Как найти синус угла в равнобедренном треугольнике

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

Содержание:

  1. Свойства равнобедренного треугольника.
  2. Признаки равнобедренного треугольника.
  3. Формулы равнобедренного треугольника:
    • формулы длины стороны;
    • формулы длины равных сторон;
    • формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

АВ = ВС — боковые стороны

Свойства равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.

Боковые стороны равны АВ = ВС,

Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.

Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника

  • Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
  • Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
  • Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Доказательство теоремы:

  • Дан Δ ABC.
  • Из точки В проведем высоту BD.
  • Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD.Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны (теорема Пифагора).
  • Прямые АС и BD называются перпендикуляром.
  • В Δ ABDи ΔBCD∠ BАD = ∠ BСD(из Теоремы 1).
  • АВ = ВС — боковые стороны равны.
  • Стороны АD = СD, т.к. точка Dотрезок делит пополам.
  • Следовательно Δ ABD =ΔBCD.
  • Биссектриса, высота и медиана это один отрезок — BD

Вывод:

  1. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
  2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
  3. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

  • Теорема 5. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство теоремы:

Доказательство от противного.

  • Пусть треугольники не равны (а то треугольники были равны по первому признаку).
  • Пусть Δ A1B1C2 = Δ ABC, у которого вершина C2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C1 относительно прямой A1B1. По предположению вершины C1 и C2 не совпадают. Пусть D – середина отрезка C1C2. Δ A1C1C2 и Δ B1C1C2 – равнобедренные с общим основанием C1C2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой C1C2. A1D и B1D имеют разные точки A1 и B1, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C1C2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.
  • Отсюда пришли к противоречию и теорему доказали.

Признаки равнобедренного треугольника

  1. Если в треугольнике два угла равны.
  2. Сумма углов треугольника 180°.
  3. Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой.
  4. Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой.
  5. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой.

Формулы равнобедренного треугольника

Формулы сторон равнобедренного треугольника

  • b — сторона (основание)
  • а — равные стороны
  • a — углы при основании
  • b — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания — b):

  • b = 2a sin( beta /2)= a sqrt
  • b = 2a cos alpha

Формулы длины равных сторон(а):

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

  • L — высота=биссектриса=медиана
  • b — сторона (основание)
  • а — равные стороны
  • a — углы при основании
  • b — угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

  • L = a sina
  • L = frac < b >< 2 >*tgalpha
  • L = a sqrt < (1 + cos beta)/2 >=a cos (beta)/2)

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

Площадь равнобедренного треугольника

  • b — сторона (основание)
  • а — равные стороны
  • h — высота

Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):

Теорема синусов

О чем эта статья:

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Формула теоремы синусов:

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Из этой формулы мы получаем два соотношения:



На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:


  • bc sinα = ca sinβ
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Читайте также  Как в 13 лет выглядеть на 18

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Равнобедренные треугольники

    Равнобедренный треугольник — это такой треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми. Третья сторона называется основанием.

    1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

    2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

    3. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

    4. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

    5. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые.

    6. В равнобедренном треугольнике:

    — биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны;

    — высоты, проведенные из вершин при основании, равны;

    — медианы, проведенные из вершин при основании, равны.

    7. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане, проведенных к основанию.

    8. Вписанная окружность точкой касания делит основание пополам.

    Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.

    Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

    $∠BCD$ — внешний угол треугольника $АВС$.

    В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

    Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

    В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$.

    Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

    Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

    1. Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
    2. Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
    3. Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
    4. Котангенсом ($ctg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

    В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

    1. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
    2. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
    3. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

    $cos BOA= — cos BOC;$

    $ctg BOA= — ctg BOC.$

    В треугольнике $ABC$ $AB=BC, AH$ — высота, $AC=34, cos ∠BAC=0.15$. Найдите $CH$.

    Так как треугольник $АВС$ равнобедренный, то $∠A=∠С$ (как углы при основании)

    Косинусы равных углов равны, следовательно, $cos∠BAC=cos∠ВСА=0.15$

    Рассмотрим прямоугольный треугольник $АНС$.

    Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

    Распишем косинус $∠НСА$ (он же $∠ВСА$) по определению:

    Из последнего равенства найдем $НС$, для этого $0.15$ представим в виде обыкновенной дроби и воспользуемся свойством пропорции:

    Теорема Менелая:

    Если на сторонах $ВС, АВ$ и продолжении стороны $АС$ треугольника $АВС$ за точку $С$ отмечены соответственно $А_1,С_1,В_1$, лежащие на одной прямой, то

    Теорема синусов.

    Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

    В треугольнике $АВС$ $ВС=16, sin∠A=<4>/<5>$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.

    Воспользуемся теоремой синусов:

    Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности

    Далее подставим числовые данные и найдем $R$

    Теорема косинусов.

    Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

    Начальные сведения о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе

    Определения

    Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего к этому углу катета к гипотенузе: (sin alpha=dfrac ac)

    Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе: (cos alpha=dfrac bc)

    Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего к этому углу катета к прилежащему катету: (mathrm,alpha=dfrac ab)

    Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему катету: (mathrm,alpha=dfrac ba)

    Утверждение

    Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы равных углов соответственно равны.

    Теорема

    Из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса вытекают следующие формулы:

    Утверждение

    В прямоугольном треугольнике (ABC) с прямым углом (angle C) :

    (sin angle A=cos angle B)

    Доказательство

    Утверждение следует непосредственно из определения синуса и косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике.

    Теорема

    Для углов (30^circ, 45^circ, 60^circ) верна следующая таблица:

    [ <|c|c|c|c|>hline & phantom<000>30^circ phantom <000>& phantom <000>45^circ phantom <000>& phantom <000>60^circ phantom <000>\[2pt] hline &&&\ sin &frac12&frac2&frac2\[4pt] cos &frac2&frac2&frac12\[4pt] mathrm &frac3&1&sqrt3\[4pt] mathrm&sqrt3&1&frac3\[4pt] hline end>>]

    Доказательство

    1) Рассмотрим прямоугольный треугольник (ABC) : (angle C=90^circ, angle A=60^circ, angle B=30^circ) .

    На стороне (BC) построим равный ему треугольник (A’BC) , как показано на рисунке.

    Полученный треугольник (A’BA) является правильным, т.к. (angle A’=angle A=angle A’BA=60^circ) .
    Следовательно, (A’A=2b=AB=c) , откуда (b=dfrac12c) .

    Читайте также  Как вставить pdf в pdf

    Тогда по теореме Пифагора (a^2+b^2=c^2 Rightarrow a=dfrac2c) .

    Теперь по определению (sin angle A=sin 60^circ =dfrac ac=dfrac2)

    Т.к. по предыдущему утверждению (sin angle A=cos angle B) , то (cos 30^circ =dfrac2) .

    2) Рассмотрим прямоугольный треугольник (ABC) : (angle C=90^circ, angle A=45^circ, angle B=45^circ) .

    Этот треугольник равнобедренный, следовательно, (BC=AC=a) .

    Тогда по теореме Пифагора (a^2+a^2=c^2 Rightarrow a=dfrac2c) .

    Следовательно, (sin angle A=cosangle A=sinangle B=cos angle B=dfrac2) .

    Из определения следует, что (mathrm,45^circ=mathrm,45^circ=1) .

    Замечание

    Для простоты запоминания таблицы можно записать ее в следующем виде:

    То есть для синуса и косинуса число выглядит как (dfrac>>2) , где у синуса под корнем пишется (1, 2, 3) , у косинуса – наоборот.

    Теорема

    Справедливы следующие формулы приведения:

    [begin sin(180^circ-alpha)&=sinalpha\ cos(180^circ-alpha)&=-cosalpha\ mathrm,(180^circ-alpha)&=-mathrm,alpha\ mathrm,(180^circ-alpha)&=-mathrm,alpha end]

    Таким образом, если (alpha) – острый угол, то с помощью этих формул можно найти синус, косинус, тангенс или котангенс тупого угла, смежного с (alpha) .

    Пример

    Учащиеся, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике и при этом рассчитывают на получение конкурентных баллов по итогам его прохождения, непременно должны повторить теорию о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе. Как показывает практика, задания по данной тематике ежегодно встречаются в аттестационном испытании. Таким образом, если одним из ваших слабых мест являются формулы и теоремы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, рекомендуем освежить в памяти базовую теорию. В этом вам поможет образовательный портал «Школково». В соответствующем разделе представлена теория о синусах, косинусах, тангенсах и котангенсах, которая позволит вам подготовиться к сдаче экзамена. Весь базовый материал составлен нашими специалистами на основе многолетнего опыта и представлен в максимально доступной форме. Ознакомившись с теорией, выпускник сможет грамотно объяснять решение задач ЕГЭ на синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы. В этом состоит половина успеха при прохождении аттестационного испытания.

    Для того чтобы учащиеся из Москвы или другого населенного пункта России, посетившие наш ресурс, смогли легко и качественно подготовиться к ЕГЭ, мы не только в понятной форме изложили теорию косинусов, синусов, тангенсов и котангенсов, но и подобрали соответствующие упражнения. Для каждого из них наши специалисты прописали подробный алгоритм решения и правильный ответ. Выполняя такие задачи при подготовке к ЕГЭ по математике, выпускники смогут лучше закрепить изученную теорию синусов и косинусов в треугольнике. Выбрать простые и более сложные упражнения вы можете в разделе «Каталог».

    Изучив теорию о синусах, косинусах, тангенсах и котангенсах и попрактиковавшись в решении задач по данной теме при подготовке к ЕГЭ, учащиеся имеют возможность сохранить любое задание в «Избранное», чтобы при необходимости обсудить его с преподавателем.

    Теория и практика по треугольникам (Часть Ⅱ)

    Площадь треугольников.

    Тригонометрия в прямоугольных треугольниках.

    Что такое синус/косинус.

    Таблицы Брадиса. Как пользоваться.

    Теорема синусов и косинусов.

    Геометрия — это искусство хорошо рассуждать на плохо выполненных чертежах.

    С основными свойствами разобрались, теперь рассмотрим формулы и их приминение.

    Площадь произвольного треугольника

    Нет, это не кривая пентаграмма, нужны на этом рисунке только обозначения. Рассмотрим формулы школьной программы.

    Высоту умножаем на ту сторону, на которую приходит высота:
    В эту формулу подставляем угол между сторонами a и b:

    Удобно использовать эту формулу, когда известны все стороны треугольника, p — полупериметр (половина суммы длин всех сторон):

    Данная формула отлично помогает найти радиус вписанной окружности для любого треугольника, если известна площадь:

    А эта формула помогает найти радиус описанной окружности для любого треугольника:

    А зачем такое количество формул? К каждой задаче будут предоставлять разное дано, удобно знать и применять все формулы, чтобы максимально быстро решать задачи.

    Полезные формулы для прямоугольного и равностороннего треугольника:

    В данном случае получается, что один катет «b» — высота треугольника, а катет «а» — основание.

    Эту формулу можно вывести большим количеством способов, самый простой через формулу №2

    Задача №1. Дано на рисунке:

    Оттолкнемся от вопроса: нужно найти площадь. Помимо 5 формул для произвольного треугольника, нам подойдет формула нахождения площади через полупроизведение катетов.

    Вариантов здесь много (можно через т. Пифагора), но самый быстрый — найти ∠А = 180°− 90° − 60° = 30°, тогда площадь найдем по (2) формуле: S = ½absinα

    Ответ: 60

    Задача №2. Дано на рисунке:

    Снова оттолкнемся от вопроса: нужно найти площадь. Дан обычный треугольник, значит, наш выбор ограничен первыми 5−ью формулами. В первой нужна высота, во второй угол, а в третьей полупериметр, но мы же знаем все стороны! Для начала найдем периметр и полупериметр:

    Теперь можно подставить все числа в формулу площади:

    Главное — правильно определиться с формулой.

    Задача №3. Дано на рисунке:

    В ΔABH: ∠A = 180°− 90° − 45° = 45°, значит, ∠A = ∠B => BH = AH = 12.

    Тогда площадь можно найти по формуле (1) S=½bh. Высота AH = 12, основание AC = 16+12 = 28. => S = ½×12×28 = 168

    Задача №4. Дано на рисунке:

    Оттолкнемся от отношения, которое нам дано. Мы знаем, что сумма данных углов равна 90°, если ∠ACM = х и ∠ВCM = 2х, тогда 2х+х = 90°

    ∠ACM = х = 30° => ∠ВCM = 60°. А что у нас равно 4-ем? Да, медиана! А медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы (2−ое свойство). Тогда отметим равные углы:

    В ΔBCM получается ∠ВCM = ∠СВM = 60°, тогда ∠СМВ = 60° и ΔBCM — правильный:

    Площадь найдем по (2) формуле: S = ½absinα:

    Задача №5. Дано на рисунке:

    В дано есть только стороны, а найти нужно угол. Как это сделать? Вот стороны 14,2 и 7,1 во сколько раз отличаются? Да, в 2 раза, а значит угол ∠BAL = 30° (против угла в 30° лежит катет, который в два раза меньше гипотенузы).

    Значит, ∠A = 60° => ∠ACB = 180° − 90° − 60° = 30°, а ∠ACB — смежный с ∠ACV => ∠ACV = 180° − 30° = 150°.

    Что касается LC: внимательно рассмотрим ΔALC, можно даже лупой воспользоваться. Что видишь? ∠LAC = ∠ACL = 30° => ΔALC — равнобедренный, LC = AL = 14,2.

    Ответ: 14,2 и 150°

    Тригонометрия в прямоугольных треугольниках

    В прямоугольном треугольнике три стороны: 2 катета и гипотенуза.

    Катеты меньшие стороны треугольника. Гипотенуза большая сторона, которая лежит напротив угла в 90°.

    Относительно угла α:

    Катет, который составляет угол, называют прилежащим. Катет, который находится напротив угла, называют противолежащим. Логично? Замечательно!

    Тригонометрические функции (синус, косинус. ) задают связь между углом и длинами сторон.

    Но хорошо бы знать какие-то значения тригонометрических функций при определенных углах. Все значения вместе образуют таблицу Брадиса. С ее помощью можно вычислить почти любое значение тригонометрической функции при заданом угле. Но как с ней работать?

    Найдем sin(10°) . Для этого выберем столбец sin и в нем найдем 10°. Ближайшее значение — это то, что нам нужно — 0,1736.

    А что за столбец 0′; 6′; 12′ и т.д. Это минуты! Не те, которых мы ждем в конце урока, а градусные минуты.

    Читайте также  Как поменять термопасту на видеокарте

    Из общего: и те, и другие минуты измеряются в промежутке от 0 до 60.

    Градусные минуты делят один градус на 60 минут (1°=60′), нужны они для большей точности задания угла.

    p.s. Есть еще и градусные секунды, и в одной градусной минуте 60 градусных секунд, знакомо? 1° = 60′ = 3600».

    Семь десятых градуса нужно перевести в минуты. Можно через пропорцию:

    Теперь в таблице нужно найти 77°42′ для косинуса. Для синуса минуты прописаны, а для косинуса нет. Но мы же люди не гордые, сами напишем, но в обратном порядке. На пересечении 77° и 42′ получаем наше значение:

    Но чтобы не загромождать таблицу 0, его в начале пишут только в первых строчках, поэтому ответ cos(77,7°) = 0,213.

    В задачах же таким обилием углов похвастаться нельзя, достаточно знать значения для 30°; 45°; 60°; 90°.

    Искусство решать геометрические задачи чем-то напоминает трюки иллюзионистов — иногда,

    даже зная решение задачи, трудно понять, как можно было до него додуматься.

    Задача №6. Дано на рисунке:

    В этой задаче известен противолежащий катет относительно угла в 45°, а найти нужно гипотенузу. Смотрим, где у нас есть противполежащий катет и гипотенуза? Это синус!

    Смотрим в таблице, чему равен синус 45°, и подставляем в отношение:

    Задача №7. Дано на рисунке:

    Мы разобрались с тригонометрическими функциями в прямоугольных треугольниках, значит, и в этой задаче нужно перейти к прямоугольному треугольнику.

    В ΔLTK — равнобедренный : ∠L = ∠LKT = (180° − 120°)/2 = 30°

    Отлично, в прямоугольном ΔLVK: ∠L = 30° и известна гипотенуза, а нам нужно найти противолежащий катет, чем воспользуемся? Опять синусом!

    Теорема синусов и теорема косинусов

    Сразу возникает вопрос, а теорема тангенсов тоже есть? Конечно, есть, но она очень редко используется.

    Для любого треугольника можно записать такое соотношение, это будет теорема синусов:

    Запомни, что сторона относится к синусу противолежащего угла.

    Следствие из теорма синусов гласит, что любое соотношение равно двум радиусам описанной окружности:

    Для любого треугольника можно записать такое соотношение, это будет теорема косинусов:

    А что будет, если α = 90°, а cos(90) = 0? Получится:

    Теорема Пифагора, вот так просто можно запомнить теорему косинусов. Начать как теорему Пифагора, а затем вычесть удвоенное произведение на косинус угла между ними.

    Можно записать и для других сторон в этом же треугольнике:

    Задача №8. Дано на рисунке:

    Запишем теорему синусов для двух отношений:

    Выразим отсюда KT:

    ∠K = 180° − 60° − 45° = 75°. Чтобы найти синус угла 75°, советую посмотреть эту статью, нужно воспользовать формулой суммы синусов:

    Тогда представим 75° в виде двух табличных значений:

    Аналогично выразим LT:

    Ответ: 16,3 и 22,3

    Задача №9. Дано на рисунке:

    Найти нужно x и y. Запишем теорему косинусов для этого треугольника:

    Икс выразим через игрек:

    Отлично, поздравляю тебя с Elementary по геометрии!

    Что нужно знать:

    1. Вертикальные, смежные, соответственные, накрест лежащие углы.
    2. Равенство и подобие треугольников.
    3. Что такое медиана, биссектриса, высота.
    4. Свойства треугольников.
    5. Площадь треугольников.
    6. Синус/косинус в треугольнике.
    7. Теорему синусов и косинусов.

    Площадь равнобедренного треугольника — формулы вычисления

    Площадь равнобедренного треугольника важна для вычисления многих геометрических и математических задач. Например, определение площади любого многоугольника связано с его разделением на ряд треугольников и расчетом площади каждого из них.

    Геометрическое тело, обладающее двумя равными сторонами и углами – есть частный случай простого разностороннего многоугольника.

    Каждая из идентичных линий называется боковой, а третья – основанием.

    Если в таком треугольнике опустить среднюю линию из его вершины на 3-ю сторону, то образовавшиеся два плоских тела будут идентичны (так как имеют все признаки подобия).

    Площадь (S) фигуры с тремя углами возможно установить:

    по двум сторонам и высоте;

    через угол между двумя сторонами и величину одной из них;

    по двум сторонам;

    через синус противолежащего основанию угла;

    зная синус прилежащего угла и др.

    Площадь равнобедренного треугольника через высоту

    Вычисление площади треугольника с использованием его высоты и параметров основания – самый актуальный вариант, на базе которого строятся многие другие методы решения.

    У планиметрической фигуры с двумя тождественными углами и боковыми отрезками высота может рассматриваться, как медиана и биссектриса. То есть линия, проведенная из вершины, делит планиметрический объект на два эквивалентных прямоугольных треугольника.

    И общая их площадь сводится к:

    b — размер основания;

    Требуется рассчитать S тупоугольного равнобедренного многоугольника. Его h=3 см, а длина b = 8 см.

    Вычисления выглядят следующим образом:

    Площадь равнобедренного треугольника через стороны

    Найти S планиметрического тела с двумя одинаковыми чертами, зная их параметры, возможно.

    Для этого необходима теорема Пифагора, формулы которой видны на картинке,

    и формула для отыскания S через биссектрису S = ½ * b * h.

    После проведения медианы к середине 3-его отрезка, в равнобедренном треугольнике образуются 2 единообразных плоских тела с h между 2-мя катетами.

    Таким образом, используя свойство сторон прямоугольного треугольника, выводим формулу, которая показана на картинке:

    При высчитывание S равностороннего треугольника это выражение примет другой вид. Сравнить формулы нахождения площади равностороннего и равнобедренного треугольников можно, взглянув на картинку:

    У остроугольного равнобедренного треугольника даны габариты боковины b = 3 см и базиса a = 2 см. Надлежит найти его S:

    Площадь равнобедренного треугольника через синус угла

    В геометрии встречаются задания по отысканию площади многоугольника с тремя схожими краями через данный угол и длину прилегающей стороны.

    В этой ситуации определение размера h будет осуществляться с использованием угла, прилегающего к измеренной грани. Таким образом выводится выражение, которое хорошо иллюстрирует следующая картинка:

    Посмотрим на рисунок, приведенный выше. Известно, что ∠ACB фигуры 30 градусов, а величина его боковой стороны AC = AB равняется 4 см. Требуется вычислить её S.

    Формула площади равнобедренного треугольника через тангенс угла

    Как правило, в планиметрии нередко встречаются задания по нахождению S треугольника, в котором определено значение стороны и угол.

    Рисунок 1

    Разнообразные равенства для решения задач, в том числе и нахождения S через тангенс угла, можно увидеть ниже:

    Дан равнобедренный треугольник OPQ (см. рис. 1). Известны величины: основание OQ = 5 см и угол QOP = 45 0 . Требуется найти площадь треугольника OPQ.

    Прежде всего посмотрим, как найти нам требуемую величину и какую применить формулу. Остановим свой выбор на формуле нахождения площади S по тангенсу угла.

    Зная, что у нас равнобедренный треугольник, у которого углы у основания равны, найдем третий угол:

    180 — 45 — 45 = 90 0 — угол OPQ.

    SOPQ = 5 2 /4 * tg 45° = 25/4 * 1 = 6, 25 см 2

    Вот так, используя прежде всего знания о свойствах фигур, можно получать самые разнообразные способы вычисления той величины, какая требуется в задаче.

    Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: