Как решать задачи на пропорции

6.1.2. Задачи на пропорцию

Задача 1. Толщина 300 листов бумаги для принтера составляет 3, 3 см. Какую толщину будет иметь пачка из 500 листов такой же бумаги?

Решение. Пусть х см — толщина пачки бумаги из 500 листов. Двумя способами найдем толщину одного листа бумаги:

3,3:300 или х:500.

Так как листы бумаги одинаковые, то эти два отношения равны между собой. Получаем пропорцию (напоминание: пропорция — это равенство двух отношений):

3,3:300=х:500. Неизвестный средний член пропорции равен произведению крайних членов пропорции, деленному на известный средний член. (Подробно о пропорции и нахождению ее крайнего, среднего членов читайте в статье: «6.1.1. Пропорция. Основное свойство пропорции.»)

х=(3,3·500):300;

х=5,5. Ответ: пачка 500 листов бумаги имеет толщину 5,5 см.

Это классическое рассуждение и оформление решения задачи. Такие задачи часто включают в тестовые задания для выпускников, которые обычно записывают решение в таком виде:

или решают устно, рассуждая так: если 300 листов имеют толщину 3,3 см, то 100 листов имеют толщину в 3 раза меньшую. Делим 3,3 на 3, получаем 1,1 см. Это толщина 100 листовой пачки бумаги. Следовательно, 500 листов будут иметь толщину в 5 раз большую, поэтому, 1,1 см умножаем на 5 и получаем ответ: 5,5 см.

Разумеется, это оправдано, так как время тестирования выпускников и абитуриентов ограничено. Однако, на этом занятии мы будем рассуждать и записывать решение так, как положено это делать в 6 классе.

Задача 2. Сколько воды содержится в 5 кг арбуза, если известно, что арбуз состоит на 98% из воды?

Решение.

Вся масса арбуза (5 кг) составляет 100%. Вода составит х кг или 98%. Двумя способами можно найти, сколько кг приходится на 1% массы.

5:100 или х:98. Получаем пропорцию:

5:100 = х:98.

х=(5·98):100;

х=4,9 Ответ: в 5кг арбуза содержится 4,9 кг воды.

Задача 3. Масса 21 литра нефти составляет 16,8 кг. Какова масса 35 литров нефти?

Решение.

Пусть масса 35 литров нефти составляет х кг. Тогда двумя способами можно найти массу 1 литра нефти:

16,8:21 или х:35. Получаем пропорцию:

16,8:21=х:35.

Находим средний член пропорции. Для этого перемножаем крайние члены пропорции (16,8 и 35) и делим на известный средний член (21). Сократим дробь на 7.

Умножаем числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы в числителе и знаменателе были только натуральные числа. Сокращаем дробь на 5 (5 и 10) и на 3 (168 и 3).

Ответ: 35 литров нефти имеют массу 28 кг.

Задача 4. После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?

Решение.

Пусть площадь всего поля х га, что составляет 100%. Осталось вспахать 9 га, что составляет 100% — 82% = 18% всего поля. Двумя способами выразим 1% площади поля. Это:

х:100 или 9:18. Составляем пропорцию:

х:100 = 9:18.

Находим неизвестный крайний член пропорции. Для этого перемножаем средние члены пропорции (100 и 9) и делим на известный крайний член (18). Сокращаем дробь.

Ответ: площадь всего поля 50 га.

Задачи на пропорции

О чем эта статья:

5 класс, 7 класс, 8 класс

Понятие пропорции

Чтобы решать задачи на тему пропорции, вспомним главное определение.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин.

Главное свойство пропорции:

Произведение крайних членов равно произведению средних.

где a, b, c, d — члены пропорции, a, d — крайние члены, b, c — средние члены.

Вывод из главного свойства пропорции:

  • Крайний член равен произведению средних, которые разделены на другой крайний. То есть для пропорции a/b = c/d:
  • Средний член равен произведению крайних, которые разделены на другой средний. То есть для пропорции a/b = c/d:

Решить пропорцию — значит найти неизвестный член. Свойство пропорции — главный помощник в решении.

Рассмотрим легкие и сложные задачи, которые можно решить с помощью пропорции. 5, 6, 7, 8 класс — неважно, всем школьникам полезно проанализировать занимательные задачки.

Задачи на пропорции с решением и ответами

Свойства пропорции придумали не просто так! С их помощью можно найти любой из членов пропорции, если он неизвестен. Решим 10 задач на пропорцию.

Задание 1. Найти неизвестный член пропорции: x/2 = 3/1

В этом примере неизвестны крайние члены, поэтому умножим средние члены и разделим полученный результат на известный крайний член:

Задание 2. Найти неизвестный член: 1/3 = 5/y

Задача 3. Решить пропорцию: 30/x = 5/8

Задание 4. Решить: 7/5 = y/10

Задание 5. Известно, что 21x = 14y. Найти отношение x — к y

    Сначала сократим обе части равенства на общий множитель 7: 21x/7 = 14y/7.

  • Теперь разделим обе части на 3y, чтобы в левой части убрать множитель 3, а в правой части избавиться от y: 3x/3y = 2y/3y.
  • После сокращения отношений получилось: x/y = 2/3.
  • На следующем примере мы узнаем как составить пропорцию по задаче💡

    Задание 6. Из 300 подписчиков в инстаграм 108 человек — поставили лайк под постом. Какой процент всех подписчиков составляют те, кому понравился пост и они поставили лайк?

      Примем всех подписчиков за 100% и запишем условие задачи кратко:

  • Составим пропорцию: 300/108 = 100/x.
  • Найдем х: (108 * 100) : 300 = 36.
  • Ответ: 36% всех подписчиков поставили лайк под постом.

    Задание 7. Подруга Гарри Поттера при варке оборотного зелья использовала водоросли и пиявки в отношении 5 к 2. Сколько нужно водорослей, если есть только 450 грамм пиявок?

    • Составим пропорцию: 5/2 = x/450.
    • Найдем х: (5 * 450) : 2 = 1125.

    Ответ: на 450 грамм пиявок нужно взять 1125 гр водорослей.

    Задание 8. Известно, что арбуз состоит на 98% из воды. Сколько воды в 5 кг арбуза?

    Вес арбуза (5 кг) составляет 100%. Вода — 98% или х кг.

    Ответ: в 5 кг арбуза содержится 4,9 кг воды.

    Перейдем к примерам посложнее. Рассмотрим задачу на пропорции из учебника по алгебре за 8 класс.

    Задание 9. Папин автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

    Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

    • v1 = 75 км/ч
    • v2 = 52 км/ч
    • t1 = 13 ч
    • t2 = х

      Составим пропорцию: v1/v2 = t2/t1.

    Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.

    Подставим известные значения: 75/52 = t2/13

    t2 = (75 * 13)/52 = 75/4 = 18 3/4 = 18 ч 45 мин

    Ответ: 18 часов 45 минут.

    Задание 10. 24 человека за 5 дней раскрутили канал в телеграм. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

    Читайте также  Как составить список художников 19 века

    1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

    2. Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.

    3. Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

      Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию:

    Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член:

  • Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.
  • Пропорция

    Пропо́рция равенство двух отношений, т. е. равенство вида a : b = c : d, или, в других обозначениях, равенство

    Если a : b = c : d, то a и d называют крайними , а b и cсредними членами пропорции.

    От « пропорции» никуда не деться, без нее не обойтись во многих задачах. Выход только один – разобраться с этим отношением и пользоваться пропорцией как палочкой-выручалочкой.

    Прежде чем приступать к рассмотрению задач на пропорцию, важно вспомнить основное правило пропорции:

    В пропорции

    произведение крайних членов равно произведению средних

    Если какая-то величина в пропорции неизвестна, ее легко будет найти, опираясь на это правило.

    То есть неизвестная величина пропорции – значении дроби, в знаменателе которой – то число, которое стоит напротив неизвестной величины, в числителе – произведение оставшихся членов пропорции (независимо от того, где эта неизвестная величина стоит).

    Задача 1.

    Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?

    Мы понимаем, что уменьшение веса семени во сколько-то раз, влечет за собой уменьшение веса получаемого масла во столько же раз. То есть величины связаны прямой зависимостью.

    Заполним таблицу:

    Неизвестная величина – значение дроби , в знаменателе которой – 21 – величина, стоящая напротив неизвестного в таблице, в числителе – произведение оставшихся членов таблицы-пропорции.

    Поэтому получаем, что из 7 кг семени выйдет 1,7 кг масла.

    Чтобы правильно заполнять таблицу, важно помнить правило:

    Одинаковые наименования нужно записывать друг под другом. Проценты записываем под процентами, килограммы под килограммами и т.д

    Задача 2.

    Перевести в радианы.

    Мы знаем, что . Заполним таблицу:

    Откуда

    Ответ:

    Задача 3.

    На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 27?

    Хорошо видно, что незаштрихованный сектор соответствует углу в (например, потому, что стороны сектора образованы биссектрисами двух смежных прямых углов). А поскольку вся окружность составляет , то на закрашенный сектор приходится .

    Откуда площадь круга – есть .

    Ответ:

    Задача 4. После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?

    Все поле составляет 100%, и поскольку вспахано 82%, то осталось вспахать 100%-82%=18% поля.

    Заполняем таблицу:

    Откуда получаем, что все поле составляет (га).

    Ответ:

    А следующая задача – с засадой.

    Задача 5.

    Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80км/ч за 3 часа. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 60 км/ч?

    Если вы будете решать эту задачу аналогично предыдущей, то получите следующее:

    время, которое потребуется товарному поезду, чтобы пройти то же расстояние, что и пассажирским, есть часа. То есть, получается, что идя с меньшей скоростью, он преодолевает (за одно и тоже время) расстояние быстрее, нежели поезд с большей скоростью.

    В чем ошибка рассуждений?

    До сих пор мы рассматривали задачи, где величины были прямопропорциональны друг другу , то есть рост одной величины во сколько-то раз, дает рост связанной с ней второй величины во столько же раз (аналогично с уменьшением, конечно). А здесь у нас другая ситуация: скорость пассажирского поезда больше скорости товарного во сколько-то раз, а вот время, требуемое на преодоление одного и того же расстояния, требуется пассажирскому поезду меньшее во столько же раз, нежели товарному поезду. То есть величины друг другу обратно пропорциональны .

    Схему, которой мы пользовались до сих пор, надо чуть изменить в данном случае.

    Пассажирский поезд со скоростью 80 км/ч ехал 3 ч, следовательно, он проехал км. А значит товарный поезд это же расстояние преодолеет за ч.

    То есть, если бы мы составляли пропорцию, нам следовало бы поменять местами ячейки правой колонки предварительно. Получили бы: ч.

    Ответ: .

    Поэтому, пожалуйста, будьте внимательны при составлении пропорции. Разберитесь сначала, с какой зависимостью имеете дело – с прямой или обратной.

    Математика. 6 класс

    Конспект урока

    Прямая и обратная пропорциональность. Решение задач

    Перечень рассматриваемых вопросов:

    • Понятия прямой и обратной пропорциональной зависимости.
    • Краткая запись условия задачи.
    • Составление и решение пропорций по условию задачи.
    • Решение задач на прямую и обратную пропорциональную зависимость.

    Равенство двух отношений называют пропорцией.

    Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

    Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

    Основная литература

    1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.

    Дополнительная литература

    1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
    2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

    Теоретический материал для самостоятельного изучения

    Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

    Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

    Для решения задач на пропорциональную зависимость, удобно составить таблицу или сделать краткую запись условия.

    Столбцы таблицы соответствуют наименованиям зависимых величин.

    Строки таблицы соответствуют значениям величин при первом и втором измерении.

    Одинаково направленные стрелки показывают прямо пропорциональную зависимость, противоположно направленные – обратно пропорциональную.

    Поезд, скорость которого 55 км/ч, был в пути 5 часов. За сколько часов пройдёт этот же участок пути товарный поезд, скорость которого 45 км/ч?

    При постоянном пути скорость и время движения обратно пропорциональны.

    Допустим, товарный поезд пройдёт этот же путь со скоростью 45 км/ч за x ч.

    Сделаем краткую запись условия.

    Двигаясь с постоянной скоростью, велогонщик проезжает 40 метров за 3 с. Какой путь проедет велогонщик за 45 с?

    При постоянной скорости путь прямо пропорционален времени движения.

    Пусть х м проедет велогонщик за 45 с.

    Сделаем краткую запись условия.

    Усилие при восхождении на высоту 600 м равно усилию, требуемому для перехода 25 км по равнине. Турист поднялся в горы на 792 м. Какому расстоянию на равнине соответствует этот подъём?

    Читайте также  Как научиться поппингу

    Четыре программиста могут написать игру за 12 месяцев. За сколько месяцев эту работу могут выполнить три программиста?

    Количество программистов и скорость написания игры – это обратно пропорциональная зависимость.

    Разбор заданий тренировочного модуля

    № 1. Подстановка элементов в пропуски в тексте.

    Подставьте нужные элементы в пропуски.

    Пешеход шёл 3 часа со скоростью 8 км/ч. За сколько часов он пройдёт то же расстояние со скоростью 6 км/ч?

    При фиксированном расстоянии время в пути и скорость – ______ пропорциональны.

    Пусть _____ часов – пешеход идёт со скоростью 6 км/ч.

    При фиксированном расстоянии время в пути и скорость – обратно пропорциональны.

    Пусть х часов – пешеход идёт со скоростью 6 км/ч.

    № 2. Подстановка элементов в пропуски в таблице.

    Поезд движется со скоростью 45 км/ч. Какое расстояние он пройдёт, если будет в пути 3 ч; 4 ч; 5 ч; 6 ч.

    При постоянной скорости пройденный путь и время прямо пропорциональны. Скорость движения поезда 45 км/ч означает, что за 1 час поезд преодолевает расстояние в 45 км. Обозначим за x км – расстояние, которое поезд пройдёт за 3, 4, 5 и 6 часов.

    Таким же способом находим расстояние, которое пройдёт поезд за 4, 5 и 6 часов, и подставляем соответствующие варианты в таблицу.

    Урок 23 Бесплатно Прямая и обратная пропорциональные зависимости

    На этом уроке мы рассмотрим, что такое прямая и обратная пропорциональные зависимости, научимся оформлять и решать задачи с помощью пропорции, устанавливая пропорциональную зависимость между величинами в ней, рассмотрим примеры задач на прямую и обратную пропорциональную зависимость.

    Прямая и обратная пропорциональность

    Давайте сначала разберемся, что такое пропорциональность.

    Пропорциональность — это зависимость двух величин друг от друга таким образом, что значение отношения этих величин остается постоянным.

    Зависимость величин друг от друга может быть прямой и обратной.

    Отношение между величинами описываются прямой или обратной пропорциональностью.

    Прямая пропорциональность выражается так: (mathbf)

    Обратная пропорциональность выражается так: (mathbf>)

    где k — это число, которое называют коэффициентом пропорциональности.

    x и y величины, зависящие друг от друга.

    Пример

    Площадь прямоугольника равна (mathbf), где S— это площадь прямоугольника, а — длина прямоугольника, b — ширина прямоугольника.

    Если один из множителей произведения — постоянная величина, то произведение прямо пропорционально второму множителю.

    Если постоянно значение произведения, то множители зависят друг от друга обратно пропорционально.

    По формуле видно, что площадь квадрата зависит от длины (ширины) его стороны, а длина стороны (ширина) зависит от его площади.

    Какова эта зависимость, сейчас и рассмотрим.

    Зависимость площади прямоугольника от длины при постоянном значении ширины является прямо пропорциональной зависимостью этих величин.

    Зависимость площади прямоугольника от ширины при постоянном значении длины является прямо пропорциональной зависимостью этих величин.

    Пусть одна клетка равна 1 см. Рассмотрим рисунок:

    Ширина прямоугольника b постоянная величина

    b = 4 см

    a1 = 6 см

    Увеличим ширину прямоугольника — сторону a1 на 1 см, получим

    a2 = 7 см

    Найдем площади прямоугольников S1 и S2

    (mathbf = a_ <1>cdot b = 6 cdot 4 = 24>) см 2

    (mathbf = a_ <2>cdot b = 7 cdot 4 = 28>) см 2

    Вывод: при увеличении стороны прямоугольника увеличилась площадь прямоугольника.

    Рассмотрим другой вариант зависимости

    Зависимость одной из сторон прямоугольника от второй стороны при постоянном значении площади прямоугольника является обратно пропорциональной зависимостью. Пусть одна клетка равна 1 см

    Площадь прямоугольника S постоянная величина

    S = 24 см 2

    b1 = 4 см

    Увеличим высоту прямоугольника- сторону прямоугольника b1 на 2 см, получим

    b2 = 6 см

    Найдем ширину прямоугольника- сторону a2

    Вывод: при увеличении одной стороны прямоугольника и постоянном значении площади, вторая сторона уменьшается.

    Таким образом, мы подошли к основным понятиям пропорциональной зависимости. Чтобы было легко разобраться в несложных схемах ниже, мы дадим пояснение символам:

    1) Две величины прямо пропорциональны друг другу, если при увеличении (уменьшении) одной величины в n количество раз, другая величина, зависящая от первой, так же увеличивается (уменьшается) в n количество раз.

    2) Две величины обратно пропорциональны друг другу, если при увеличении (уменьшении) одной величины в n количество раз, другая величина, зависящая от первой, уменьшается (увеличивается) в n количество раз.

    Примеров прямой и обратной пропорциональности множество.

    Однако не все величины зависят друг от друга прямо пропорционально или обратно пропорционально, встречаются и более простые и более сложные зависимости величин.

    Надо понимать, что даже если какие-нибудь две величины возрастают или убывают, то между ними не обязательно существует пропорциональная зависимость.

    Например, с течением времени увеличивается возраст человека и его размер ноги, но эти величины не являются пропорциональными, так как при удвоении возраста размер ноги человека не удваивается

    Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

    Алгоритм решение задач с прямой и обратной пропорциональной зависимостью

    Алгоритм решения задач на пропорциональную зависимость состоит из нескольких основных пунктов:

    1. Обозначить буквой значение неизвестной величины (чаще всего для этого выбирают латинскую букву Х)
    2. Проанализировать задачу и кратко записать ее условия (краткую запись можно делать в виде таблицы или изображать в виде логической схемы)
    3. Установить зависимость между величинами
    4. В краткой записи задачи обозначить стрелками пропорциональную зависимость

    — Стрелки, которые направлены в одну сторону, обозначают прямую пропорциональную зависимость величин

    — Стрелки, которые направлены в разные стороны, обозначают обратную пропорциональную зависимость величин.

    5. Записать пропорцию, учитывая характер пропорциональности величин

    6. Составить уравнение

    7. Найти неизвестный член уравнения (искомую величину)

    8. Записать ответ задачи

    Важно помнить, что при составлении краткой записи задачи величины с одинаковыми единицами измерения записывают друг под другом.

    Если между величинами прямая пропорциональная зависимость, то пропорция составляется точно в соответствии с краткой записью задачи.

    Если между величинами обратная пропорциональная зависимость, то при составлении пропорции одноименные величины меняются местами в одном любом из столбцов таблицы (логической схемы) краткой записи задачи.

    Другими словами, при прямо пропорциональной зависимости отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.

    При обратно пропорциональной зависимости отношение значений одной величины будет равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

    Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

    Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: