Как складывать логарифмы

Что такое логарифм. Как посчитать логарифм. Свойства логарифмов. Примеры решения логарифмов

Многие школьники считают логарифмы сложной темой в курсе математики. Но если разобрать, что такое логарифм подробно, от простого к сложному, то на ЕГЭ вы не станете их опасаться.

Часто у учеников возникает путаница, где аргумент, а где основание логарифма. И что же нужно возвести в степень, чтобы этот логарифм, наконец, посчитать.

В этой статье мы откроем секрет, как легче запомнить принцип решения логарифма.

Итак, давайте разбираться, что такое логарифм.

Что такое логарифм и как его посчитать

Логарифм имеет следующий вид:

где a – это основание логарифма,

b – это аргумент логарифма

Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X.и преобразовываем вЗапомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.

Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!

Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:

Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.

Логарифмы со специальным обозначением

Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.

Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.

Например, вычислим lg100

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть

Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…

Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что

И вычислить его можно таким образом:

Основные свойства логарифмов

Логарифмы можно преобразовывать, но для этого необходимо знать правила, которые называются основными свойствами логарифмов. Данные свойства обязательно нужно знать каждому ученику! Без знания этих свойств невозможно решить ни одну серьезную логарифмическую задачу. Вот эти свойства:

Совет – тренируйтесь применять эти свойства в обе стороны, то есть как слева направо, так и справа налево!

Рассмотрим свойства логарифмов на примерах.

Логарифмический ноль и логарифмическая единица

Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор.

Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице:

loga a = 1 – это логарифмическая единица.

Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a 0 = 1:

loga 1 = 0 – логарифмический ноль.

Основное логарифмическое тождество

В первой формуле число m становится степенью, которая стоит в аргументе. Данное число может быть любым. Некоторые выражения могут быть решены только с помощью этого тождества.

Вторая формула по сути является просто переформулированным определением логарифма

Разберем применение тождества на примере:

Необходимо найти значение выраженияСначала преобразуем логарифм

Вернемся к исходному выражению и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:Теперь применим основное логарифмическое тождество и получим:

Сумма логарифмов. Разница логарифмов

Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать:Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать:Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!

Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!

Вынесение показателя степени из логарифма

Вынесение показателя степени из логарифма:

Переход к новому основанию

Когда мы разбирали формулы суммы и разности логарифмов, то обращали внимание на то, что основания логарифмов должны быть при этом одинаковыми. А что же делать, если основания логарифмов разные? Воспользоваться свойством перехода к новому основанию.

Такие формулы чаще всего нужны при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Разберем на примере.

Необходимо найти значение такого выраженияДля начала преобразуем каждый логарифм с помощью свойства вынесения показателя степени из логарифма:

Теперь применим переход к новому основанию для второго логарифма:Подставим полученные результаты в исходное выражение:

10 примеров логарифмов с решением

1. Найти значение выражения2. Найти значение выражения3. Найти значение выражения4. Найти значение выражения5. Найти значение выражения6. Найти значение выраженияСначала найдем значениеДля этого приравняем его к Х:Тогда изначальное выражение принимает вид:

7. Найти значение выраженияПреобразуем наше выражение:Теперь воспользуемся свойством вынесения показателя степени из логарифма и получим: 8. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов:9. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов разные, применять свойство суммы логарифмов нельзя. Поэтому решаем каждый логарифм по отдельности:Подставляем полученные значения в исходное выражение:

10. Найти значение выраженияОбращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log216. Поэтому сначала найдем значение log216, а затем подставим полученный результат в log4:

Надеюсь, теперь вы разобрались, что такое логарифм.

Примеры решения задач с логарифмами

Логарифмы (Логарифмирование) активно используются в решении задач, так как значительно упрощают обычные алгебраические операции. Использование логарифмов позволяет заменить умножение на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня заменяются соответственно на умножение и деление на показатель степени числа.

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по логарифмам, прочитать определения и все свойства логарифмов.

Логарифм произведения, сумма логарифмов

Теоретический материал по теме — логарифм произведения.

Задание. Представить $log _ <5>6$ в виде суммы логарифмов.

Решение. $log _ <5>6=log _<5>(2 cdot 3)=log _ <5>2+log _ <5>3$

Примеры решения задач с логарифмами не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Задание. Упростить $log _ <5>4+log _ <5>3$

Решение. $log _ <5>4+log _ <5>3=log _<5>(4 cdot 3)=log _ <5>12$

Логарифм частного, разность логарифмов

Теоретический материал по теме — логарифм частного.

Задание. Известно, что $log _ <5>2=a$, а $log _ <5>3=b$. Выразить $log _ <5>frac<2><3>$ через $a$ и $b$.

Решение. $log _ <5>frac<2><3>=log _ <5>2-log _ <5>3=a-b$

Задание. Вычислить значение выражения $log _ <5>10-log _ <5>2$

Решение. $log _ <5>10-log _ <5>2=log _ <5>frac<10><2>=log _ <5>5=1$

Логарифм степени

Теоретический материал по теме — логарифм степени.

Читайте также  Как не стесняться в постели

Задание. Вычислить $log _ <5>10-log _ <5>2=log _ <5>frac<10><2>=log _ <5>5=1$

Решение.$log _ <2>frac<1><8>+log _ <5>25=log _ <2>2^<-3>+log _ <5>5^<2>=-3 cdot log _ <2>2+2 cdot log _ <5>5=$

Задание. Упростить выражение $2 log _ <7>4-log _ <7>8$

Решение. $2 log _ <7>4-log _ <7>8=log _ <7>4^<2>-log _ <7>8=log _ <7>16-log _ <7>8=$

Логарифм корня

Теоретический материал по теме — логарифм корня.

Задание. Вычислить $log _ sqrt$, если $log _ b = 7$

Задание. Упростить выражение $frac<1> <2>log _ <8>16+log _ <8>2$

Решение. $frac<1> <2>log _ <8>16+log _ <8>2=log _ <8>sqrt<16>+log _ <8>2=$

$$=log _ <8>4+log _ <8>2=log _<8>(4 cdot 2)=log _ <8>8=1$$

Разложение в ряд Маклорена натурального логарифма

Теоретический материал по теме — натуральный логарифм.

Задание. Разложить в ряд Маклорена функцию $f(x)=ln left(1+x^<2>right)$

Решение. Сделаем замену $x^<2>=t$, тогда $f(x)=ln (1+t)$. Используя приведенное выше разложение, получаем:

Замена: $x^<2>+4=t$, получаем уравнение $log _ <2>t=3$, решение которого

Делая обратную замену, получаем:

$x^<2>+4=8 Rightarrow x^<2>-4=0 Rightarrow(x-2)(x+2) Rightarrow x_<1>=2, x_<2>=-2$

Ответ. $x_<1>=2, x_<2>=-2$

Задание. Найти решение уравнения $log _(x+2)=2$

Решение. ОДЗ:

$$left x+2>0, \ x>0, quad Rightarrow \ x neq 1 end quadleft x>-2 \ x>0, quad Rightarrow x in(0 ; 1) cup(1 ;+infty) \ x neq 1 endright.right.$$

Замена: $x+2=t Rightarrow log _ t=2 Rightarrow t=x^<2>$. Делая обратную замену, приходим к уравнению

$$x^<2>=x+2 Rightarrow x^<2>-x-2=0 Rightarrow x_<1>=2, x_<2>=-1$$

Второй корень не принадлежит ОДЗ, а значит решение $x=2$

Ответ. $x=2$

Задание. Решить уравнение $ln (x+1)=ln (2 x-3)$

Решение. Находим ОДЗ:

$$left x+1>0 \ 2 x-3>0 end Rightarrowleft x>-1 \ 2 x>3 end Rightarrowleft x>-1 \ x>frac<3> <2>end Rightarrowleft(frac<3> <2>;+inftyright)right.right.right.$$

Решаем уравнение $x+1=2 x-3: x=4 in$ ОДЗ.

Ответ. $x=4$

Решение логарифмических неравенств

Задание. Решить неравенство $log _<0,5>(x-1)>-1$

Решение. ОДЗ:

$$x-1>0 Rightarrow x>1 Rightarrow x in(1 ;+infty)$$

Учитывая выше написанное, получаем, что заданное логарифмическое неравенство равносильно неравенству:

Решение. Данное неравенство равносильно системе:

Логарифмы и их свойства

Обычно определение логарифма дают очень сложно и запутанно. Мы постараемся сделать это очень просто и наглядно.

Для того, чтобы разобраться, что такое логарифм, давайте рассмотрим пример:

Все знакомы, что такое степень числа (если нет, то вам сюда). В таблице приведены различные степени числа 2. Глядя на таблицу, ясно, что, например, число 32 – это 2 в пятой степени, то есть двойка, умноженная на саму себя пять раз.

Теперь при помощи этой таблицы введем понятие логарифма.

Логарифм от числа 32 по основанию 2 ((log_<2>(32))) – это в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить 32. Из таблицы видно, что 2 нужно возвести в пятую степень. Значит наш логарифм равен 5:

Аналогично, глядя в таблицу получим, что:

Естественно, логарифм бывает не только по основанию 2, а по любым основаниям больших 0. Можете так же создавать таблицы для разных чисел. Но, конечно, со временем вы это будете делать в уме.

Теперь дадим определение логарифма в общем виде:

Логарифмом положительного числа (b) по основанию положительно числа (a) называется степень (c), в которую нужно возвести число (a), чтобы получить (b)

Будьте внимательны! В первое время обычно путают, что такое основание и то, что стоит под логарифмом (аргумент). Логарифм — это всегда функция, зависящая от двух переменных. Чтобы их не путать, помните определение логарифма – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.

Но, конечно, вы часто будете сталкиваться не с такими простыми логарифмами, как в примерах с двойкой, а очень часто будет, что логарифм нельзя в уме посчитать. Действительно, что скажете про логарифм пяти по основанию два:

Как его посчитать? При помощи калькулятора. Он нам покажет, что такой логарифм равен иррациональному числу:

Или логарифм шести по основанию 4:

На уроках математики пользоваться калькулятором нельзя, поэтому на экзаменах и контрольных принято оставлять такие логарифмы в виде логарифма – не считая его, это не будет ошибкой!

Но иногда можно столкнуться с заданием, где нужно примерно оценить значение логарифма – это очень просто! Давайте для примера оценим логарифм (log_<4>(6)). Необходимо подобрать слева и справа от 6 такие ближайшие числа, логарифм от которых мы сможем посчитать, другими словами, надо найти степени 4-ки ближайшие к 6ке:

$$ log_<4>(4) lt log_<4>(6) lt log_<4>(16);$$ $$ 1 lt log_<4>(6) lt 2. $$

Значит (log_<4>(6)) принадлежите промежутку от 1 до 2:

Как посчитать логарифм

Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть (0). А основание не равно (1), потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь (1) в любой степени это будет (1).

При этих ограничениях логарифм существует.

В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.

Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д.

Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:

  • Во-первых, постарайтесь представить основание и аргумент (то, что стоит под логарифмом) в виде степеней с одинаковым основанием. Параллельно с этим избавляемся от всех десятичных дробей – переводим их в обыкновенные.
  • Разобраться в какую степень (x) нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Когда у вас там и там степени с одинаковым основанием, это сделать довольно просто.
  • (x) и будет искомым значением логарифма.

Давайте разберем на примерах.

Пример 1. Посчитать логарифм (9) по основанию (3): (log_<3>(9))

  • Сначала представим аргумент и основание в виде степени тройки: $$ 3=3^1, qquad 9=3^2;$$
  • Теперь надо разобраться в какую степень (x) нужно возвести (3^1), чтобы получить (3^2) $$ (3^1)^x=3^2, $$ $$ 3^<1*x>=3^2, $$ $$ 1*x=2,$$ $$ x=2.$$
  • Вот мы и решили: $$log_<3>(9)=2.$$

Пример 2. Вычислить логарифм (frac<1><125>) по основанию (5): (log_<5>(frac<1><125>))

  • Представим аргумент и основание в виде степени пятерки: $$ 5=5^1, qquad frac<1><125>=frac<1><5^3>=5^<-3>;$$
  • В какую степень (x) надо возвести (5^1), чтобы получить (5^<-3>): $$ (5^1)^x=5^<-3>, $$ $$ 5^<1*x>=5^<-3>,$$ $$1*x=-3,$$ $$x=-3.$$
  • Получили ответ: $$ log_<5>(frac<1><125>)=-3.$$

Пример 3. Вычислить логарифм (4) по основанию (64): (log_<64>(4))

  • Представим аргумент и основание в виде степени двойки: $$ 64=2^6, qquad 4=2^2;$$
  • В какую степень (x) надо возвести (2^6), чтобы получить (2^<2>): $$ (2^6)^x=2^<2>, $$ $$ 2^<6*x>=2^<2>,$$ $$6*x=2,$$ $$x=frac<2><6>=frac<1><3>.$$
  • Получили ответ: $$ log_<64>(4)=frac<1><3>.$$

Пример 4. Вычислить логарифм (1) по основанию (8): (log_<8>(1))

  • Представим аргумент и основание в виде степени двойки: $$ 8=2^3 qquad 1=2^0;$$
  • В какую степень (x) надо возвести (2^3), чтобы получить (2^<0>): $$ (2^3)^x=2^<0>, $$ $$ 2^<3*x>=2^<0>,$$ $$3*x=0,$$ $$x=frac<0><3>=0.$$
  • Получили ответ: $$ log_<8>(1)=0.$$

Пример 5. Вычислить логарифм (15) по основанию (5): (log_<5>(15))

  • Представим аргумент и основание в виде степени пятерки: $$ 5=5^1 qquad 15= . ;$$ (15) в виде степени пятерки не представляется, поэтому этот логарифм мы не можем посчитать. У него значение будет иррациональное. Оставляем так, как есть: $$ log_<5>(15).$$

Как понять, что некоторое число (a) не будет являться степенью другого числа (b). Это довольно просто – нужно разложить (a) на простые множители.

(16) разложили, как произведение четырех двоек, значит (16) будет степенью двойки.

Разложив (48) на простые множители, видно, что у нас есть два множителя (2) и (3), значит (48) не будет степенью.

Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.

Десятичный логарифм

На самом деле, все просто. Десятичный логарифм – это любой обыкновенный логарифм, но с основанием 10. Обозначается — (lg(a)).

Натуральный логарифм

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию (e). Обозначение — (ln(x)). Что такое (e)? Так обозначают экспоненту, число-константу, равную, примерно, (2,718281828459…). Это число известно тем, что используется в многих математических законах. Просто запомните, что логарифмы с основанием (e) часто встречаются, и поэтому им придумали специальное название – натуральный логарифм.

Натуральные и десятичные логарифмы подчиняются тем же самым свойствам и правилам, что и обыкновенные логарифмы.

У логарифмов есть несколько свойств, по которым можно проводить преобразования и вычисления. Кроме этих свойств, никаких операций с логарифмами делать нельзя.

Свойства логарифмов

Давайте разберем несколько примеров на свойства логарифмов.

Пример 8. Воспользоваться формулой (3). Логарифм от произведения – это сумма логарифмов.

Пример 9. Воспользоваться формулой (4). Логарифм от частного – это разность логарифмов.

Пример 10. Формула (5,6). Свойства степени.

Логично, что будет выполняться и такое соотношение:

Пример 11. Формулы (7,8). Переход к другому основанию.

Логарифмы

Предыдущую статью о показательных уравнениях мы начали с уравнения 2 x = 8. Там всё было ясно: x = 3.

А теперь рассмотрим уравнение 2 x = 7.

По графику функции y = 2 x мы видим, что это уравнение имеет корень, и притом единственный.


Ясно, что этот корень — не целое число (так как 2 2 = 4, 2 3 = 8). Более того, оказывается, что он не является даже рациональным числом, т. е. не представляется в виде обыкновенной дроби. Интуитивно мы чувствуем лишь, что он меньше 3, но не намного.

Этот корень обозначается log27 (читается: «логарифм семи по основанию два». Он является иррациональным числом, т. е. бесконечной непериодической десятичной дробью. Калькулятор даёт: log27 = 2,807354922057604107.

Итак, наше число log27 — это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Теперь дадим общее определение логарифма. Пусть a > 0 и a ≠ 1 (условия те же, что и для основания показательной функции).

Определение. Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

так как

, так как

так как ;

, так как .

Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg. Например, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.

Логарифм с основанием e называется натуральным и обозначается ln.

Обратите внимание: логарифм определён только для положительных чисел. Причина заключается в том, что показательная функция может принимать лишь положительные значения. Например, число log2(−4) не существует: в какую бы степень мы ни возводили 2, мы никогда не получим −4.

Не забывайте также про ограничения на основание логарифма: 0 1.

Основные формулы

По определению, logab — это показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b:

a logab =b (1)

Формула (1) называется основным логарифмическим тождеством.
Вот еще один вариант записи основного логарифмического тождества:

Перечислим свойства логарифмов. Они являются простыми следствиями правил действия со степенями. Все логарифмы ниже считаются определёнными.

Логарифм произведения — это сумма логарифмов:

loga(bc) = logab + logac. (2)

Логарифм частного — это разность логарифмов:

Показатель степени логарифмируемого числа «спрыгивает» перед логарифмом:

Показатель степени основания логарифма тоже «спрыгивает», но в виде обратного числа:

Формулы (4) и (5) вместе дают:

(6)

В частности, если m = n, мы получаем формулу:

(7)

Например, .

Наконец, важнейшая формула перехода к новому основанию:

(8)

В частности, если c = b, то logbb = 1, и тогда:

(9)

Приведём несколько примеров из банка заданий.
1. (применили формулу (2) суммы логарифмов).

2. (применили основное логарифмическое тождество(1))

3. (применили формулу (4).

4. (применили формулу (9), перейдя к новому основанию 0,8).

5. (применили формулу (3) разности логарифмов)

Немного истории

Теперь вы поняли, что такое логарифмы и как ими пользоваться. Но для чего они всё-таки нужны? Или это просто такая математическая игрушка с хитрой инструкцией по применению?

Понятие логарифма и логарифмические таблицы появились в 17 веке, и значение их было огромно.

Это в наши дни вычисления не представляют труда — у каждого есть калькулятор. А как считали в «докомпьютерные» времена?

Складывать и вычитать можно было на счётах, а вот умножать и делить приходилось «в столбик» — медленно и трудно.

В 15–17 веках, в эпоху великих географических открытий, стали бурно развиваться торговля, экономика и наука. Требования к математике росли: расчёты становились более сложными, а точность — например, для решения навигационных задач — нужна была всё более высокая.

Необходим был инструмент, позволяющий упростить и ускорить расчёты, и таким инструментом явились логарифмы.

Предположим, что b и c — большие числа, которые надо перемножить. Появление таблиц логарифмов (например, с основанием 10) существенно упростило эту задачу. Теперь вычислителю достаточно было найти по таблицам десятичные логарифмы чисел b и c, сложить их (на счётах) и получить логарифм произведения: lgb + lgc = lg(bc).

А затем по таблице логарифмов найти само произведение чисел b и c.

Недаром французский математик и астроном Лаплас сказал, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителей. Логарифмическая линейка (которой инженеры пользовались до 70-х годов двадцатого века) была не менее прогрессивным изобретением, чем современный калькулятор.

Но это еще не всё! Мы не занимались бы логарифмами, если бы они имели лишь историческую, «музейную» ценность. О неожиданных применениях логарифмов мы расскажем в следующей статье, посвящённой логарифмической функции.

Как складывать логарифмы

Давайте усложним задачу и найдём сумму пяти двоек.

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

И с этой задачей мы легко справились. А если нужно найти сумму 1 000 000 двоек? Использование аналогичного метода расчёта займёт уйму места и времени. Но хитрые математики поняли, как это легко сделать. Они придумали операцию умножения. Давайте посмотрим как это выглядит:

До изобретения умножения После
2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 2 × 5 = 10
2 + 2 + 2 + . + 2 = 2 000 000 2 × 1 000 000 = 2 000 000

Запись стала короче и понятнее. Далее возникла другая проблема: как быстро и экономно считать произведение одинаковых чисел? Например, попробуем найти произведение семи двоек.

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128

Для упрощения этого выражения математики придумали операцию возведения в степень. Ясно, что речь идёт об умножении одного и того же числа на себя n раз, зачем его дублировать и записывать снова и снова? Не легче ли написать так?

Здесь а – основание степени, n – показатель степени. Таким образом, мы значительно укоротили запись. Независимо от величины показателя степени, выражение будет выглядеть весьма лаконично:

До изобретения умножения После
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128 2 7 = 128

Михаэль Штифель (1487–1567) — немецкий математик, внёс значительный вклад в развитие алгебры и таких её областей как прогрессии, возведение в степень и отрицательные числа. Штифель впервые использовал понятия «показатель степени» и «корень». Несмотря на то, что учёный фактически использовал логарифмы, слава первооткрывателя досталась шотладскому математику Джону Неперу (1550–1617).

Как мы уже говорили, древние математики не обременяли себя расчётами каждый раз, когда им нужно было помножить или сложить числа, а использовали таблицы с заранее рассчитанными результатами. Очень удобно! Пользуясь подобной таблицей, немецкий математик Михаэль Штифель заметил интересную закономерность между арифметической и геометрической прогрессией.

Арифмитическая прогрессия 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Геометрическая прогрессия 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
Степенная запись 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 10

Давайте и мы попробуем её увидеть. Ведь эта закономерность позволяет упростить операции умножения и деления. Пусть нам необходимо посчитать произведение двух чисел:

16 × 64 = ?

Прежде чем браться за расчёты, взгляните на таблицу и найдите эти числа: это члены геометрической прогрессии с шагом 2. Числа, стоящие над ними в верхнем ряду: 4 над 16; 6 над 64 – это члены арифметической прогрессии. Сложим эти числа: 4 + 6 = 10. Теперь смотрим, какое число стоит под цифрой 10 во втором ряду – 1024. А ведь если выполнить наше изначальное задание 16х64, то результат будет равен 1024. Это значит, что, пользуясь таблицей и умея лишь складывать цифры, можно легко находить произведение.

Теперь рассмотрим операцию деления:

Снова посмотрите на таблицу и найдите соответствующие числа из верхнего ряда. Получим 10 и 7 соответственно. Если при умножении мы складываем, то при делении мы вычитаем: 10–7 = 3. Смотрим на число, стоящее под числом 3 во втором ряду, это 8. Следовательно, 1024:128 = 8.

Точно так же можно использовать таблицу для операций возведения в степень и извлечения корня.

Например, нам надо возвести 32 в квадрат. Смотрим на число, стоящее над 32 в верхнем ряду. Получаем 5. Умножаем 5 на 2. Выходит 10, далее смотрим на число, стоящее под 10: 1024. Отсюда 32 2 = 1024.

Рассмотрим извлечение корня. Например, найдём корень третьей степени от числа 512. Над числом 512 в верхнем ряду стоит 9. Разделим 9 на 3, получим 3. Находим соответствующее число во втором ряду. Получим 8. Следовательно, 83 = 512.

Все четыре примера – это следствие свойств степеней, которые можно записать следующим образом:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: