Как найти сторону через синус

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Как найти сторону через синус

Будем говорить, что данные компоненты (стороны, углы и др.) определяют фигуру однозначно, если другая фигура с такими же компонентами обязательно равна исходной. Например, для треугольника две стороны и угол между ними, сторона и два прилежащих к ней угла или три стороны по признакам равенства треугольников определяют всякий треугольник однозначно. Возможны и другие случаи однозначного определения треугольника: равнобедренный треугольник с данными основанием и опущенной на него высотой, треугольник с данными тремя медианами, треугольник с данными тремя высотами и т.п. Очень важно при решении планиметрической задачи определить однозначно фигуру и далее найти те ее неизвестные компоненты, которые необходимы для продолжения хода решения задачи.

Для нахождения неизвестных сторон и углов однозначно определенного треугольника обычно используют теоремы синусов и косинусов.
@

Теорема синусов ,

где R – радиус описанной около треугольника окружности. Теорема косинусов

, т.е.
.

Оказывается, что при определении угла треугольника лучше находить его косинус, чем синус. Это связано с тем, что синус не различает смежные углы: Косинус различает все углы от 0 до p , причем для острых углов он положителен, для прямого угла – равен нулю и для тупого угла – отрицателен, а также: .

Следующий пример иллюстрирует применение теоремы синусов и косинусов для нахождения неизвестных сторон и углов некоторых однозначно определенных треугольников. Выполнить самостоятельно.

Пример 6.2.1.

а)
Дано: a, b, c .
Найти: a , b, g .
Дано: a, b, g.
Найти: c, a, b .
Ответ: а) , , g = p — a — b;

@ Как правило, при решении треугольников сначала стремятся определить три стороны, а затем находят необходимые компоненты. При известных трех сторонах треугольника для более точного изображения эскиза чертежа необходимо уметь определять вид треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный).

Из формулы, следующей из теоремы косинусов, примененной к наибольшему углу, учитывая знак косинуса, можно получить соотношения между квадратами сторон, позволяющие определить вид треугольника.

Если cos a , то , т.е. ,

если cos a > 0 , то , т.е. ,

если cos a = 0 , то , т.е. .

Следовательно, треугольник, у которого c – наибольшая сторона, будет тупоугольный, если ; остроугольный, если , и прямоугольный, если .

Упражнение 6 .2.2.

По длинам трех сторон определить вид треугольника:

а) 5; 3; 4 ; б) 12; 5; 13 ; в) 3; 2; 4 ; г) 7; 8; 6 ; д) 7; 2; 3 .

Указание : известно, что против большей стороны в треугольнике лежит больший угол, и обратно. Косинус большего угла можно найти по формуле, следующей из теоремы косинусов.

Ответ: а) и б) прямоугольные, в) тупоугольный, г) остроугольный, д) не существует.

В связи с упражнением 6.2.2. д) следует отметить довольно часто применяемое при решении геометрических задач так называемое неравенство треугольника : @ из трех отрезков можно составить треугольник тогда и только тогда, когда сумма длин меньших из них больше длины большего .

Ещё используется другой вариант формулировки неравенства треугольника: для любых трех точек A, B и C имеем ч AB — BC чЈ AC Ј AB+BC ; причем правое неравенство обращается в равенство лишь в случае, когда точка B лежит на отрезке AC ; а левое неравенство обращается в равенство лишь в случае, когда точки A,B и C лежат на одной прямой и точка B не лежит внутри отрезка AC .

Теперь приведем примеры решения некоторых заданий вступительных экзаменов в КубГУ.

Пример 6.2.3. (КубГУ, матем., 1993 г .)

На основании AC треугольника ABC , как на диаметре построена окружность, которая пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найти радиус окружности, если AB = a, И AM = a , И CN = b . Решение

Из равнобедренного треугольника AOM находим Р A = (p — a) / 2 , а из равнобедренного треугольника CON находим Р С = (p — b) / 2 , поэтому Р B = p — Р A — Р С = (a + b) / 2 .

Смысл нахождения углов A и B заключается в том, что в треугольнике ABC мы будем знать сторону AB = a и два прилежащих к ней угла, т.е. D ABC определен однозначно. Осталось найти неизвестную сторону AC как и в примере 6.2.1 в): и . Откуда радиус окружности равен .
Ответ: .

Пример 6.2.4. (КубГУ, матем., 1979 г.)

В треугольник ABC вписана окружность. Точки D, E, F – точки касания сторон AB, BC, CA соответственно. Определить площадь треугольника ABC , если AB = a, BC = b, Р DEF = 60° .

Это задание интересно тем, что D ABC согласно рассуждениям ниже будет определен неоднозначно. Тем не менее, с такими компонентами может существовать не более двух различных треугольников! Решение

Пусть O – центр вписанной окружности. Так как вписанный угол DEF равен 60° , то центральный угол DOF равен 120° . Сумма углов в четырехугольнике ADOF равна 360° . Итак, мы о треугольнике ABC знаем его две стороны AB = a, BC = b , а также угол A (не между ними!).

Далее стремимся найти третью сторону AC . Полагая AC = x , по теореме косинусов имеем и . Откуда . Тогда площадь треугольника ABC находим по формуле .
Ответ неоднозначен!

Ответ: .

Замечание . Желательно при решении предыдущей задачи не ограничиваться указанным ответом.

Так, если , (т.е. ), то задача вообще не имеет решения.

Если же или b > a , (т.е. или ), то задача имеет единственное решение: .

И только лишь в случае, когда (т.е. ), мы получаем ранее указанный двузначный ответ.

Теперь для иллюстрации применения неравенства треугольника приведем решение одного несложного задания устных экзаменов на математический факультет КубГУ.

Доказать, что сумма двух медиан треугольника меньше его периметра. Доказательство

По неравенству треугольника из D ABF и D ACF имеем AF и AF , т.е. 2AF .

Откуда, аналогично из D ABD и D CBD , получим 2 BD , а значит 2AF + 2 BD и AF + BD , что и требовалось доказать.

Упражнение 6.2.6.

Доказать, что в любом треугольнике ABC для любой точки D , лежащей внутри него или на его стороне, длина отрезка AD меньше полупериметра треугольника ABC .

Указание : используйте рассуждения, подобные приведенным в начале доказательства предыдущего задания.

В заключение этого параграфа приведем три типовые задачи, в решении которых главную роль играет теорема косинусов.

Теорема синусов

О чем эта статья:

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Формула теоремы синусов:

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Из этой формулы мы получаем два соотношения:



На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:


  • bc sinα = ca sinβ
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Как найти стороны прямоугольного треугольника

    Онлайн калькулятор

    Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

    • для гипотенузы (с):
      • длины катетов a и b
      • длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
      • длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
    • для катета:
      • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
      • длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
      • длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
      • длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
      • длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

    Введите их в соответствующие поля и получите результат.

    Найти гипотенузу (c)

    Найти гипотенузу по двум катетам

    Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

    Формула

    следовательно: c = √ a² + b²

    Пример

    Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:

    c = √ 3² + 4² = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 см

    Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

    Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

    Формула
    Пример

    Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:

    c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см

    Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

    Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

    Формула
    Пример

    Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:

    c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см

    Найти гипотенузу по двум углам

    Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.

    Найти катет

    Найти катет по гипотенузе и катету

    Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?

    Формула
    Пример

    Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:

    a = √ 5² — 4² = √ 25 — 16 = √ 9 = 3 см

    Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

    Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?

    Формула
    Пример

    Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:

    b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см

    Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

    Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?

    Формула
    Пример

    Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:

    a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см

    Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

    Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?

    Формула
    Пример

    Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:

    b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см

    Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

    Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?

    Формула
    Пример

    Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

    Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы

    Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.

    Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

    Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

    Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

    Определения тригонометрических функций

    Синус угла ( sin α ) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

    Косинус угла ( cos α ) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

    Тангенс угла ( t g α ) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

    Котангенс угла ( c t g α ) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

    Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

    В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

    Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

    Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

    Угол поворота

    Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от — ∞ до + ∞ .

    В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

    Начальная точка A с координатами ( 1 , 0 ) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A 1 . Определение дается через координаты точки A 1 ( x , y ).

    Синус (sin) угла поворота

    Синус угла поворота α — это ордината точки A 1 ( x , y ). sin α = y

    Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A 1 ( x , y ). cos α = х

    Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A 1 ( x , y ) к ее абсциссе. t g α = y x

    Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A 1 ( x , y ) к ее ординате. c t g α = x y

    Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой ( 0 , 1 ) и ( 0 , — 1 ). В таких случаях выражение для тангенса t g α = y x просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

    Синус и косинус определены для любых углов α .

    Тангенс определен для всех углов, кроме α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z )

    Котангенс определен для всех углов, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z )

    При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

    Числа

    Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

    Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

    Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

    Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

    Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

    Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

    Начальная точка на окружности — точка A c координатами ( 1 , 0 ).

    Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

    Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

    Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

    Синус (sin) числа t

    Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t = y

    Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t = x

    Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. t g t = y x = sin t cos t

    Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

    Тригонометрические функции углового и числового аргумента

    Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).

    Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

    Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

    Основные функции тригонометрии

    Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

    Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

    Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

    Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

    Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A ( 1 , 0 ) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A 1 ( x , y ) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A 1 O H равен углу поворота α , длина катета O H равна абсциссе точки A 1 ( x , y ) . Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A 1 ( x , y ) , а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.

    В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

    sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

    Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α , при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

    Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

    Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

    Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

    Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

    Содержание страницы:

    • Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
    • Тригонометрический круг
    • Основное тригонометрическое тождество
    • Таблица значений тригонометрических функций
    • Градусы и радианы
    • Формулы приведения
    • Теорема синусов
    • Расширенная теорема синусов
    • Теорема косинусов
    • Тригонометрические уравнения (10-11 класс)
    • Примеры решений заданий из ОГЭ

    Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

    Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

    Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

    sin α = Противолежащий катет гипотенуза

    Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

    cos α = Прилежащий катет гипотенуза

    Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

    tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

    Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

    ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

    Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:

    sin ∠ A = C B A B

    cos ∠ A = A C A B

    tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

    ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

    sin ∠ B = A C A B

    cos ∠ B = B C A B

    tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

    ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

    Тригонометрия: Тригонометрический круг

    Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

    Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

    Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

    На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

    Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

    Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .

    Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .

    Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

    cos α = O B O A = O B 1 = O B

    sin α = A B O A = A B 1 = A B

    Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

    Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

    Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

    Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .

    Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .

    Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .

    Ещё одно замечание.

    Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

    Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .

    Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .

    Основное тригонометрическое тождество

    sin 2 α + cos 2 α = 1

    Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

    A B 2 + O B 2 = O A 2

    sin 2 α + cos 2 α = R 2

    sin 2 α + cos 2 α = 1

    Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

    Тригонометрия: градусы и радианы

    Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

    Тригонометрия: Формулы приведения

    Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

    можно заметить, что:

    sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

    sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

    sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

    sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

    cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

    cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

    cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

    cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

    Рассмотрим тупой угол β :

    Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

    sin ( 180 ° − α ) = sin α

    cos ( 180 ° − α ) = − cos α

    tg ( 180 ° − α ) = − tg α

    ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

    Тригонометрия: Теорема синусов

    В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

    a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

    Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

    Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

    a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

    Тригонометрия: Теорема косинусов

    Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

    a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

    b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

    c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

    Примеры решений заданий из ОГЭ

    Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

    Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

    Это тема 10-11 классов.

    Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

    Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: