? Воспользуйтесь нашей программой, которая поможет произвести быстрые и точные расчеты.

1. Введите желаемое количество знаков после запятой.

2. Укажите степень корня (если он больше 2).

3. Введите число, из которого планируете извлечь корень.

Степень с целочисленным показателем и арифметический корень

Степень с целочисленным показателем
Арифметический корень
Избавление от иррациональностей в знаменателе дроби

Степень с целочисленным показателем

Понятие степени с целочисленным показателем включает в себя три определения.

Определение . Пусть n – произвольное натуральное число, а a – произвольное действительное число. Тогда n – ой степенью числа a называют произведение n сомножителей, равных a :

Число a называют основанием степени , а число n – показателем степени .

Определение . Пусть a – произвольное действительное число, отличное от 0 . Тогда, по определению:

Число a называют основанием степени , а число – показателем степени .

Определение . Пусть n – произвольное натуральное число, а a – произвольное действительное число, отличное от 0 . Тогда, по определению:

Число a называют основанием степени , а число (– n) – показателем степени .

Таким образом, степень с целочисленным показателем определена.

Замечание 1 . Число нуль нельзя возвести в нулевую степень и нельзя возвести в отрицательную степень.

Арифметический корень

Пусть n – произвольное натуральное число, а a – произвольное положительное число.

Определение . Число x называют арифметическим корнем n – ой степени из числа a , если, во-первых, число x положительное, а, во-вторых, является решением уравнения

В этом случае при для арифметического корня используется обозначение:

или эквивалентное обозначение:

Если же n = 2 , то для арифметического квадратного корня используется обозначение:

или эквивалентное обозначение:

Замечание 2 . В курсах математики, выходящих за рамки средней школы, доказывается, что арифметический корень всегда существует, причем только один.

Замечание 3 . Очень важно помнить о том, что в формуле

содержится ошибка, за которую мгновенно следует безжалостная кара на экзаменах.

Пример 2 . Решить уравнение

Решение . Это уравнение имеет два корня:

Корень уравнения x1 = 5 является арифметическим квадратным корнем из числа 25 , а корень уравнения x2 = – 5 является числом, противоположным к арифметическому квадратному корню из числа 25 .

Пример 3 . Решить уравнение

Решение . Это уравнение имеет единственный вещественный корень x = – 3 , но это число не является арифметическим кубическим корнем из числа (– 27), так как у отрицательных чисел не бывает арифметических корней. Число x = – 3 является числом, противоположным к арифметическому кубическому корню из числа 27 . Поэтому

Замечание 4 . Желающие могут ознакомиться с нашей презентацией «Степень с рациональным показателем», содержание которой связано с данным разделом.

Избавление от иррациональностей в знаменателе дроби

В некоторых задачах требуется перейти от дроби к равной ей дроби, но такой, у которой в знаменателе нет корней (иррациональностей). Эта операция носит название «избавление от иррациональностей в знаменателе дроби» и осуществляется при помощи умножения числителя и знаменателя дроби на подходящее число. Часто это число находится с помощью формул сокращенного умножения. Покажем это на примере.

Читайте также  Как сделать цветы из соленого теста

Пример 4 . Преобразовать дробь

к такому виду, чтобы в знаменателе не было иррациональностей.

Решение . Воспользовавшись формулой сокращенного умножения «Разность квадратов», совершим следующие эквивалентные преобразования:

Мы получили дробь, у которой в знаменателе иррациональностей нет, что и требовалось.

С понятием степени с рациональным показателем и свойствами степеней можно ознакомиться в разделе «Степень с рациональным показателем» нашего справочника.

Графики степенных и показательных функций представлены в разделе «Графики степенных, показательных и логарифмических функций» нашего справочника.

Инженерный калькулятор онлайн с самыми точными расчетами!

Почему мы так решили? Наш онлайн калькулятор оперирует числами вплоть до 20 знаков после запятой, в отличие от других. Kalkpro.ru способен точно и достоверно совершить любые вычислительные операции, как простые, так и сложные.

Только корректные расчеты по всем правилам математики!

В любой момент и в любом месте под рукой, универсальный инженерный калькулятор онлайн выполнит для вас любую операцию абсолютно бесплатно, практически мгновенно, просто добавьте программу в закладки.

Всё для вашего удобства:

  • быстрые вычисления и загрузка,
  • верные расчеты по всем правилам,
  • полный функционал,
  • понятный интерфейс,
  • адаптация под любой размер устройства
  • бесплатно
  • не надо ничего устанавливать,
  • никакой всплывающей назойливой рекламы,
  • подробная инструкция с примерами

Содержание справки:

Комплекс операций инженерного калькулятора

Встроенный математический калькулятор поможет вам провести самые простые расчеты: умножение и суммирование, вычитание, а также деление. Калькулятор степеней онлайн быстро и точно возведет любое число в выбранную вами степень.

Представленный инженерный калькулятор содержит в себе все возможные вариации онлайн программ для расчетов. Kalkpro.ru содержит тригонометрический калькулятор (углы и радианы, грады), логарифмов (Log), факториалов (n!), расчета корней, синусов и арктангенсов, косинусов, тангенсов онлайн – множество тригонометрический функций и не только.

Работать с вычислительной программой можно онлайн с любого устройства, в каждом случае размер интерфейса будет подстраиваться под ваше устройство, либо вы можете откорректировать его размер на свой вкус.

Ввод цифр производится в двух вариантах:

  • с мобильных устройств – ввод с дисплеем телефона или планшета, клавишами интерфейса программы
  • с персонального компьютера – с помощью электронного дисплея интерфейса, либо через клавиатуру компьютера любыми цифрами

Инструкция по функциям инженерного калькулятора

Для понимания возможностей программы мы даем вам краткую инструкцию, более подробно смотрите в примерах вычислений онлайн. Принцип работы с научным калькулятором такой: вводится число, с которым будет производиться вычисление, затем нажимается кнопка функции или операции, потом, если требуется, то еще цифра, например, степень, в конце — знак равенства.

  • [Inv] – обратная функция для sin, cos, tan, переключает интерфейс на другие функции
  • [Ln] – натуральный логарифм по основанию «e»
  • [ ( ] и [ ) ] — вводит скобки
  • [Int] – отображает целую часть десятичного числа
  • [Sinh] — гиперболический синус
  • [Sin] – синус заданного угла
  • [X 2 ] – возведение в квадрат (формула x^2)
  • [n!] — вычисляет факториал введенного значения — произведение n последовательных чисел, начиная с единицы до самого введенного числа, например 4!=1*2*3*4, то есть 24
  • [Dms] – переводит из десятичного вида в формат в градусы, минуты, секунды.
  • [Cosh] — гиперболический косинус
  • [Cos] – косинус угла
  • [x y ] – возведение икса в степ. игрик (формула x^y)
  • [ y √x] – извлечение корня в степени y из икс
  • [Pi] – число Пи, выдает значение Pi для расчетов
  • [tanh] — гиперболический тангенс
  • [tan] – тангенс угла онлайн, tg
  • [X 3 ] — помогает возвести в степень 3, в куб (формула x^3)
  • [ 3 √x] — извлечь корень кубический
  • [F – E] — переключает ввод чисел в экспоненциальном представлении и обратно
  • [Exp] — позволяет вводить данные в экспоненциальном представлении.
  • [Mod] — позволяет нам вычислить остаток от деления одного числа на другое
  • [Log] – рассчитывает десятичный логарифм
  • [10^x] – возведение десяти в произвольную степень
  • [1/X] — подсчитывает обратную величину
  • [e^x] – Возведение числа Эйлера в степень
  • [Frac] – отсекает целую часть, оставляет дробную
  • [sinh -1 ] – обратный гиперболический синус
  • [sin -1 ] – арксинус или обратный синус, arcsin или 1/sin
  • [deg] – перевод угла в градусах, минутах и секундах в десятичные доли градуса, подробнее
  • [cosh -1 ] — обратный гиперболический косинус
  • [cos -1 ] – аркосинус или обрат. косинус arccos или 1/cos
  • [2*Pi] – рассчитывает число Пи, помноженное на два
  • [tanh -1 ] – обрат. гиперболический тангенс
  • [tan -1 ] – арктангенс или обратный тангенс, arctg

Как пользоваться MR MC M+ M- MS

Как пользоваться инженерным калькулятором – на примерах

Как возвести в степень

Чтобы возвести, к примеру, 12^3 вводите в следующей последовательности:

12 [x y ] 3 [=]

12, клавиша «икс в степени игрик» [xy], 3, знак равенства [=]

Как найти корень кубический

Допустим, что мы извлекаем корень кубический из 729, нажмите в таком порядке:

729 [3√x] [=]

729, [ 3 √x] «кубический корень из икс», равенства [=]

Как найти корень на калькуляторе

Задача: Найти квадратный корень 36.

Решение: всё просто, нажимаем так:

36 [ y x] 2 [=]

36, [ y √x] «корень из икса, в степени игрик», нужную нам степень 2, равно [=]

При помощи этой функции вы можете найти корень в любой степени, не только квадратный.

Как возвести в квадрат

Для возведения в квадрат онлайн вычислительная программа содержит две функции:

[x y ] «икс в степени игрик», [X 2 ] «икс в квадрате»

Последовательность ввода данных такая же, как и раньше – сначала исходную величину, затем «x^2» и знак равно, либо если не квадрат, а произвольное число, необходимо нажать функцию «x^y», затем указать необходимую степень и так же нажать знак «равно».

Например: 45 [x y ] 6 [=]

Ответ: сорок пять в шестой степ. равно 8303765625

Тригонометрический калькулятор онлайн — примеры

Как произвести онлайн расчет синусов и косинусов, тангенсов

Обратите внимание, что kalkpro.ru способен оперировать как градусами, так радианами и градами.

1 рад = 57,3°; 360° = 2π рад., 1 град = 0,9 градусов или 1 град = 0,015708 радиан.

Для включения того или иного режима измерения нажмите нужную кнопку:

где Deg – градусы, Rad – измерение в радианах, Grad — в градах. По умолчанию включен режим расчета в градусах.

В качестве самого простого примера найдем синус 90 градусов. Нажмите:

90 [sin] [=]

Также рассчитываются и другие тригонометрические функции, например, вычислим косинус 60 °:

60 [cos] [=]

Аналогичным способом вычисляются обратные тригонометрические функции онлайн на КАЛКПРО — арксинус , арккосинус, арктангенс, а также гиперболические функции sinh, cosh, tanh.

Для их ввода необходимо переключить интерфейс, нажав [Inv], появятся новые кнопки – asin, acos, atan. Порядок ввода данных прежний: сначала величину, затем символ нужной функции, будь то акрсинус или арккосинус.

Преобразование с кнопкой Dms и Deg на калькуляторе

[Deg] позволяет перевести угол из формата градусы, минуты и секунды в десятичные доли градуса для вычислений. [Dms] производит обратный перевод – в формат «градусы; минуты; секунды».

Читайте также  Как выглядят 8 самых знаменитых улиц мира

Например, угол 35 o 14 минут 04 секунды 53 десятые доли секунды переведем в десятые доли:

35,140453 [Deg] [=] 35,23459166666666666666

Переведем в прежний формат: 35,23459166666666666666 [Dms] [=] 35,140453

Десятичный логарифм онлайн

Десятичный логарифм на калькуляторе рассчитывается следующим образом, например, ищем log единицы по основанию 10, log10(1) или lg1:

1 [log] [=]

Получается 0 в итоге. Для подсчета lg100 нажмем так:

100 [log] [=]

Решение: два. Как себя проверить? Что вообще такое десятичный логарифм — log по основанию 10. В нашем примере 2 – это степень в которую необходимо ввести основание логарифма, то есть 10, чтобы получить 100.

Так же вычисляется натуральный логарифм, но кнопкой [ln].

Как пользоваться памятью на калькуляторе

Существующие кнопки памяти: M+, M-, MR, MS, MC.

Добавить данные в память программы, чтобы потом провести с ними дальнейшие вычисления поможет операция MS.

MR выведет вам на дисплей сохраненную в памяти информацию. MC удалит любые данные из памяти. M- вычтет число на онлайн дисплее из запомненного в памяти.

Пример. Внесем сто сорок пять в память программы:

145 [MR]

После проведения других вычислений нам внезапно понадобилось вернуть запомненное число на экран электронного калькулятора, нажимаем просто:

[MR]

На экране отобразится снова 145.

Потом мы снова считаем, считаем, а затем решили сложить, к примеру, 85 с запомненным 145, для этого нажимаем [M+], либо [M-] для вычитания 85 из запомненного 145. В первом случае по возвращению итогового числа из памяти кнопкой [MR] получится 230, а во втором, после нажатия [M-] и [MR] получится 60.

Инженерный калькулятор kalkpro.ru быстро и точно проведет сложные вычисления, значительно упрощая ваши задачи.

Перечень калькуляторов и функционал будет расширяться, просто добавьте сайт в закладки и расскажите друзьям!

Корень n-ой степени

Определение корня n-й степени из действительного числа

Корнем n-й степени ((n=2, 3, 4, 5, 6… )) некоторого числа (a) называют такое неотрицательное число (b), которое при возведении в степень (n) дает (a):

Число (n) при этом называют показателем корня.

Если (n=2), то перед вами корень 2-й степени или обычный квадратный корень.

Если (n=3), то корень 3-й степени и т.д.

Операция извлечения корня n-й степени является обратной к операции возведения в n-ю степень.

Кубический корень из числа 27 равняется 3. Действительно, если число 3 возвести в 3-ю степень, то мы получим 27.

Корень 4-й степени из 16-и равен 2. Двойка в 4-й степени равна 16.

Если извлечь корень n-й степени из 0, всегда будет 0.

Мы не можем в уме подобрать такое число, которое при возведении в 3-ю степень даст 19. Если посчитать на калькуляторе, то получим (2,668…) – иррациональное число с бесконечным количеством знаков после запятой.

Обычно, в математике, когда у вас получается иррациональное число, корень не считают и оставляют так как есть (sqrt[3]<19>).

Что же делать, если под рукой нет калькулятора, а нужно оценить, чему равен такой корень. В этом случае нужно подобрать справа и слева такие ближайшие числа, корень из которых посчитать можно:

$$ sqrt[3] <8>le sqrt[3] <19>le sqrt[3] <27>$$ $$ 2 le sqrt[3] <19>le 3 $$

Получается, что наш корень лежит между числами 2 и 3.

Корень четной и нечетной степени

Надо четко различать правила работы четными и нечетными степенями. Дело в том, что корень четной степени можно взять только из положительного числа. Из отрицательных чисел корень четной степени не существует.

Корень нечетной степени можно посчитать из любых действительных чисел. Иногда в школьной программе встречаются задания, в которых требуется определить имеет ли смысл выражение:

Данное выражение имеет смысл, так как корень нечетной степени можно посчитать из любого числа, даже отрицательного.

Так как корень четной степени, а под корнем стоит отрицательное число, то выражение не имеет смысла.

Свойства корня n-й степени

Пусть есть два неотрицательных числа a и b, для них будут выполняться следующие свойства:

Корни нужны для точных и сокращенных подсчетов в математике. Это необходимая функция, без которой представить современную математику невозможно. Корень n-ой степени обозначается при помощи всем известного значка радикала. Даже самый простой корень из двух будет равен длинному набору чисел, округлив который вы получите лишь приблизительное значение. Такие числа называются иррациональными и намного лучше представить их в виде радикала.

Основные ограничения и свойства

  • Корень четной степени существует только из положительных чисел. Число, возводимое в четную степень, а затем извлеченное из той же степени не становится исходным, а превращается в модуль этого числа.
  • Из-под знака нечетного показателя корня можно выносить минус. Это упрощает процесс подсчета.

В данном учебном ролике в понятной форме изложены все основные свойства и теоремы корней n-ой степени. Тема непонятна для большинства школьников 7-9 классов, но не по причине их сложности (всего пара определений и свойств), а вследствие неправильной подачи информации в учебниках. Поэтому в данном видео мы расскажем о самом грамотном и понятном определении корня – все то, что действительно нужно запомнить. Далее покажем, как все это можно применить на практике.

Корни бывают четные и нечетные. Основные определения, необходимые для изучения данной темы звучат так: корень четной степени n из числа a — это любое неотрицательное число b, которое при умножении на само себя n раз даст число a . А корень нечетной степени n из числа a — это любое неотрицательное или отрицательное число b, которое также при умножении на само себя даст a.

Степени и корни

Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,

нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

Операции со степенями.

1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются :

a m · a n = a m + n .

2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .

3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

( abc … ) n = a n · b n · c n

4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

( a / b ) n = a n / b n .

5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

( a m ) n = a m n .

Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

П р и м е р . ( 2 · 3 · 5 / 15 ) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

Читайте также  Как вызвать с мобильника скорую помощь

5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:

Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

П р и м е р . a 4 : a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a mn была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы . 2 0 = 1, ( 5 ) 0 = 1, ( 3 / 5 ) 0 = 1.

Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а :

О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

где a ≠ 0 , не существует .

В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x, т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

любое число.

В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x, то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x, что и требовалось доказать.

Если считать, что правила действий со степенями распространяются и на степени с нулевым основанием, то

0 0 — любое число.

Р е ш е н и е . Рассмотрим три основных случая:

1) x = 0 это значение не удовлетворяет данному уравнению

2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

что x – любое число; но принимая во внимание, что в

нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

3) при x x / x = 1, т. e . –1 = 1, следовательно,

в этом случае нет решения.

Таким образом, x > 0.

Copyright © 2004 — 2012 Др. Юрий Беренгард. All rights reserved.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: