Как определить степень многочлена

Многочлен, его стандартный вид, степень и коэффициенты членов

После изучения одночленов переходим к многочленам. Данная статья расскажет о всех необходимых сведениях, необходимых для выполнения действий над ними. Мы определим многочлен с сопутствующими определениями члена многочлена, то есть свободный и подобный, рассмотрим многочлен стандартного вида, введем степень и научимся ее находить, поработаем с его коэффициентами.

Многочлен и его члены – определения и примеры

Определение многочлена было дано еще в 7 классе после изучения одночленов. Рассмотрим его полное определение.

Многочленом считается сумма одночленов, причем сам одночлен – это частный случай многочлена.

Из определения следует, что примеры многочленов могут быть различными: 5 , , − 1 , x , 5 · a · b 3 , x 2 · 0 , 6 · x · ( − 2 ) · y 12 , — 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z и так далее. Из определения имеем, что 1 + x , a 2 + b 2 и выражение x 2 — 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5 , 2 · y · x являются многочленами.

Рассмотрим еще определения.

Членами многочлена называются его составляющие одночлены.

Рассмотрим такой пример, где имеем многочлен 3 · x 4 − 2 · x · y + 3 − y 3 , состоящий из 4 членов: 3 · x 4 , − 2 · x · y , 3 и − y 3 . Такой одночлен можно считать многочленом, который состоит из одного члена.

Многочлены, которые имеют в своем составе 2 , 3 трехчлена имеют соответственное название – двучлен и трехчлен.

Отсюда следует, что выражение вида x + y – является двучленом, а выражение 2 · x 3 · q − q · x · x + 7 · b – трехчленом.

По школьной программе работали с линейным двучленом вида a · x + b , где а и b являются некоторыми числами, а х – переменной. Рассмотрим примеры линейных двучленов вида: x + 1 , x · 7 , 2 − 4 с примерами квадратных трехчленов x 2 + 3 · x − 5 и 2 5 · x 2 — 3 x + 11 .

Для преобразования и решения необходимо находить и приводить подобные слагаемые. Например, многочлен вида 1 + 5 · x − 3 + y + 2 · x имеет подобные слагаемые 1 и — 3 , 5 х и 2 х . Их подразделяют в особую группу под названием подобных членов многочлена.

Подобные члены многочлена – это подобные слагаемые, находящиеся в многочлене.

В примере, приведенном выше, имеем, что 1 и — 3 , 5 х и 2 х являются подобными членами многочлена или подобными слагаемыми. Для того, что бы упростить выражение, применяют нахождение и приведение подобных слагаемых.

Многочлен стандартного вида

У всех одночленов и многочленов имеются свои определенные названия.

Многочленом стандартного вида называют многочлен, у которого каждый входящий в него член имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.

Из определения видно, что возможно приведение многочленов стандартного вида, например, 3 · x 2 − x · y + 1 и __formula__, причем запись в стандартном виде. Выражения 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z и 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z многочленами стандартного вида не является, так как первый из них имеет подобные слагаемые в виде 3 · x 2 и − x 2 , а второй содержит одночлен вида x · y 3 · x · z 2 , отличающийся от стандартного многочлена.

Если того требуют обстоятельства, иногда многочлен приводится к стандартному виду. Многочленом стандартного вида считается и понятие свободного члена многочлена.

Свободным членом многочлена является многочлен стандартного вида, не имеющий буквенной части.

Иначе говоря, когда запись многочлена в стандартном виде имеет число, его называют свободным членом. Тогда число 5 является свободным членом многочлена x 2 · z + 5 , а многочлен 7 · a + 4 · a · b + b 3 свободного члена не имеет.

Степень многочлена – как ее найти?

Определение самой степени многочлена базируется на определении многочлена стандартного вида и на степенях одночленов, которые являются его составляющими.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в его запись.

Рассмотрим на примере. Степень многочлена 5 · x 3 − 4 равняется 3 , потому как одночлены, входящие в его состав, имеют степени 3 и 0 , а большее из них 3 соответственно. Определение степени из многочлена 4 · x 2 · y 3 − 5 · x 4 · y + 6 · x равняется наибольшему из чисел, то есть 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 и 1 , значит 5 .

Следует выяснить, каким образом находится сама степень.

Степень многочлена произвольного числа — это степень соответствующего ему многочлена в стандартном виде.

Когда многочлен записан не в стандартном виде, но нужно найти его степень, необходимо приведение к стандартному, после чего находить искомую степень.

Найти степень многочлена 3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 .

Для начала представим многочлен в стандартном виде. Получим выражение вида:

3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 = = ( 3 · a 12 − 2 · a 12 − a 12 ) − 2 · ( a · a ) · ( b · b ) · ( c · c ) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

При получении многочлена стандартного вида получаем, что отчетливо выделяются два из них − 2 · a 2 · b 2 · c 2 и y 2 · z 2 . Для нахождения степеней посчитаем и получим, что 2 + 2 + 2 = 6 и 2 + 2 = 4 . Видно, что наибольшая из них равняется 6 . Из определения следует, что именно 6 является степенью многочлена − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , следовательно и исходного значения.

Коэффициенты членов многочлена

Когда все члены многочлена являются одночленами стандартного вида, то в таком случаем они имеют название коэффициентов членов многочлена. Иначе говоря, их можно называть коэффициентами многочлена.

При рассмотрении примера видно, что многочлен вида 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 имеет в своем составе 4 многочлена: 2 · x , − 0 , 5 · x · y , 3 · x и 7 с соответствующими их коэффициентами 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 . Значит, 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 считаются коэффициентами членов заданного многочлена вида 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 . При преобразовании важно обращать внимание на коэффициенты, стоящие перед переменными.

Многочлен стандартного вида

О чем эта статья:

Определение многочлена

Многочлен — это сумма одночленов. Получается, что многочлен — не что иное, как несколько одночленов, собранных «под одной крышей».

Одночлен — это частный случай многочлена.

Рассмотрим примеры многочленов:

  • 15x + 7x 4ab — b + 3

Если многочлен состоит из двух одночленов, его называют двучленом:

  • 10x – 3×2
  • 10x — одночлен
  • – 3×2 — одночлен

Многочлен — это сумма одночленов, поэтому знак «минус» относится к числовому коэффициенту одночлена. Именно поэтому мы записываем – 3×2, а не просто 3×2.

Этот же многочлен можно записать вот так:

  • 10x – 3×2 = 10x – 3 x = 10 x + (-3x).

Это значит, что каждый одночлен важно рассматривать вместе со знаком, который перед ним стоит.

Многочлен вида 10x – 3×2 + 7 называется трехчленом.

Линейный двучлен — это многочлен первой степени: ax + b. a и b здесь — некоторые числа, x — переменная.

Если разделить многочлен с переменной x на линейный двучлен x – b (где b — некоторое положительное или отрицательное число) — остаток будет только многочленом нулевой степени. То есть некоторым числом N, которое можно определить без поиска частного.

Если многочлен содержит обычное число — это число является свободным членом многочлена.

  • Например, в многочлене 6a + 2b -x + 2 число 2 — свободный член.

Свободный член многочлена не имеет буквенной части. Кроме того, любое числовое выражение — это многочлен. Например, вот такие числовые выражения — тоже многочлены:

  • 16 + 13 (7 — 2) * 9 (25 + 25) : 5

Такие выражения состоят из свободных членов.

Многочлен стандартного вида

Недостаточно просто знать, что такое многочлен и что такое одночлен. Это целая алгебраическая экосистема, где у всего есть названия, определения и особенности.

Давайте разберемся, что такое многочлен стандартного вида. Многочленом стандартного вида называют многочлен, каждый член которого имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.

Получается, что всякий многочлен можно привести к стандартному виду. Таким образом можно получить многочлен, работать с которым гораздо проще и приятнее.

К стандартному виду многочлен приводится очень просто. Нужно лишь привести в нем подобные слагаемые.

Подобные слагаемые — это подобные члены многочлена. Приведение подобных слагаемых в многочлене — приведение его подобных членов. Тут же возникает резонный вопрос: Что такое подобные члены многочлена? Это члены с одинаковой буквенной частью.

Давайте разберем на примере, как «нестандартный» многочлен приводится к стандартному виду.

Дан красавец многочлен: 3x + 5xy2 + x – xy2

Приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:

  • 3x и x — подобные слагаемые.
  • 5xy2 и – xy2 — подобные слагаемые.

Получаем многочлен вот такого вида: 3x + 5xy2 + x – xy2 = 4x + 4xy2 .

Как видите, в получившемся многочлене нет подобных членов. Такой многочлен — это многочлен стандартного вида.

Степень многочлена

Многочлен может иметь степень — имеет на это полное право.

Степень многочлена стандартного вида — это наибольшая из степеней, входящих в него одночленов.

Из определения можно сделать вывод, что степень многочлена возможно определить только после приведения его к стандартному виду.

  1. Приводим многочлен к стандартному виду.
  2. Выбираем одночлен с наибольшей степенью.

Рассмотрим на примере:

Дан многочлен 6x + 4xy2 + x + xy2

Сначала приводим многочлен к стандартному виду — для этого приводим подобные слагаемые:

  • 6x и x — подобные слагаемые
  • 4xy2 и xy2 — подобные слагаемые

Получаем многочлен стандартного вида 6x + 4xy2 + x + xy2 = 7x + 5xy2.

  • Степень первого одночлена (7x) — 1.
  • Степень второго одночлена (5xy2) — 2.
  • Наибольшая из двух степеней — 2.
Читайте также  Как рассчитать коэффициент дисконтирования

Отсюда делаем вывод, что многочлен 7x + 5xy2 — многочлен второй степени.

Кроме того, можно сделать вывод, что и исходный многочлен 6x + 4xy2 + x + xy2 — многочлен второй степени, поскольку оба многочлена равны друг другу.

В некоторых случаях необходимо сначала привести к стандартному виду одночлены многочлена, а затем уже и сам многочлен.

Пример:

Дан многочлен 6xx3 + 5xx2 — 3xx3 — 3x2x

Приведем его к стандартному виду: 6xx3 + 5xx2 — 3xx3 — 3x2x = 6×4 + 5×3 — 3×4 — 3×3

Получившийся многочлен без труда приводим к стандартному виду. Приводим подобные слагаемые:

  • 5×3 и -3×3 — подобные слагаемые.
  • 6×4 и -3×4 — подобные слагаемые.
  • 6×4 + 3×3 — 3×4 — 3×3 = 3×4 — 2×3
  • 6xx3 + 5xx2 — 3xx3 — 3x2x — многочлен четвертой степени.

Коэффициенты многочлена

Коэффициенты членов многочлена — это числа, которые указаны перед переменными множителями. Если перед переменной нет числа, то коэффициент этого члена = 1.

Иными словами — коэффициенты членов многочлена — это члены многочлена, представленные в виде стандартных одночленов.

Например:

Дан многочлен 2x + 5x — 18y

Все одночлены имеют стандартный вид. 2, 5 и 18 — коэффициенты членов данного многочлена.

Кажется, со стандартным видом многочлена все понятно. Чтобы без труда приводить любой многочлен к стандартному виду, нужно потренироваться, ведь в 7 классе только и разговоров, что о многочленах. Давайте разберем несколько примеров. Попробуйте решить их самостоятельно, сверяясь с ответами.

Задание раз. Приведите многочлен к стандартному виду и определите его степень: 4x + 6xy2 + x – xy2.

Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:

  • 4x и x — подобные слагаемые.
  • 6xy2 и – xy2 — подобные слагаемые.

Получаем многочлен стандартного вида: 4x + 6xy2 + x – xy2 = 5x + 5xy2.

Ответ: стандартный вид многочлена 5x + 5xy2. Данный многочлен — многочлен второй степени.

Задание два. Приведите многочлен к стандартному виду: 2x2y3 — xy3 – x4 – x2y3 + xy3 + 2×4.

Как решаем: сначала необходимо привести все одночлены к стандартному виду: 2x2y3 — xy3 – x4 – x2y3 + xy3 + 2×4 = ( – x4 2×4) + (2x2y3 — xy3 ) + ( — xy3 +xy3 ) = x4 + x2y3 + 0 = x4 + x2y3.

Многочлен приведен к стандартному виду.

Задание три. Приведите многочлен к стандартному виду и определите его степень: 8x + 8xy2 — x + xy2.

Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:

  • 8x и -x — подобные слагаемые.
  • 8xy2 и xy2 — подобные слагаемые.

Получаем многочлен стандартного вида: 8x + 8xy2 — x + xy2 = 7x + 9xy2 .

Ответ: стандартный вид многочлена 7x + 9xy2 , данный многочлен — многочлен второй степени.

Разобраться в многочленах не так-то просто. В этой теме немало нюансов и подводных камней. Чтобы не запутаться в множестве похожих одно на другое определений, побольше практикуйтесь. Чтобы перейти на следующую ступень и начать выполнение арифметических действий с многочленами, важно научиться приводить многочлен к стандартному виду.

Многочлен, его стандартный вид, степень и коэффициенты членов.

От изучения одночленов переходим к знакомству с еще одним видом выражений — многочленами. В этой статье мы изложим все начальные и необходимые сведения о многочленах. К ним, во-первых, относится определение многочлена с сопутствующими определениями членов многочлена, в частности, свободного члена и подобных членов. Во-вторых, остановимся на многочленах стандартного вида, дадим соответствующее определение и приведем их примеры. Наконец, введем определение степени многочлена, разберемся, как ее найти, и скажем про коэффициенты членов многочлена.

Навигация по странице.

  • Многочлен и его члены – определения и примеры.
  • Многочлен стандартного вида.
  • Степень многочлена – как ее найти?
  • Коэффициенты членов многочлена.

Многочлен и его члены – определения и примеры

В 7 классе многочлены изучаются сразу после одночленов, это и понятно, так как определение многочлена дается через одночлены. Дадим это определение, объясняющее что такое многочлен.

Многочлен – это сумма одночленов; одночлен считается частным случаем многочлена.

Записанное определение позволяет привести сколько угодно примеров многочленов. Любой из одночленов 5 , 0 , −1 , x , 5·a·b 3 , x 2 ·0,6·x·(−2)·y 12 , и т.п. является многочленом. Также по определению 1+x , a 2 +b 2 и — это многочлены.

Для удобства описания многочленов вводится определение члена многочлена.

Члены многочлена – это составляющие многочлен одночлены.

Например, многочлен 3·x 4 −2·x·y+3−y 3 состоит из четырех членов: 3·x 4 , −2·x·y , 3 и −y 3 . Одночлен считается многочленом, состоящим из одного члена.

Многочлены, которые состоят из двух и трех членов, имеют специальные названия – двучлен и трехчлен соответственно.

Так x+y – это двучлен, а 2·x 3 ·q−q·x·x+7·b – трехчлен.

В школе наиболее часто приходится работать с линейным двучленом a·x+b , где a и b – некоторые числа, а x – переменная, а также с квадратным трехчленом a·x 2 +b·x+c , где a , b и c – некоторые числа, а x – переменная. Вот примеры линейных двучленов: x+1 , x·7,2−4 , а вот примеры квадратных трехчленов: x 2 +3·x−5 и .

Многочлены в своей записи могут иметь подобные слагаемые. Например, в многочлене 1+5·x−3+y+2·x подобными слагаемыми являются 1 и −3 , а также 5·x и 2·x . Они имеют свое особое название – подобные члены многочлена.

Подобными членами многочлена называются подобные слагаемые в многочлене.

В предыдущем примере 1 и −3 , как и пара 5·x и 2·x , являются подобными членами многочлена. В многочленах, имеющих подобные члены, можно для упрощения их вида выполнять приведение подобных членов.

Многочлен стандартного вида

Для многочленов, как и для одночленов, существует так называемый стандартный вид. Озвучим соответствующее определение.

Многочлен стандартного вида – это многочлен, каждый член которого является одночленом стандартного вида и который не содержит подобных членов.

Исходя из данного определения, можно привести примеры многочленов стандартного вида. Так многочлены 3·x 2 −x·y+1 и записаны в стандартном виде. А выражения 5+3·x 2 −x 2 +2·x·z и x+x·y 3 ·x·z 2 +3·z не являются многочленами стандартного вида, так как в первом из них содержатся подобные члены 3·x 2 и −x 2 , а во втором – одночлен x·y 3 ·x·z 2 , вид которого отличен от стандартного.

Заметим, что при необходимости всегда можно привести многочлен к стандартному виду.

К многочленам стандартного вида относится еще одно понятие – понятие свободного члена многочлена.

Свободным членом многочлена называют член многочлена стандартного вида без буквенной части.

Иными словами, если в записи многочлена стандартного вида есть число, то его называют свободным членом. Например, 5 – это свободный член многочлена x 2 ·z+5 , а многочлен 7·a+4·a·b+b 3 не имеет свободного члена.

Степень многочлена – как ее найти?

Еще одним важным сопутствующим определением является определение степени многочлена. Сначала определим степень многочлена стандартного вида, это определение базируется на степенях одночленов, находящихся в его составе.

Степень многочлена стандартного вида – это наибольшая из степеней входящих в его запись одночленов.

Приведем примеры. Степень многочлена 5·x 3 −4 равна 3 , так как входящие в его состав одночлены 5·x 3 и −4 имеют степени 3 и 0 соответственно, наибольшее из этих чисел есть 3 , оно и является степенью многочлена по определению. А степень многочлена 4·x 2 ·y 3 −5·x 4 ·y+6·x равна наибольшему из чисел 2+3=5 , 4+1=5 и 1 , то есть, 5 .

Теперь выясним, как найти степень многочлена произвольного вида.

Степенью многочлена произвольного вида называют степень соответствующего ему многочлена стандартного вида.

Итак, если многочлен записан не в стандартном виде, и требуется найти его степень, то нужно привести исходный многочлен к стандартному виду, и найти степень полученного многочлена – она и будет искомой. Рассмотрим решение примера.

Найдите степень многочлена 3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12 .

Сначала нужно представить многочлен в стандартном виде:
3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12 = =(3·a 12 −2·a 12 −a 12 )− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2 .

В полученный многочлен стандартного вида входят два одночлена −2·a 2 ·b 2 ·c 2 и y 2 ·z 2 . Найдем их степени: 2+2+2=6 и 2+2=4 . Очевидно, наибольшая из этих степеней равна 6 , она по определению является степенью многочлена стандартного вида −2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2 , а значит, и степенью исходного многочлена.

Коэффициенты членов многочлена

Пусть все члены многочлена являются одночленами стандартного вида. Коэффициенты одночленов в этом случае называют коэффициентами членов многочлена. Часто можно слышать, что коэффициенты членов многочлена называют коэффициентами многочлена.

Приведем пример. Рассмотрим многочлен 2·x−0,5·x·y+3·x+7 . Он состоит из четырех одночленов 2·x , −0,5·x·y , 3·x и 7 , их коэффициенты равны 2 , −0,5 , 3 и 7 соответственно. Таким образом, 2 , −0,5 , 3 и 7 – это коэффициенты членов 2·x , −0,5·x·y , 3·x и 7 многочлена 2·x−0,5·x·y+3·x+7 .

25. Многочлен и его стандартный вид

Выражение 4х 2 у — 5ху + Зх — 1 представляет собой сумму одночленов 4х 2 у, -5xy, Зх и -1. Такие выражения называют многочле нами.

Одночлены, из которых составлен многочлен, называют члена ми многочлена. Так, членами многочлена 4х 2 у — 5ху + Зх — 1 являются одночлены 4х 2 у, -5ху, Зх и -1.

Читайте также  Как разобрать слово на звуки

В многочлене 5а 2 b + 2 + 4аb 2 — 3а 2 b — 7 члены 5а 2 b и -3а 2 b являются подобными слагаемыми, так как они имеют одну и ту же буквенную часть. Подобными слагаемыми являются и члены 2 и -7, не имеющие буквенной части. Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене — приведением подобных членов многочлена.

Пример 1. Приведём подобные члены в многочлене

5а 2 b + 2 + 4аb 2 — За 2 b — 7.

Решение: Имеем

5а 2 b + 2 + 4ab 2 — 3а 2 b — 7 = (5а 2 b — 3a 2 b) + 4аb 2 + (2 — 7) =
= 2а 2 b + 4аb 2 — 5.

Каждый член многочлена 2а 2 b + 4аb 2 — 5 является одночленом стандартного вида, и этот многочлен не содержит подобных членов. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида.

Членами многочлена стандартного вида 8ху + 6х 2 у 3 — 9 служат одночлены второй, пятой и нулевой степеней. Наибольшую из этих степеней называют степенью многочлена. Таким образом, многочлен 8ху + 6х 2 у 3 — 9 является многочленом пятой степени.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Пример 2. Определим степень многочлена За 4 + 8ab — 2а 4 — а 4 + 5b.

Решение: Для этого приведём его к стандартному виду:

За 4 + 8ab — 2а 4 — а 4 + 5b = 2a 4 + 5b.

Степень многочлена 8ab + 5b равна двум, поэтому степень многочлена За 4 + 8ab — 2а 4 — а 4 + 5b также равна двум.

Упражнения

  1. Назовите каждый член многочлена:


Приведите подобные члены многочлена:


Из данных многочленов выберите многочлен, тождественно равный выражению За 2 + 6. 2


Представьте в стандартном виде многочлен:


Запишите в стандартном виде многочлен:


Найдите значение многочлена:


Найдите значение многочлена:

  • Найдите значение многочлена 2х 2 + 1 при х = 0; -2; 3; -4. Существует ли такое значение х, при котором значение многочлена равно нулю? отрицательно?
  • Докажите, что многочлен х 2 + у 2 + 1 при любых значениях х и у принимает положительные значения.
  • Запишите в виде многочлена число, состоящее из:

    а) а десятков и 6 единиц;
    б) а сотен, 6 десятков и с единиц.
    Расположите члены многочлена по убывающим степеням переменной:


    Расположите члены многочлена по возрастающим степеням переменной:


    Какова степень многочлена:


    Используя калькулятор, найдите значение многочлена:

    1) Проверьте верность этого утверждения для разности:

    а) 2555 — 2;
    б) 7111-7;
    в) 8999 — 8;
    г) 9666 — 9.

    2) Проведите доказательство высказанного утверждения.
    Решите уравнение:


    Вычислите:


    При каком значении аргумента функция у = 0,01x принимает значение, равное:

    Многочлены. Действия с многочленами.

    теория по математике 📈 алгебраические выражения

    Многочлен – это сумма одночленов. Одночлены, которые составляют многочлен, называют членами данного многочлена. Если многочлены состоят из двух или трех слагаемых, то их можно называть двучленами или трехчленами соответственно.

    Пример №1.

    • –12х 6 + 35с данный многочлен состоит из двух слагаемых – одночленов, та ки х как: –12х 6 и 35с. Еще такой многочлен можно называть двучленом.
    • 47с 2 +11с–34 данный многочлен состоит из трех слагаемых. Такой многочлен можно назвать трехчленом.
    • 4х 3 +13а 2 –45с+28 данный многочлен состоит из четырех слагаемых – одночленов, та ки х как: 4х 3 ; 13а 2 ; – 45с; 28.

    Стандартный вид многочлена

    Многочлен называется приведенным к стандартному вид у, если он не имеет подобных слагаемых, и каждый его член имеет также стандартный вид .

    Вспомним, что слагаемые, содержащие одинаковую буквенную часть или не имеющие буквенной части называют подобными. Если та ки е слагаемые есть, то их нужно сложить или вычесть, это действие называют приведением подобных слагаемых.

    13х 2 –6х+ 11х 2

    Данный трехчлен имеет подобные слагаемые (они выделены). Они имеют одинаковые зна ки , поэтому мы их складываем и по лу чаем 24х 2 . Слагаемое –6х не имеет подобных, поэтому его просто переписываем и по лу чаем многочлен в стандартном вид е:

    13х 2 –6х+11х 2 =24х 2 –6х

    6а 3 с 4 + 32х –9а 3 с 4 + 45х –16

    Данный многочлен имеет две группы подобных слагаемых, одна выделена красным цветом, вторая синим цветом, слагаемое –16 не имеет подобных, поэтому его просто перепишем. Приводим подобные слагаемые и по лу чаем многочлен стандартного вид а:

    6а 3 с 4 + 32х –9а 3 с 4 + 45х –16= –3а 3 с 4 +77х–16

    Степень многочлена

    Степенью многочлена стандартного вид а называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. При этом многочлен должен быть записан в стандартном вид е. Рассмотрим на примерах, как определить степени многочленов.

    4с 6 +7а 9 –18х

    Степень многочлена, записанного в стандартном вид е, равна 9, так как одночлен 7а 9 имеет степень равную 9 и она наибольшая по сравнению со степенями одночленов 4с 6 и –18х. Пример №5.

    13х 4 у 7 +12х 3 у 6 –13

    степень данного многочлена стандартного вид а находим по наибольшей степени каждого одночлена: одночлен 13х 4 у 7 имеет 11 степень, так как складываем показатели 4 и 7; одночлен 12х 3 у 6 имеет соответственно 9 степень, а –13 имеет степень равную нулю (не содержит переменных). Та ки м образом, по лу чается, что наибольшая степень равна 11, значит и степень всего многочлена равна 11.

    6а 5 +8ас+2а 5 –11ас

    Данный многочлен не является многочленом стандартного вид а, поэтому сначала приведем подобные слагаемые, по лу чим 6а 5 +8ас+2а 5 –11ас=8а 5 –3ас. Теперь найдем степень у каждого одночлена: у 8а 5 пятая степень, у 3ас – вторая (каждая переменная имеет первую степень). Значит, у многочлена 6а 5 +8ас+2а 5 –11ас степень равна 5.

    Сложение и вычитание многочленов

    Многочлены можно как складывать, так и вычитать. То есть сумму или разность многочленов можно представить в вид е многочлена стандартного вид а. Рассмотрим на примерах сложение и вычитание многочленов.

    Пример №7. Выполним сложение многочленов:

    6х 2 +8х–11 и –9х 2 +3х+19

    Сначала составим их сумму (6х 2 +8х–11) + (–9х 2 +3х+19), теперь раскроем скоб ки , помня о том, что, если перед скобками стоит знак «плюс», то зна ки у слагаемых в скобках не изменяются:

    6х 2 +8х–11–9х 2 +3х+19

    Теперь приведем подобные слагаемые и по лу чим многочлен стандартного вид а:

    Пример №8. Выполним вычитание многочленов:

    7х 5 +12х 3 –24 и 2х 5 +36х 3 –11

    Составим разность многочленов (7х 5 +12х 3 – 24) – (2х 5 +36х 3 –11), раскроем скоб ки , помня о том, что, если перед скобками стоит «минус», то надо изменить зна ки у слагаемых в скобках на противоположные:

    7х 5 +12х 3 – 24 – 2х 5 –36х 3 +11

    Приведем подобные слагаемые и по лу чим многочлен:

    Умножение одночлена на многочлен

    Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена.

    Пример №9. Умножим одночлен 7х на многочлен 6х 2 +3х–5. Запишем в вид е произведения:

    выполним умножение 7х на каждое слагаемое в скобках: 7х•6х 2 +7х•3х–7х•(–5) и по лу чим:

    42х 3 +21х 2 +35х

    Запись данного выражения можно делать кор оче, выполняя промежуточные действия устно:

    7х•(6х 2 +3х–5)= 42х 3 +21х 2 +35х

    92с(–2с+10а 6 )= –184с 2 +920са 6

    Здесь выполнение умножения одночлена на многочлен выполнено без записи промежуточных действий умножения.

    Умножение многочлена на многочлен

    Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

    Пример №11. Умножим многочлен (а+с) на многочлен (х+с).

    Составим произведение (а+с)(х+с); умножим сначала а на (х+с), затем с на (х+с); по лу чим:

    По лу чили многочлен в стандартном вид е. Здесь были даны простые многочлены, не содержащие степеней. Запись выражения выглядит так:

    Пример №12. Умножим многочлен 8х 3 –12х на многочлен 3х 5 –10х. Имеем:

    (8х 3 –12х)(3х 5 –10х)=8х 3 •3х 5 +8х 3 •(–10х)–12х•3х 5 –12х•(–10х)=24х 8 –80х 4 –36х 6 +120х 2

    Здесь были даны многочлены, содержащие степень, поэтому промежуточное решение лу чше расписывать, чтобы не допустить ошибок.

    Разложение многочлена на множители

    Существуют та ки е способы для разложения многочлена на множители, как вынесение общего множителя за скоб ки и разложение на множители способом группиров ки .

    Способ №1. Вынесение общего множителя за скоб ки .

    Вынесение общего множителя за скоб ки – это представление многочлена в вид е произведения одночлена и многочлена.

    Пример №13. Вынесем общий множитель в выражении 6х 4 – 20х 2 . Для этого удобнее сначала найти наибольший общий делитель у чисел – это число 2, а затем общий делитель у переменных, которые одинаковы по своей буквенной части, но имеют разные показатели степени. В этом с лу чае общим делителем является переменная в наименьшей степени, то есть х 2 . Запись выглядит следующим образом:

    6х 4 – 20х 2 =2х 2 (3х 2 –10)

    При вынесении за скоб ки степеней помним правило, что при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаем, а основание оставляем прежним.

    Пример №14. Разложим на множители многочлен:

    12с 5 х 7 –36с 6 х 2 +72асх 3

    Найдем сначала наибольший делитель для чисел 12, 36 и 72, это будет 12. Затем выберем у переменных те, которые имеют наименьшую степень и содержатся в каждом слагаемом, это с и х 2 . Вынесем за скоб ки 12сх 2 и по лу чим:

    Читайте также  Как установить драйверы на ноутбук HP

    12с 5 х 7 –36с 6 х 2 +72асх 3 =12сх 2 (с 4 х 5 –3с 5 +6ах)

    Сделаем вывод, что вынесение общего множителя за скоб ки – это выполнение действия деления каждого члена многочлена на его общий делитель.

    Способ №2. Способ группиров ки .

    Чтобы выполнить разложение на множители способом группиров ки необходимо следовать определенному алгоритму (ключевое слово в данном способе – группировка). Группировка слагаемых выполняется та ки м образом, чтобы в каждой группе можно было выполнить вынесение общего множителя за скоб ки , а в скобках оставались одинаковые выражения, это обычно определяется устно.

    Пример №15. Разложим на множители многочлен:

    Сгруппируем, например, слагаемые первое с последним, а второе с третьим (можно было первое с третьим, а второе с последним):

    Теперь вид им, что в каждой группе есть множитель, который можно вынести за скоб ки :

    В по лу ченном выражении вид но, что в обеих скобках есть сумма х и d, вынесем эту сумму снова за скоб ки :

    Та ки м образом, мы по лу чили произведение двух выражений, то есть разложили данный многочлен на множители.

    Пример №16. Разложим на множители многочлен:

    Сгруппируем по порядку, чтобы зна ки у слагаемых в скобках были одинаковые:

    Вынесем общий множитель в каждой группе:

    Вынесем за скоб ки одинаковые выражения:

    Пример №17. Разложим на множители многочлен:

    Сгруппируем по порядку, обращая внимание на знак перед х 2 :

    х 5 –х 3 –х 2 +1 =(х 5 –х 3 )–(х 2 –1)

    Если перед первым слагаемым, которое мы заключаем в скоб ки , стоит знак «минус», то мы ставим его перед скобкой, а зна ки у слагаемых в скобках изменяем на противоположные. Тогда у нас в обеих скобках по лу чатся одинаковые зна ки .

    Выносим за скоб ки общий множитель. В данном с лу чае он есть только в первых скобках:

    х 5 –х 3 –х 2 +1 =(х 5 –х 3 )–(х 2 –1)= х 3 (х 2 –1)–(х 2 –1)

    Выносим за скоб ки одинаковые выражения, обращая внимание на то, что перед второй скобкой не записан общий множитель, значит, он равен 1:

    х 5 –х 3 –х 2 +1 =(х 5 –х 3 )–(х 2 –1)= х 3 (х 2 –1)–(х 2 –1)=(х 2 –1)(х 3 –1)

    Алгебра. 7 класс

    Конспект урока

    Многочлены стандартного вида

    Перечень рассматриваемых вопросов:

    • Алгебраические выражения.
    • Многочлен.
    • Степень многочлена.
    • Стандартный вид многочлена.

    Многочлен стандартного вида – это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.

    Многочлен, состоящий из двух членов, называется двучленом.

    Многочлен, состоящий из трёх членов, называется трёхчленом.

    Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, входящих в этот многочлен.

    Основная литература:

    1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

    Дополнительная литература:

    1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

    2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

    3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

    Теоретический материал для самостоятельного изучения.

    «Единственный путь, ведущий к знанию, – это деятельность», – сказал однажды ирландский драматург Джордж Бернард Шоу.

    Сегодня наша деятельность будет заключаться в том, чтобы привести многочлен к стандартному виду.

    Начнём с того, что вспомним, что такое многочлен.

    Многочлен – это сумма одночленов.

    Многочлен стандартного вида – это многочлен, каждый член которого является одночленом стандартного вида и который не содержит подобных членов.

    Например, так могут выглядеть многочлены, приведённые к стандартному виду:

    12a 2 bc 3 + ху 4 + 1,2ср 8 (трёхчлен)

    2,5ас – 3к 2 х 5 (двучлен)

    В них каждый член многочлена записан в стандартном виде, и ему нет подобных.

    Стоит отметить, что многочлены могут иметь свои названия.

    Например, многочлен, состоящий из двух членов, называется двучленом, из трёх членов – трёхчленом и т.д.

    А так могут выглядеть многочлены нестандартного вида:

    2abаc 3 + хху 4 + 1,2ср 8

    2,5аса – 3к 2 х 5 к + 16

    В этом случае некоторые члены многочленов находятся не в стандартном виде.

    Рассмотрим правило приведения многочлена к стандартному виду:

    1)каждый член многочлена нужно привести к стандартному виду;

    2)привести подобные члены.

    Пример:

    Приведите к стандартному виду многочлен:

    Следуя 1 пункту правила, приведём все члены многочлена к стандартному виду, но в данном задании все члены уже записаны в стандартном виде, т.е. вначале стоит число, а затем буквы в алфавитном порядке.

    Следуя 2 пункту правила, приведём подобные члены. В данном многочлене они есть, выделим их.

    В результате преобразования получается многочлен, записанный в стандартном виде.

    Следуя данному правилу, любой многочлен можно привести к стандартному виду.

    Рассмотрим ещё одно подобное задание.

    Приведём к стандартному виду многочлен:

    Решение: 3ab + 7c 2 –3ab – 7сс = 3ab + 7c 2 – 3ab7с 2 = 0

    Следуя 1 пункту правила, приведём все члены многочлена к стандартному виду, в задании один член записан не в стандартном виде.

    Следуя 2 пункту правила, приведём подобные члены. В многочлене они есть, выделим их.

    В результате преобразования получается многочлен, записанный в стандартном виде, равный нулю. Такие многочлены называются нулевыми.

    Введём ещё одно понятие, связанное с многочленами в стандартном виде – это степень многочлена.

    Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, входящих в этот многочлен.

    12a 2 bc 3 + 7кх – многочлен 6 степени,

    2а 7 — 4к + 3 – многочлен 7 степени,

    у данных многочленов степень соответственно шесть и семь. Т. к. у первого многочлена степени одночленов 6 и 2. А у второго многочлена степени одночленов 7, 1, 0. Выбираем большую степень и получаем степень многочлена.

    Про первый многочлен говорят, что это многочлен шестой степени.

    А про второй многочлен можно сказать – многочлен седьмой степени.

    Если при выполнении заданий встретится многочлен с одинаковыми степенями слагаемых, например:

    а + с

    говорят, «это многочлен первой степени относительно а и с».

    Стоит отметить, что, если все члены многочлена стандартного вида содержат одну и ту же букву, их принято располагать в многочлене от большей степени к меньшей, при этом свободный член ставится на последнее место.

    Например, так будет выглядеть запись многочлена в стандартном виде:

    2а 3 + 3а 2 – 6а + 12.

    Итак, сегодня мы получили представление о том, как приводить многочлен в стандартный вид.

    Это интересно!

    Мы уже знаем, что многочлен – это сумма одночленов, которые, в свою очередь, представляют собой произведение числовых и буквенных множителей.

    Самое интересное заключается в том, что многочлены иногда имеют специфические названия. Например, многочлен, состоящий из одного одночлена, можно назвать моном. Мономом можно назвать такие многочлены: 7 или а.

    Если многочлен состоит из двух слагаемых, т.е. двух одночленов, то мы знаем, что это двучлен, но его ещё можно назвать бином, например, 12а + 5 – есть бином.

    Если многочлен состоит из трёх слагаемых, т.е. трёх одночленов, то мы знаем, что это трёхчлен, но его ещё можно назвать трином, например, 12а 2 + а + 5.

    Если слагаемых в многочлене больше трёх, то говорят просто – многочлен.

    Кстати, при записи многочлен обозначают буквой «Р», от греческого слова «poly» – «многий», «многочисленный», поэтому многочлены в математике называют также полиномами.

    Разбор заданий тренировочного модуля.

    1. Найдите степень многочлена 5ах + 2а

    Решение: сначала нужно посмотреть степень каждого члена многочлена.

    У одночлена 5ах степень 2

    У одночлена 2а степень 1. Так как наибольшая степень 2, то она и будет являться степенью данного многочлена.

    2) Выберите и подставьте вместо * такой одночлен, чтобы многочлен получился 5 степени

    7x 4 + 12x 3 – 3x 2 + 1 + *

    Для начала нужно определить исходные степени всех членов многочлена.

    У одночлена 7x 4 степень 4.

    У одночлена 12x 3 степень 3.

    У одночлена – 3x 2 степень 2.

    У одночлена 1 степень 0. Следовательно, в данном случае нет одночлена со степенью 5. Посмотрим варианты ответа и выберем ответ с нужной нам степенью 5.

    У одночлена 5х степень 1

    У одночлена 2асх степень 3

    У одночлена а 2 ск 2 степень 5. Это и есть верный ответ.

  • Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: