Как построить параболоид

Как построить параболоид

Эллипсоиды, параболоиды, гиперболоиды. Прямолинейные образующие.

Поверхность S называют поверхностью вращения с осью d , если она составлена из окружностей, которые имеют центры на прямой d и лежат в плоскостях, перпендикулярных данной прямой.

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы точка лежала на поверхности вращения S : равенство

Рассмотрим поверхности, которые получаются при вращении эллипса вокруг его оси симметрии. Направив вектор сначала вдоль малой оси эллипса, а затем вдоль большой оси, мы получим уравнения эллипса в следующих видах:

с – малая полуось эллипса. В силу формулы уравнениями соответствующих поверхностей вращения будут:

( a > c ). Поверхности с такими уравнениями называются соответственно сжатым и вытянутым эллипсоидом вращения .

Каждую точку M ( x , y , z ) на сжатом эллипсоиде вращения сдвинем к плоскости y =0 так, чтобы расстояние от точки до этой плоскости уменьшилось в постоянном для всех точек отношении . После сдвига точка попадет в положение M ’( x ’, y ’, z ’) , где x ’= x , y ’= y , z ’= z . Таким образом, точки эллипсоида вращения переходят в точки поверхности с уравнением :

где b = a . Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат имеет уравнение последнего вида, называется эллипсоидом .

Эллипсоид можно получить из сферы сжатием по плоскостям y = 0 и z = 0 в отношениях и .

Вращая параболу вокруг ее оси симметрии, мы получаем поверхность с уравнением . Она называется параболоидом вращения. Сжатие к плоскости y = 0 переводит параболоид вращения в поверхность, уравнение которой приводится к виду:

Поверхность, которая имеет такое уравнение в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется эллиптическим параболоидом .

По аналогии с последним уравнением мы можем написать уравнение

Поверхность, которая имеет уравнение последнего вида в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется гиперболическим параболоидом .

Гиперболический параболоид можно построить следующим образом: зададим две параболы и будем перемещать одну из них так, чтобы ее вершина скользила по другой, оси парабол были параллельны, параболы лежали во взаимно перпендикулярных плоскостях и ветви их были направлены в противоположные стороны. При таком перемещении парабола описывает гиперболический параболоид.

Гиперболический параболоид имеет два семейства прямолинейных образующих. Уравнения одного:

Выводятся эти уравнения так же, как и уравнения прямолинейных образующих однополостного гиперболоида.

Однополостный гиперболоид вращения – это поверхность вращения гиперболы

Вокруг той оси, которая ее не пресекает. По формуле мы получаем уравнение этой поверхности

В результате сжатия однополосного гиперболоида вращения к плоскости y =0 мы получаем однополостный гиперболоид с уравнением

Далее получаем уравнения для прямолинейных образующих однополостного гиперболоида следующим образом:

Последнее уравнение переписываем в виде

Рассмотрим прямую линию с уравнениями

где и – некоторые числа, одновременно не равные нулю. Каковы бы ни были эти числа, прямая, удовлетворяющая последнему уравнению лежит на однополостном гиперболоиде. Таким образом, последняя система определяет семейство прямолинейных образующих.

Второе семейство прямолинейных образующих определяется системой

Если вместе с гиперболой мы будем вращать ее асимптоты, то они опишут прямой круговой конус, называемый асимптотическим конусом гиперболоида вращения. При сжатии гиперболоида вращения его асимптотический конус сжимается в асимптотический конус общего однополостного гиперболоида.

Двуполостный гиперболоид вращения – это поверхность, получаемая вращением гиперболы

вокруг той оси, которая ее пересекает. По формуле мы получаем уравнение двуполостного гиперболоида вращения

В результате сжатия этой поверхности к плоскости y =0 получается поверхность с уравнением

Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение такого вида, называют двуполостным гиперболоидом . Двум ветвям гиперболы здесь соответствуют две несвязанные между собой части («полости») поверхности, в то время как при построении однополостного гиперболоида вращения каждая ветвь гиперболы описывала всю поверхность.

Асимптотический конус двуполостного гиперболоида определяется так же, как и для однополостного.

Как построить параболоид

Общее уравнение поверхности второго порядка
(A + B + C + 2Fyz + 2Gzx + 2Hxy + 2Px + 2Qy + 2Rz + D = 0,)
где (x), (y), (z) − координаты точек поверхности, (A), (B), (C), (ldots) − действительные числа.

Классификация поверхностей второго порядка
Данная классификация основана на рассмотрении инвариантов поверхностей второго порядка. Инварианты представляют собой специальные выражения, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при параллельном переносе или повороте системы координат. Всего можно выделить (17) различных канонических видов поверхностей.

# Ранг ((e)) Ранг ((E)) (Delta) Знаки (k) Вид поверхности
(1) (3) (4) ( 0) Одинаковые Мнимый эллипсоид
(3) (3) (4) (> 0) Разные Однополостный гиперболоид
(4) (3) (4) ( 0) Разные Гиперболический параболоид
(9) (2) (3) Одинаковые Эллиптический цилиндр
(10) (2) (3) Одинаковые Мнимый эллиптический цилиндр
(11) (2) (3) Разные Гиперболический цилиндр
(12) (2) (2) Разные Пересекающиеся плоскости
(13) (2) (2) Одинаковые Мнимые пересекающиеся плоскости
(14) (1) (3) Параболический цилиндр
(15) (1) (2) Параллельные плоскости
(16) (1) (2) Мнимые параллельные плоскости
(17) (1) (1) Совпадающие плоскости

В качестве инвариантов используются ранги матриц (e) и (E), определитель матрицы (E) и знаки корней характеристического уравнения для матрицы (e). Указанные матрицы имеют вид:

Мнимый эллипсоид (#(2))
(largefrac<<>><<>>normalsize + largefrac<<>><<>>normalsize + largefrac<<>><<>>normalsize = -1)

Однополостный гиперболоид (#(3))
(largefrac<<>><<>>normalsize + largefrac<<>><<>>normalsize — largefrac<<>><<>>normalsize = 1)

Двуполостный гиперболоид (#(4))
(largefrac<<>><<>>normalsize + largefrac<<>><<>>normalsize — largefrac<<>><<>>normalsize = -1)

Коническая поверхность (#(5))
(largefrac<<>><<>>normalsize + largefrac<<>><<>>normalsize — largefrac<<>><<>>normalsize = 0)

Мнимая коническая поверхность (#(6))
(largefrac<<>><<>>normalsize + largefrac<<>><<>>normalsize + largefrac<<>><<>>normalsize = 0)

Эллиптический параболоид (#(7))
(largefrac<<>><<>>normalsize + largefrac<<>><<>>normalsize — z = 0)

Гиперболический параболоид (#(8))
(largefrac<<>><<>>normalsize — largefrac<<>><<>>normalsize — z = 0)

Эллиптический цилиндр (#(9))
(largefrac<<>><<>>normalsize + largefrac<<>><<>>normalsize = 1)

Мнимый эллиптический цилиндр (#(10))
(largefrac<<>><<>>normalsize + largefrac<<>><<>>normalsize = -1)

Гиперболический цилиндр (#(11))
(largefrac<<>><<>>normalsize — largefrac<<>><<>>normalsize = 1)

Пересекающиеся плоскости (#(12))
(largefrac<<>><<>>normalsize — largefrac<<>><<>>normalsize = 0)

Мнимые пересекающиеся плоскости (#(13))
(largefrac<<>><<>>normalsize + largefrac<<>><<>>normalsize = 0)

Параболический цилиндр (#(14))
(largefrac<<>><<>>normalsize — y = 0)

Параллельные плоскости (#(15))
(largefrac<<>><<>>normalsize = 1)

Мнимые параллельные плоскости (#(16))
(largefrac<<>><<>>normalsize = -1)

Совпадающие плоскости (#(17))
( = 0)

Уравнение сферы с центром в начале координат
Сфера является частным случаем эллипсоида, когда все его полуоси одинаковы (и равны радиусу сферы). Уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом (R) выражается формулой
( + + = .)

Уравнение сферы с центром в произвольной точке
( right)^2> + right)^2> + right)^2> = ,)
где (left( right)) − координаты центра сферы.

Уравнение сферы по заданным концам диаметра
(left( > right)left( > right) + left( > right)left( > right) + left( > right)left( > right) = 0,)
где (left( <,,> right)), (left( <,,> right)) − конечные точки диаметра.

Общее уравнение сферы
(A + A + A + Dx + Ey + Fz + M = 0,;;left( right))
Центр сферы имеет координаты (left( right)), где
(a = — largefrac<<2A>>normalsize,;;b = — largefrac<<2A>>normalsize,;;c = — largefrac<<2A>>normalsize.)
Радиус сферы равен
(R = largefrac <+ + — 4M> >><<2A>>normalsize).

Читайте также  Как отучить ребенка сосать кулачок

Параболоиды: определение, виды, сечения

Определение параболоида

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат каноническим уравнением

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат каноническим уравнением

В уравнениях (4.51) и (4.52) и — положительные параметры, характеризующие параболоиды, причем для эллиптического параболоида .

Начало координат называют вершиной каждого из параболоидов ((4.50) или (4.51)).

Плоские сечения эллиптического параболоида

Плоскость пересекает эллиптический параболоид (4.51) по линии, имеющей в этой плоскости уравнение , которое равносильно уравнению параболы с фокальным параметром . Сечение параболоида плоскостью получаем, подставляя в уравнение (4.51): . Это уравнение равносильно уравнению параболы с фокальным параметром . Эти сечения называются главными параболами эллиптического параболоида (4.51).

Рассмотрим теперь сечение эллиптического параболоида плоскостями, параллельными плоскости . Подставляя , где — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.51), получаем

При уравнение не имеет действительных решений, т.е. плоскость при не пересекает параболоид (4.51). При уравнению (4.51) удовлетворяет одна вещественная точка — вершина параболоида. При 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQBAMAAACigOGCAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAQSHbWqHAiDGxccHwESbMsvAAAADOSURBVBjTY2DACURTMcUkQITKSwxx51ILIMn4Cl2c6SHDmgsMDOwvINx2BZgEqwEDXwEDA5sBhMuYCpPhSWDgAwryhUwrgMhkCkAk7iUwcD9gYJA7xfgEIsARBpGRS2BgA0rULeB9DrM12AFJYg8DyxO4e4pBMnIbwEa9ZGB/BJPgBUvobWBgfgDyBrMBqlF8G0CuAnqjbwFEhikaYjkn0B8BIG/UqYDdyzgN6lzGFwx+CiA5ncgLYA82wKzyWW4C1A9kgL3cqoAILJcLDADGbCyGJ0mAtgAAAABJRU5ErkJggg==» /> уравнение определяет эллипс с полуосями . Следовательно, сечение эллиптического параболоида плоскостью (при 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQBAMAAACigOGCAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAQSHbWqHAiDGxccHwESbMsvAAAADOSURBVBjTY2DACURTMcUkQITKSwxx51ILIMn4Cl2c6SHDmgsMDOwvINx2BZgEqwEDXwEDA5sBhMuYCpPhSWDgAwryhUwrgMhkCkAk7iUwcD9gYJA7xfgEIsARBpGRS2BgA0rULeB9DrM12AFJYg8DyxO4e4pBMnIbwEa9ZGB/BJPgBUvobWBgfgDyBrMBqlF8G0CuAnqjbwFEhikaYjkn0B8BIG/UqYDdyzgN6lzGFwx+CiA5ncgLYA82wKzyWW4C1A9kgL3cqoAILJcLDADGbCyGJ0mAtgAAAABJRU5ErkJggg==» />) представляет собой эллипс, центр которого лежит на оси аппликат, а вершины — на главных параболах.

Таким образом, эллиптический параболоид можно представить как поверхность, образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных параболах (рис.4.46,а).

Параболоид вращения

Эллиптический параболоид, у которого , называется параболоидом вращения . Такой параболоид является поверхностью вращения. Сечения параболоида вращения плоскостями (при 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQBAMAAACigOGCAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAQSHbWqHAiDGxccHwESbMsvAAAADOSURBVBjTY2DACURTMcUkQITKSwxx51ILIMn4Cl2c6SHDmgsMDOwvINx2BZgEqwEDXwEDA5sBhMuYCpPhSWDgAwryhUwrgMhkCkAk7iUwcD9gYJA7xfgEIsARBpGRS2BgA0rULeB9DrM12AFJYg8DyxO4e4pBMnIbwEa9ZGB/BJPgBUvobWBgfgDyBrMBqlF8G0CuAnqjbwFEhikaYjkn0B8BIG/UqYDdyzgN6lzGFwx+CiA5ncgLYA82wKzyWW4C1A9kgL3cqoAILJcLDADGbCyGJ0mAtgAAAABJRU5ErkJggg==» />), представляют собой окружности с центрами на оси аппликат (рис.4.46,б). Его можно получить, вращая вокруг оси параболу , где .

Плоские сечения гиперболического параболоида

Сечения гиперболического параболоида координатными плоскостями и представляют собой параболы (главные параболы) или с параметрами или соответственно. Поскольку оси симметрии главных парабол направлены в противоположные стороны, гиперболический параболоид называют седловой поверхностью .

Рассмотрим теперь сечения гиперболического параболоида плоскостями, параллельными плоскости . Подставляя , где — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.52), получаем При 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQBAMAAACigOGCAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAQSHbWqHAiDGxccHwESbMsvAAAADOSURBVBjTY2DACURTMcUkQITKSwxx51ILIMn4Cl2c6SHDmgsMDOwvINx2BZgEqwEDXwEDA5sBhMuYCpPhSWDgAwryhUwrgMhkCkAk7iUwcD9gYJA7xfgEIsARBpGRS2BgA0rULeB9DrM12AFJYg8DyxO4e4pBMnIbwEa9ZGB/BJPgBUvobWBgfgDyBrMBqlF8G0CuAnqjbwFEhikaYjkn0B8BIG/UqYDdyzgN6lzGFwx+CiA5ncgLYA82wKzyWW4C1A9kgL3cqoAILJcLDADGbCyGJ0mAtgAAAABJRU5ErkJggg==» /> уравнение равносильно уравнению гиперболы полуосями , то есть сечение гиперболического параболоида плоскостью при 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQBAMAAACigOGCAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAQSHbWqHAiDGxccHwESbMsvAAAADOSURBVBjTY2DACURTMcUkQITKSwxx51ILIMn4Cl2c6SHDmgsMDOwvINx2BZgEqwEDXwEDA5sBhMuYCpPhSWDgAwryhUwrgMhkCkAk7iUwcD9gYJA7xfgEIsARBpGRS2BgA0rULeB9DrM12AFJYg8DyxO4e4pBMnIbwEa9ZGB/BJPgBUvobWBgfgDyBrMBqlF8G0CuAnqjbwFEhikaYjkn0B8BIG/UqYDdyzgN6lzGFwx+CiA5ncgLYA82wKzyWW4C1A9kgL3cqoAILJcLDADGbCyGJ0mAtgAAAABJRU5ErkJggg==» /> представляет собой гиперболу с центром на оси аппликат, вершины которой лежат на главной параболе . При получаем уравнение сопряженной гиперболы с полуосями , т.е. сечение гиперболического параболоида плоскостью при представляет собой сопряженную гиперболу с центром на оси аппликат, вершины которой лежат на главной параболе . При получаем уравнение пересекающихся прямых , т.е. сечение гиперболического параболоида плоскостью представляет собой пару пересекающихся в начале координат прямых.

Таким образом, гиперболический параболоид можно представить как поверхность, образованную гиперболами (включая и «крест» из их асимптот), вершины которых лежат на главных параболах (рис.4.47,а).

Сечение параболоида плоскостью , где — произвольная постоянная, представляет собой параболу

равную главной параболе с параметром , вершина которой лежит на другой главной параболе с параметром . Поэтому гиперболический параболоид можно представить как поверхность, получающуюся при перемещении одной главной параболы так, чтобы ее вершина «скользила» по другой главной параболе (рис.4.47,б).

1. Гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью, т.е. поверхностью, образованной движением прямой (рис.4.47,в).

2. Ось аппликат канонической системы координат является осью симметрии параболоида, а координатные плоскости — плоскостями симметрии параболоида.

В самом деле, если точка принадлежит параболоиду (эллиптическому или гиперболическому), то точки с координатами при любом выборе знаков также принадлежат параболоиду, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.51) или (4.52) соответственно. Поэтому параболоид симметричен относительно координатных плоскостей и координатной оси .

Начертательная геометрия: Учебное пособие , страница 4

Образован направляющими l1 и l2 – это гладкие кривые линии. Образующие (например, 1-2) параллельны некоторой заданной плоскости параллелизма a (1¢-2¢ || aH) (рис. 45).

Рис.45

Рис.46

Гиперболический параболоид
(косая плоскость)

Образован скольжением образующей (например, 1-2) по двум скрещивающимся прямолинейным направляющим m и n. При этом образующая в каждом своем положении остается параллельной плоскости параллелизма a (1¢-2¢ || aН), (рис. 47а).

Рис.47а

В данном примере (рис. 47б) косой плоскости направляющих плоскостей параллелизма две: первой плоскости параллелизма параллельны образующие одной системы – это AD и BC, второй — образующие другой системы – это AB и CD. Плоскости параллелизма на рисунке не указаны.

Нелинейчатые поверхности с образующей переменного вида

Образуется двумя направляющими эллипсами и деформирующейся образующей, тоже эллипсом, который начинается с одной точки, максимально расширяется в середине поверхности и снова превращается в точку, скользя по двум направляющим эллипсам (рис. 48).

Образуется двумя направляющими параболами и деформирующимся эллипсом (рис. 49).

Поверхность вращения общего вида

Это поверхность, образованная произвольной кривой (плоской или пространственной), при этом она вращается вокруг неподвижной оси.

В определители поверхности входят образующая a, ось вращения m.

Поверхности вращения частного вида

Тор – поверхность, образованная вращением окружности а (образующая) вокруг оси i (рис. 51).

получим сжатый эллипсоид вращения (рис. 52 а).

Если вращение осуществлять вокруг большой оси n,

образуется поверхность вытянутого эллипсоида

вращения (рис. 52б).

Образован вращением параболы а вокруг оси m (рис. 53).

Однополостный гиперболоид вращения

Он в данном примере (рис.54) образован прямолинейной образующей а путем вращения ее вокруг оси l, скрещивающейся с ней. Плоскость, перпендикулярная к оси однополостного гиперболоида, рассекает его в данном случае по окружности.

Для построения проекций необходимо: разделить проекции окружностей на произвольное равное число частей, затем соединить прямой линией точку 1² нижней окружности с любой (кроме 12²) точкой верхней окружности (это образующая). На чертеже точка 11² соединена с точкой 32², точка 21² с 42² и т.д. Соединив все точки деления нижней окружности с точками деления верхней окружности, получим проекции каркаса поверхности. Второй каркас этой же поверхности образован соединением первой точки верхней окружности с третьей точкой нижней окружности, точка 22² — с точкой 41², 32² с 51² и т.д.

Плоскость, проходящая через ось (i) поверхности, пересекает построенную поверхность по гиперболе. Отсюда и произошло название этой поверхности.

Поверхность однополостного гиперболоида вращения можно получить также вращением гиперболы (а) вокруг ее мнимой оси (m), (рис. 55а)

Образующей а поверхности вращения, называемой глобоидом, является дуга окружности радиусом R (рис. 55б), а ось вращения линия m (m”-m’)

Поверхность называется винтовой, если она получается винтовым перемещением образующей линии. Данное перемещение характеризуется вращением этой линии вокруг оси и одновременно поступательным движением, параллельным этой оси.

Линейчатые винтовые поверхности называются геликоидами. Если образующая имеет угол с осью равный 90°, то геликоид называют прямым (рис.56), если угол произвольный, отличный от 0° и 90°, то геликоид называют косым или наклонным (рис.57).

Рис.57

Линия а – образующая Винтовая линия m – направляющая

Винтовая линия m – направляющая Линия а – образующая, параллельная

образующей конуса b

Поверхности, задаваемые каркасом

  • АлтГТУ 419
  • АлтГУ 113
  • АмПГУ 296
  • АГТУ 267
  • БИТТУ 794
  • БГТУ «Военмех» 1191
  • БГМУ 172
  • БГТУ 603
  • БГУ 155
  • БГУИР 391
  • БелГУТ 4908
  • БГЭУ 963
  • БНТУ 1070
  • БТЭУ ПК 689
  • БрГУ 179
  • ВНТУ 120
  • ВГУЭС 426
  • ВлГУ 645
  • ВМедА 611
  • ВолгГТУ 235
  • ВНУ им. Даля 166
  • ВЗФЭИ 245
  • ВятГСХА 101
  • ВятГГУ 139
  • ВятГУ 559
  • ГГДСК 171
  • ГомГМК 501
  • ГГМУ 1966
  • ГГТУ им. Сухого 4467
  • ГГУ им. Скорины 1590
  • ГМА им. Макарова 299
  • ДГПУ 159
  • ДальГАУ 279
  • ДВГГУ 134
  • ДВГМУ 408
  • ДВГТУ 936
  • ДВГУПС 305
  • ДВФУ 949
  • ДонГТУ 498
  • ДИТМ МНТУ 109
  • ИвГМА 488
  • ИГХТУ 131
  • ИжГТУ 145
  • КемГППК 171
  • КемГУ 508
  • КГМТУ 270
  • КировАТ 147
  • КГКСЭП 407
  • КГТА им. Дегтярева 174
  • КнАГТУ 2910
  • КрасГАУ 345
  • КрасГМУ 629
  • КГПУ им. Астафьева 133
  • КГТУ (СФУ) 567
  • КГТЭИ (СФУ) 112
  • КПК №2 177
  • КубГТУ 138
  • КубГУ 109
  • КузГПА 182
  • КузГТУ 789
  • МГТУ им. Носова 369
  • МГЭУ им. Сахарова 232
  • МГЭК 249
  • МГПУ 165
  • МАИ 144
  • МАДИ 151
  • МГИУ 1179
  • МГОУ 121
  • МГСУ 331
  • МГУ 273
  • МГУКИ 101
  • МГУПИ 225
  • МГУПС (МИИТ) 637
  • МГУТУ 122
  • МТУСИ 179
  • ХАИ 656
  • ТПУ 455
  • НИУ МЭИ 640
  • НМСУ «Горный» 1701
  • ХПИ 1534
  • НТУУ «КПИ» 213
  • НУК им. Макарова 543
  • НВ 1001
  • НГАВТ 362
  • НГАУ 411
  • НГАСУ 817
  • НГМУ 665
  • НГПУ 214
  • НГТУ 4610
  • НГУ 1993
  • НГУЭУ 499
  • НИИ 201
  • ОмГТУ 302
  • ОмГУПС 230
  • СПбПК №4 115
  • ПГУПС 2489
  • ПГПУ им. Короленко 296
  • ПНТУ им. Кондратюка 120
  • РАНХиГС 190
  • РОАТ МИИТ 608
  • РТА 245
  • РГГМУ 117
  • РГПУ им. Герцена 123
  • РГППУ 142
  • РГСУ 162
  • «МАТИ» — РГТУ 121
  • РГУНиГ 260
  • РЭУ им. Плеханова 123
  • РГАТУ им. Соловьёва 219
  • РязГМУ 125
  • РГРТУ 666
  • СамГТУ 131
  • СПбГАСУ 315
  • ИНЖЭКОН 328
  • СПбГИПСР 136
  • СПбГЛТУ им. Кирова 227
  • СПбГМТУ 143
  • СПбГПМУ 146
  • СПбГПУ 1599
  • СПбГТИ (ТУ) 293
  • СПбГТУРП 236
  • СПбГУ 578
  • ГУАП 524
  • СПбГУНиПТ 291
  • СПбГУПТД 438
  • СПбГУСЭ 226
  • СПбГУТ 194
  • СПГУТД 151
  • СПбГУЭФ 145
  • СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 379
  • ПИМаш 247
  • НИУ ИТМО 531
  • СГТУ им. Гагарина 114
  • СахГУ 278
  • СЗТУ 484
  • СибАГС 249
  • СибГАУ 462
  • СибГИУ 1654
  • СибГТУ 946
  • СГУПС 1473
  • СибГУТИ 2083
  • СибУПК 377
  • СФУ 2424
  • СНАУ 567
  • СумГУ 768
  • ТРТУ 149
  • ТОГУ 551
  • ТГЭУ 325
  • ТГУ (Томск) 276
  • ТГПУ 181
  • ТулГУ 553
  • УкрГАЖТ 234
  • УлГТУ 536
  • УИПКПРО 123
  • УрГПУ 195
  • УГТУ-УПИ 758
  • УГНТУ 570
  • УГТУ 134
  • ХГАЭП 138
  • ХГАФК 110
  • ХНАГХ 407
  • ХНУВД 512
  • ХНУ им. Каразина 305
  • ХНУРЭ 325
  • ХНЭУ 495
  • ЦПУ 157
  • ЧитГУ 220
  • ЮУрГУ 309
Читайте также  Как устанавливать моды в stalker

Полный список ВУЗов

  • О проекте
  • Реклама на сайте
  • Правообладателям
  • Правила
  • Обратная связь

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Как построить параболоид

Гиперболоидную форму конструкций ввёл в архитектуру В. Г. Шухов (патент Российской Империи № 1896; от 12 марта 1899 года, заявленный В. Г. Шуховым 11.01.1896). Первая в мире стальная сетчатая башня в форме гиперболоида вращения была построена Шуховым для крупнейшей дореволюционной Всероссийской промышленной и художественной выставки в Нижнем Новгороде, проходившей с 28 мая (9 июня) по 1 (13) октября 1896 года.

Однополостный гиперболоид вращения первой башни Шухова образован 80 прямыми стальными профилями, концы которых крепятся к кольцевым основаниям. Сетчатая стальная оболочка из ромбовидно пересекающихся профилей упрочнена 8 параллельными стальными кольцами, расположенными между основаниями. Высота гиперболоидной оболочки башни — 25,2 метра (без учёта высот фундамента, резервуара и надстройки для обозрения).

Диаметр нижнего кольцевого основания — 10,9 метра, верхнего — 4,2 метра. Максимальный диаметр бака — 6,5 метра, высота — 4,8 метра. От уровня земли из центра основания башни до уровня дна резервуара поднимается красивая стальная винтовая лестница. В центральной части бак имеет цилиндический проход с прямой лестницей, ведущей на смотровую площадку на верхней поверхности резервуара.

Над смотровой площадкой на баке сделана гиперболоидная надстройка с прямой лёгкой лестницей, ведущей на более высокую малую смотровую площадку. Гиперболоидная надстройка смонтирована из 8 прямых профилей, упирающихся в кольцевые основания, между которыми расположено ещё одно упрочняющее кольцо. Верхняя площадка в 1896 году имела деревянный настил и ограждение (не сохранились до настоящего времени). Общая высота башни составляет 37 метров. Все стальные элементы конструкции башни соединены заклёпками.

После выставки первая башня Шухова была перенесена в имение мецената Ю. С. Нечаева-Мальцова в село Полибино Данковского района Липецкой области. Башня сохранилась до нашего времени, является памятником архитектуры, охраняется государством. Первая в мире гиперболоидная конструкция страдает от коррозии и нуждается в реставрации.

В начале 20-го века многие боевые корабли, в основном в США, строились с ажурными гиперболоидными мачтами.

Такое решение объясняется необходимостью размещения большого объёма наблюдательных и дальномерных приборов на большой высоте от палубы, меньшей уязвимостью в бою и амортизацией ударов от отдачи собственных, очень мощных, орудий.

Дальнейшей модификацией идеи сетчатых гиперболоидных конструкций стала конструкция радиобашни на Шаболовке в Москве, построенной Шуховым в 1919—1922 гг. Первоначальный проект высотой 350 м из-за дефицита металла был заменен на 150-метровый вариант, который эксплуатируется и поныне. В течение своей жизни Шухов построил более двухсот гиперболоидных башен различного назначения.

Гиперболоидные конструкции впоследствии строили многие великие архитекторы: Гауди, Ле Корбюзье, Оскар Нимейер.

Гиперболоидные шуховские башни востребованы и в настоящее время. В 1963 году в порту города Кобе в Японии по проекту компании Nikken Sekkei (недоступная ссылка) была построена 108-метровая гиперболоидная шуховская башня (Kobe Port Tower).

А в 1968 году в Чехии по проекту архитектора Карела Хубачека была построена гиперболидная башня «Йештед» высотой 100 метров. В 2003 году была построена гиперболоидная башня Шухова в Цюрихе. Авторы башни — архитекторы Даниэль Рот и Александр Ком (Daniel Roth, Alexander Kohm). Идеи гиперболоидных конструкций башен Шухова известный архитектор Михаил Посохин предложил использовать при проектировании новых небоскрёбов в деловом центре «Москва-Сити».

600-метровая гиперболоидная сетчатая шуховская башня построена в 2010 году в Гуанчжоу в Китае компанией Arup. На 2017 год это вторая по высоте башня в мире.

Гиперболоид

В математике гиперболоид — это вид поверхности второго порядка в трёхмерном пространстве, задаваемый в декартовых координатах уравнением

где a и b — действительные полуоси, а c — мнимая полуось;

где a и b — мнимые полуоси, а c — действительная полуось.

Если a = b, то такая поверхность называется гиперболоидом вращения. Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением гиперболы вокруг её мнимой оси, двуполостный — вокруг действительной. Двуполостный гиперболоид вращения также является геометрическим местом точек P, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек A и B постоянен: | AP — BP | = const

В этом случае A и B называются фокусами гиперболоида.

Однополостный гиперболоид является дважды линейчатой поверхностью; если он является гиперболоидом вращения, то он может быть получен вращением прямой вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней.

В сечении однополостного гиперболоида плоскостью можно получить кривую любого эксцентриситета (e) от нуля до бесконечности.

Параболоид

Параболо́ид ― тип поверхности второго порядка в трёхмерном евклидовом пространстве.

Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.

Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах:

где t и u — действительные числа не равные нулю одновременно.

если t и u одного знака, то параболоид называется эллиптическим, частный случай эллиптического параболоида t = u в этом случае поверхность принято называть параболоидом вращения;
Далее, если t и u разного знака, то параболоид называется гиперболическим;
если один из коэффициентов равен нулю, то параболоид называется параболическим цилиндром.
Cечения параболоида вертикальными (параллельными оси z) плоскостями произвольного положения — параболы.

Сечения параболоида горизонтальными плоскостями, параллельными плоскости x y для эллиптического параболоида — эллипсы, для параболоида вращения эти пересечения — окружности, когда такое пересечение существует.

Пересечения для гиперболического параболоида — гиперболы.

В частных случаях пересечения, сечением может оказаться прямая или пара прямых (для гиперболического параболоида или пара параллельных прямых для параболического цилиндра) или вырождаться в одну точку (для эллиптического параболоида).

Материал из Википедии — свободной энциклопедии.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: