Как найти середину вектора

51. Планиметрия Читать 0 мин.

51.143. Векторы

ОСИ КООРДИНАТ:

Для понимания темы «вектор», надо сначала разобраться с понятием «декартовы координаты».

  • ось x — ось абсцисс;
  • ось y — ось ординат,
  • точка О — начало координат.

Любой точке плоскости сопоставляются два числа:

Эти числа называются декартовыми координатами данной точки.

ВЕКТОР:

Вектор — направленный отрезок прямой. То есть это отрезок, для которого указано, какая из его точек является началом, а какая — концом.

Пусть имеются две точки:

  • A с координатами $(x_1;,y_1)$
  • B с координатами $(x_2;,y_2)$.

Тогда мы имеем вектор $,overline $, который обозначим за $overline a.$

На примере вектора рассмотрим основные понятия, связанные с векторами.

Во-первых, для каждого вектора можно найти его координаты и модуль.

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА И МОДУЛЬ ВЕКТОРА:

Координаты вектора — разности координат конца и начала вектора. На примере вектора $overline a$ его координатами будут: $(a_x;,a_y).$ Свойства координат вектора:

  • Координаты вектора не изменяются при параллельном переносе.
  • У равных векторов соответствующие координаты равны.

Нахождение координат вектора:

Координаты вектора $overline a;(a_x;,a_y)colon$

То есть, координаты вектора $overline acolon (x_2-x_1;,y_2-y_1;,z_2-z_1).$

Модуль вектора — длина вектора (обозначается ). Находится как квадратный корень из суммы квадратов координат вектора.

Если рассмотреть пространственный вектор, то в эти формулы добавляется третья координата — z.

Координаты вектора $overline a;(a_x;,a_y;,a_z)$:

$begin&a_x = x_2-x_1 \ &a_y = y_2-y_1 \ &a_z = z_2 — z_1end$

То есть, координаты вектора $overline acolon (x_2-x_1;,y_2-y_1;,z_2-z_1).$

Модуль вектора $overline acolon$

СЕРЕДИНА ВЕКТОРА:

Чтобы найти середину вектора по координатам нужно:

1. Вычислить сумму координат начала и конца вектора.

2. Разделить на два.

НА ПЛОСКОСТИ

В ПРОСТРАНСТВЕ

O — середина вектора $,overline $

ВИДЫ ВЕКТОРОВ:

Единичный вектор — вектор, длина которого равна 1.

Нулевой вектор — отдельные точки плоскости. У такого вектора конец и начало совпадают, а его длина (его модуль) равен нулю.

Коллинеарные и компланарные векторы

Коллинеарные векторы — векторы, которые параллельны одной прямой или которые лежат на одной прямой.

Два коллинеарных вектора $|overline a| и |b|$ называются сонаправленными только тогда, когда их направления соответствуют друг другу:

Компланарные векторы — векторы, которые параллельны одной плоскости или которые лежат на общей плоскости.

В любое мгновение существует плоскость одновременно параллельная двум любым векторам, поэтому два произвольных вектора являются компланарными.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ:

НА ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Координаты
вектора $overline $
Сложение векторов:
$overline =overline a + overline b$
$x$ $c_x = a_x + b_x$ $c_x = a_x + b_x$
$y$ $c_y = a_y + b_y$ $c_y = a_y + b_y$
$z$ $c_z = a_z + b_z$
Координаты
вектора $overline $
Вычитание векторов:
$overline =overline a — overline b$
$x$ $c_x = a_x — b_x$ $c_x = a_x — b_x$
$y$ $c_y = a_y — b_y$ $c_y = a_y — b_y$
$z$ $c_z = a_z — b_z$
Координаты
вектора $overline $
Умножение вектора на число:
$overline b = lambdaoverline a$
$x$ $overline b_x = lambda a_x$ $overline b_x = lambda a_x$
$y$ $overline b_y = lambda a_y$ $overline b_y = lambda a_y$
$z$ $overline b_z = lambda a_z$
Значение числа $s$ Скалярное умножение векторов:
$s = overline acdotoverline b$
$s=a_x!cdot b_x + a_y!cdot b_y$ $s=a_x!cdot b_x + a_y!cdot b_y + a_z!cdot b_z$

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ РАЗНОСТЬ ВЕКТОРОВ:

СЛОЖЕНИЕ

Сумма двух векторов находится с помощью правила треугольника или правила параллелограмма: $overline = overline a + overline b$.

$>\ Для любых трёх точек A,,B,,C справедливо соотношениеcolon overline+,overline=,overline!.$

$>\Разность двух векторов overline a и overline b;— это вектор overline , который в сумме с вектором overline b даёт вектор overline a \ overline b + overline = overline aquadRightarrowquadoverline = overline a — overline b$

$Вектор overline можно найти также, складывая с вектором overline a вектор bigl(-overline bbigr), противоположный вектору overline bcolon \ overline = overline a + bigl(-overline bbigr)$

Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения

В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.

Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок A B .

Если отрезок A B продолжить в обе стороны от точек A и B , мы получим прямую A B . Тогда отрезок A B – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B . Отрезок A B объединяет точки A и B , являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K , лежащую между точками A и B , можно сказать, что точка K лежит на отрезке A B .

Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка A B обозначим следующим образом: A B .

Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка A B обозначить точкой C , то верным будет равенство: A C = C B

И далее мы рассмотрим, как же определять координаты середины отрезка (точки C ) при заданных координатах концов отрезка ( A и B ), расположенных на координатной прямой или в прямоугольной системе координат.

Середина отрезка на координатной прямой

Исходные данные: координатная прямая O x и несовпадающие точки на ней: A и B . Этим точкам соответствуют действительные числа x A и x B . Точка C – середина отрезка A B : необходимо определить координату x C .

Поскольку точка C является серединой отрезка А В , верным будет являться равенство: | А С | = | С В | . Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т.е.

| А С | = | С В | ⇔ x C — x A = x B — x C

Тогда возможно два равенства: x C — x A = x B — x C и x C — x A = — ( x B — x C )

Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C : x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка).

Из второго равенста получим: x A = x B , что невозможно, т.к. в исходных данных — несовпадающие точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка A B с концами A ( x A ) и B ( x B ):

Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.

Середина отрезка на плоскости

Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости О x y , две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами A x A , y A и B x B , y B . Точка C – середина отрезка A B . Необходимо определить координаты x C и y C для точки C .

Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. A x , A y ; B x , B y и C x , C y — проекции точек A , B и C на оси координат (прямые О х и О y ).

Согласно построению прямые A A x , B B x , C C x параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства А С = С В следуют равенства: А x С x = С x В x и А y С y = С y В y , и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка С x – середина отрезка А x В x , а С y – середина отрезка А y В y . И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:

x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2

Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:

Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка A B на плоскости с координатами концов A ( x A , y A ) и B ( x B , y B ) определяются как:

( x A + x B 2 , y A + y B 2 )

Середина отрезка в пространстве

Исходные данные: система координат О x y z и две произвольные точки с заданными координатами A ( x A , y A , z A ) и B ( x B , y B , z B ) . Необходимо определить координаты точки C , являющейся серединой отрезка A B .

A x , A y , A z ; B x , B y , B z и C x , C y , C z — проекции всех заданных точек на оси системы координат.

Согласно теореме Фалеса верны равенства: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Следовательно, точки C x , C y , C z являются серединами отрезков A x B x , A y B y , A z B z соответственно. Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.

Исходные данные: прямоугольная декартова система координат O x y , точки с заданными координатами A ( x A , y A ) и B ( x B , x B ) . Точка C – середина отрезка A B .

Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов O A → и O B → , т.е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: O A → = ( x A , y A ) , O B → = ( x B , y B ) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах и получим:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Следовательно, точка C имеет координаты:

x A + x B 2 , y A + y B 2

По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:

C ( x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2 )

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.

Исходные данные: на плоскости – точки с заданными координатами А ( — 7 , 3 ) и В ( 2 , 4 ) . Необходимо найти координаты середины отрезка А В .

Решение

Обозначим середину отрезка A B точкой C . Координаты ее буду определяться как полусумма координат концов отрезка, т.е. точек A и B .

x C = x A + x B 2 = — 7 + 2 2 = — 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Ответ: координаты середины отрезка А В — 5 2 , 7 2 .

Исходные данные: известны координаты треугольника А В С : А ( — 1 , 0 ) , В ( 3 , 2 ) , С ( 9 , — 8 ) . Необходимо найти длину медианы А М .

Решение

  1. По условию задачи A M – медиана, а значит M является точкой середины отрезка B C . В первую очередь найдем координаты середины отрезка B C , т.е. точки M :

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + ( — 8 ) 2 = — 3

  1. Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М ), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы А М :

A M = ( 6 — ( — 1 ) ) 2 + ( — 3 — 0 ) 2 = 58

Ответ: 58

Исходные данные: в прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Заданы координаты точки C 1 ( 1 , 1 , 0 ) , а также определена точка M , являющаяся серединой диагонали B D 1 и имеющая координаты M ( 4 , 2 , — 4 ) . Необходимо рассчитать координаты точки А .

Решение

Диагонали параллелепипеда имеют пересечение в одной точке, которая при этом является серединой всех диагоналей. Исходя из этого утверждения, можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка А С 1 . Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, найдем координаты точки А : x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 · x M — x C 1 = 2 · 4 — 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 · y M — y C 1 = 2 · 2 — 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 · z M — z C 1 = 2 · ( — 4 ) — 0 = — 8

Ответ: координаты точки А ( 7 , 3 , — 8 ) .

Как найти середину вектора?

Как найти середину прямой?

Формулы вычисления расстояния между двумя точками:

  1. Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(xa, ya) и B(xb, yb) на плоскости: xc = xa + xb yc = ya + yb …
  2. Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(xa, ya, za) и B(xb, yb, zb) в пространстве: xc = xa + xb yc = ya + yb zc = za + zb

Как найти середину вектора по его координатам?

Чтобы найти середину вектора по координатам нужно вычислить сумму координат начала и конца вектора и разделить на два.

Как найти середину отрезка на координатной прямой?

Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т. е. Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C : xC=xA+xB2 x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка). Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.

Как найти середину отрезка формула?

Для нахождения середины отрезка на плоскости можно сначала построить две дуги равного (и достаточно большого) радиуса с центрами в концах отрезка, а затем через точки пересечения этих дуг провести прямую. Точка, где полученная прямая пересекает отрезок, является его серединой.

Как найти середину отрезка 7 класс?

Из концов отрезка как из центров радиусом больше половины отрезка циркулем чертят полуокружности. Так как радиус больше половины отрезка, полуокружности пересекаются по обе стороны от отрезка. Место пересечения отрезка, соединяющего точки пересечения полуокружностей, и заданного отрезка, и есть середина.14 мая 2016 г.

Как найти длину отрезка на координатной прямой?

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.

Как найти отрезок по координатам?

Исходя из теоремы Пифагора, делаем вывод: для того чтобы найти длину данного отрезка, нужно найти длины проекций на две оси координат. Найдем длины проекций (X и Y) исходного отрезка на координатные оси. Их вычислим путем нахождения разницы координат точек по отдельной оси: X = X2-X1, Y = Y2-Y1.

Как найти длину вектора по его координатам?

Определение длины вектора

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|. Основное соотношение. Длина вектора |a| в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Как найти вектор по координатам точек?

Определеие. Чтобы найти координаты вектора AB, зная координаты его начальной точки А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки. Смотрите также справочник: координаты вектора по двум точкам.

Как найти середину отрезка при помощи циркуля?

Циркулем проводим окружности с центром в точках A и B радиусом AB. Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей (дуг). По линейке проводим отрезок или линию, проходящую через точки P и Q. Находим искомую середину отрезка AB — точку пересечения AB и PQ.

Как определить координаты точки на координатной прямой?

Чтобы найти координаты точки на плоскости, нужно опустить из этой точки перпендикуляры на оси координат. Точка пересечения с осью «x» называется абсциссой точки «А», а с осью y называется ординатой точки «А». Обозначают координаты точки, как указано выше (·) A (2; 3). Пример (·) A (2; 3) и (·) B (3; 2).

Как найти координаты вектора зная координаты его начала и конца?

Основное соотношение. Чтобы найти координаты вектора AB, зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.

Что такое отрезок понятие?

Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть она имеет и начало и конец, а значит можно измерить её длину.

Как определить расстояние между двумя точками?

Расстояние между двумя точками равно квадратному корню из суммы квадратов разностей координат по каждой оси. Каждая точка на плоскости характеризуется двумя координатами, а каждая точка в пространстве – тремя. Для того, чтобы определить расстояние между двумя точками на плоскости, надо ввести две координаты двух точек.

Как найти расстояние между серединами отрезков?

Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т. е. Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C : x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка). Из второго равенста получим: x A = x B , что невозможно, т.

Векторная геометрия для разработчиков Revit API

Класс XYZ представляет координаты в RevitAPI. А раз мы имеем дело с координатами, то следует рассмотреть азы векторной геометрии. Всего два действия: сложение и вычитание векторов, позволят сделать кучу полезной работы.

Для начала предлагаю ознакомиться со спецификацией класса XYZ здесь. Что такое векторы можно почитать в википедии.

Класс XYZ в RevitAPI в пространстве модели можно представить в виде вектора, начало которого находится в нулевой точке или базовой точке проекта (X =0, Y = 0, Z = 0), а конец вектора находится в точке, которую нам указывают координаты, например XYZ (-44.6464513504241, 82.7973662674829, 33.0782338854701). Все значения координат указываются в футах. Класс XYZ имеет методы, присущие векторам, которые ниже будут рассмотрены.

Рассмотрим векторы на примере линии детализации в Ревит. Базовую точку отметим как А. Тогда первая точка линии (с которой мы начали ее вести) будет В, завершающая точка линии будет С. Соответственно мы получим векторы АВ и ВС.

В Revit API предусмотрены методы для доступа к первой точке и последней точки линии.

Reference r = uiapp.ActiveUIDocument.Selection.PickObject(ObjectType.Element)
Element line = doc.GetElement(r.ElementId);
XYZ vectorAB = (line.Location as LocationCurve).Curve.GetEndPoint(0);
XYZ vectorAC = (line.Location as LocationCurve).Curve.GetEndPoint(1);
TaskDialog.Show(«Векторы», vectorAB.ToString() + «n» + vectorAC);

Для работы с линией детализации как с вектором нам нужен вектор ВС. Для получения вектора линии детализации ВС используем вычитание векторов.
ВС = АС — АВ

Все просто, в данном выражении конец вектора АС будет будет концом вектора ВС (первое число в разности — конец). Конец вектора АВ будет началом вектора ВС (второе число в разности — начало).

XYZ vectorBC = vectorAC — vectorAB;

Теперь, имея вектор линии детализации, можно сделать много интересных вещей. К примеру можно построить копию линии, которая будет в два раза длиннее или найти середину линии детализации.

XYZ vectorBC_1 = vectorBC * (-2) // удлиняется в сторону точки B
XYZ vectorBC_2 = vectorBC * 2; // удлиняется в сторону точки С
XYZ vectorBC_05 = vectorBC * .5 // середина вектора ВС
// код создания линии
Line line = Line.CreateBound(vectorAB, vectorBC_2); // начальная и конечная точка, ведь класс XYZ — это координаты
doc.Create.NewDetailCurve(doc.ActiveView, line);

Далее рассмотрим сложение векторов.

Сложение векторов очень пригодится, если нужно разместить какой-либо объект на определенном расстоянии от уже известной точки. Для этого нужно будет воспользоваться координатами такой точки и нормализованным вектором (или единичным вектором). Нормализованный или единичный вектор — это вектор, длина которого равна единице. Подробнее читайте тут.

Построим дубликат линии, расположенной горизонтально вправо на расстоянии 2000 мм от существующей. Для этого сначала я отображу графически необходимый результат. Сначала найдем необходимые координаты по правилу параллелограмма. Координаты новой линии детализации определяется так:
AF = AC + AF; AD = AB + BD;

По правилу параллелограмма, вместо векторов CF и BD мы можем воспользоваться вектором AX, который очень просто вычисляется. Воспользуемся нормализованным вектором, который в наше распоряжение предоставляет Revit API — это XYZ.BasisX. Длина этого вектора равна единице, и он, как все базисные векторы, расположен в начале координат. Поэтому умножим его на 2000мм, не забывая перевести миллиметры в футы.

XYZ vectorAX = XYZ.BasisX * (2000 / 304.8);
// Находим векторы AF и AD
XYZ vectorAF = vectorAC + vectorAX;
XYZ vectorAD = vectorAB + vectorAX;

Найденные векторы vectorAF и vectorAD являются точными координатами для построения новой линии детализации.
Посмотрим как можно, например удлинить нашу линию детализации на 1000 мм в сторону точки С или B.

// Удлиняем в сторону точки С
XYZ directionToC = vectorBC.Normalize();
XYZ newC = vectorAC + (directionToC * (1000 / 304.8));
// Удлиняем в с сторону точки В
XYZ vectorCB = vectorAB — vectorAC;
XYZ directionToB = vectorCB.Normalize();
XYZ newB = vectorAB + (directionToB * (1000 / 304.8));

Пару слов о методе Normalize класса XYZ. Normalize возвращает нормализованный вектор BC или CB. То есть это вектор BC или CB, укороченный до длины равной 1 и помещенный в начало координат с сохранением направления.

Для увлекательного путешествия по трехмерному миру при разработке программ для Ревит нам нужна только опорная точка с известными координатами и указатель движения в виде нормализованного (единичного) вектора, и расстояние. Произведение указателя с расстоянием, и прибавленная к ним опорная точка дадут новые координаты. Пространство проекта в Ревит просто наполнено указателями, которые можно получать из многих элементов. Мы можем вычислять свои указатели как в примере выше.

Для комфортного путешествия по трехмерному миру нам нужно еще вооружиться знаниями о нормали к прямой или к поверхности и скалярным произведением векторов. Нужно получить информацию о пересечении прямых и, популярным в Ревит, частным случаем — пересечении отрезков.

Ниже можно посмотреть листинг макроса для Ревит, который сдвигает выбранную линию детализации на 2000мм вправо и удлиняет ее на 1000мм в обе стороны.

/*
;* Created by SharpDevelop.
* User: Akunets Aleksandr, www.bim3d.ru
* Date: 27.08.2017
* Time: 20:37
*
* To change this template use Tools | Options | Coding | Edit Standard Headers.
*/
using System;
using Autodesk.Revit.UI;
using Autodesk.Revit.DB;
using Autodesk.Revit.UI.Selection;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

namespace Vector
<
[Autodesk.Revit.Attributes.Transaction(Autodesk.Revit.Attributes.TransactionMode.Manual)]
[Autodesk.Revit.DB.Macros.AddInId(«17333FA7-9C10-4B4E-A179-7B56E33FC6B3»)]
public partial class ThisApplication
<
private void Module_Startup(object sender, EventArgs e)
<

private void Module_Shutdown(object sender, EventArgs e)
<

public void Vector() <

UIDocument uidoc = this.ActiveUIDocument;

Document doc = uidoc.Document; //получаем документ

Selection selection = uidoc.Selection;

Reference r = selection.PickObject(ObjectType.Element, «Выделите линию детализации»); // получаем линию

Element line = doc.GetElement(r.ElementId); // получаем линию как элемент

XYZ vectorAB = (line.Location as LocationCurve).Curve.GetEndPoint(0); // получаем вектор к первой точке

XYZ vectorAC = (line.Location as LocationCurve).Curve.GetEndPoint(1); // получаем вектор ко второй точке

XYZ vectorBC = vectorAC — vectorAB; // получаем вектор, определяющий линию детализации

XYZ vectorAX = XYZ.BasisX * (2000 / 304.8); // получаем вектор сдвига на 2000мм вправо (от нулевой точки 2000мм вправо)

XYZ vectorAF = vectorAC + vectorAX; // получаем вектор (координаты) новой точки

XYZ vectorAD = vectorAB + vectorAX; // получаем вектор (координаты) новой точки

XYZ directionToC = vectorBC.Normalize(); // получаем направление (единичный вектор) в сторону точки С,
// и используем его для любых параллельных ему векторов

XYZ newC = vectorAF + (directionToC * (1000 / 304.8)); // получаем вектор (координаты) новой точки для новой линии

// Удлиняем в с сторону точки В
XYZ vectorCB = vectorAB — vectorAC; // получаем вектор, зеркальный вектору BC

XYZ directionToB = vectorCB.Normalize(); // получаем направление (единичный вектор) в сторону точки B,
// и используем его для любых параллельных ему векторов

XYZ newB = vectorAD + (directionToB * (1000 / 304.8)); // получаем вектор (координаты) новой точки для новой линии

Координаты середины отрезка

  • Что такое середина отрезка
  • Правила нахождения координат середины отрезка, формулы
    • Середина отрезка на координатной прямой
    • Середина отрезка на плоскости
    • Середина отрезка в пространстве
  • Метод с использованием координат радиус-векторов концов отрезка
  • Примеры решения задач

Что такое середина отрезка

Отрезок — это геометрическая фигура, представляющая собой ограниченный с двух сторон участок прямой.

Пусть точки A и B не совпадают. Если провести через них прямую, то образуется отрезок AB или BA, который ограничен точками A и B. Данные точки являются концами отрезка.

Длина отрезка — это расстояние между двумя точками, ограничивающими данный отрезок. Длина отрезка AB обозначается как модуль данной геометрической фигуры, то есть |AB|.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Серединой отрезка является такая точка C, принадлежащая отрезку AB, которая расположена в центре данного отрезка, то есть |AC|=|CB|.

Правила нахождения координат середины отрезка, формулы

Середина отрезка на координатной прямой

Предположим, что несовпадающие точки A и B лежат на координатной прямая Ох. Известно, что A и B соответствуют действительные числа xA и xB, а точка С делит AB пополам. Определите координату xC, соответствующую С.

Так как C — это середина AB, то справедливо следующее равенство:

Вычислим расстояние между A и C, а также между C и B. Для этого определим модуль разницы их координат. На математическом языке это будет иметь вид:

Опустим знак модуля и получим справедливость двух выражений:

Исходя из первого равенства, получим формулу нахождения xC, согласно которой координата точки С равна половине суммы координат A и B:

Следствием второго равенства будет следующее утверждение:

Это противоречит заданным условиям, следовательно, формула определения координат середины отрезка выглядит так:

Середина отрезка на плоскости

В декартовой системе координат Oxy расположены две точки A(xA,yA) и B(xB,yB), которые не совпадают между собой. Точка C является центром AB. Необходимо произвести вычисление координат xC и yC, соответствующих С.

Пусть произвольные точки А и В лежат на одной координатной прямой, а также не принадлежат прямым, располагающимся перпендикулярно к оси абсцисс или ординат. Опустим от заданных точек A, B, C перпендикуляры на ось x на ось y. Полученные точки пересечения с осями координат Ax, Ay; Bx, By; Cx, Cy — это проекции исходных точек.

По построению прямые AAx, BBx, CCx относительно друг друга находятся параллельно. Прямые AAy, BBy, CCy не пересекаются, то есть являются параллельными. Согласно равенству AB=BC, далее применим теорему Фалеса и получим:

Это значит, что Cx и Cy являются серединами отрезков AxBx и AyBy соответственно. Теперь воспользуемся формулой определения координат середины отрезка на координатной прямой и получим:

Данные формулы подходят для вычисления координат середины отрезка в случае его расположения на осях абсцисс и ординат, а также при перпендикулярности одной из них. Следовательно, координаты центра отрезка AB, находящегося в плоскости и ограниченного точками A(xA,yA) и B(xB,yB), вычисляются следующим образом:

Середина отрезка в пространстве

Допустим, что в трехмерной системе координат Oxyz любые две точки с соответствующими им координатами A(xA, yA, zA) и B(xB, yB, zB). C(xC, yC, zC) — это центр АВ. Задание заключается в том, чтобы определить xC, yC, zC.

Проведем от исходных точек перпендикуляры к прямым Ox, Oy и Oz. Образовавшиеся точки пересечения с координатными осями — Ax, Ay, Az; Bx, By, Bz; Cx, Cy, Cz — проекции точек A, B, C на них.

Воспользуемся теоремой Фалеса:

Исходя из полученных равенств следует, что Cx, Cy, Cz — делят AxBx, AyBy, AzBz пополам, то есть являются серединами перечисленных отрезков. Значит, для определения координат центра AB с концами A(xA,yA,zA) и B(xB,yB,zB) используем формулу:

Метод с использованием координат радиус-векторов концов отрезка

Трактовка векторов в алгебре позволяет составить формулу для расчета координат середины отрезка.

Дано: прямоугольная система координат Oxy, в которой лежат произвольные точки A(xA,yA) и B(xB,yB), а также C, делящая пополам отрезок, ограниченный A и B.

По определению действий над вектором в геометрии:

В рассматриваемой ситуации в точке C пересекаются диагонали параллелограмма с основаниями: (overrightarrow,;overrightarrow ) .

Это значит, что С — это центр диагоналей.

Поскольку координаты радиус вектора совпадают с координатами точки, имеем: (overrightarrow=left(x_A,;y_Aright),;overrightarrow=left(x_B,;y_Bright) ) .

Произведем подстановку в формулу (1):

Получили формулу определения координат середины отрезка, находящегося в декартовой системе координат:

По аналогично схеме можно вывести формулу для расчета координат центра отрезка, лежащего в пространстве:

Примеры решения задач

Дано: в декартовой системе координат имеются точки M(5,4) и N(1,−2). Найти координаты середины отрезка MN.

Пусть точка O — центр MN. Тогда вычислим ее координаты, подставив в формулы:

Точка O имеет координаты (3,1).

Дано: треугольник ABC лежит в прямоугольной системе координат. Известны координаты его вершин: A(7,3), B(−3,1), C(2,4). Вычислите длину медианы АМ.

Поскольку АМ является медианой треугольника ABC, то точка М делит сторону ВС на два равных отрезка, то есть является серединой отрезка ВС. Отсюда можно вычислить координат точки М:

Теперь, зная координаты начала и конца отрезка АМ, применим формулу нахождения расстояния между точками:

Характеристики вектора: длина, направление, координаты

У любого вектора есть 2 главные характеристики:

  • длина (математики говорят «модуль вектора»)
  • направление (в какую сторону вектор на рисунке направлен)

Третья характеристика вектора – это его координаты.

Примечание:

Зная координаты вектора, можно найти его длину и направление. Поэтому, задавать информацию о векторе можно двояко: либо указав его длину и направление, либо его координаты.

Что такое координаты вектора

Координаты вектора – это длины его теней на осях координат (его проекции на оси).

Координаты вектора указывают так:

( a_ ) – это «x» координата вектора, проекция вектора ( vec ) на ось Ox;

( a_ ) — это «y» координата вектора, проекция вектора ( vec ) на ось Oy;

Координаты вектора можно получить из координат его начальной и конечной точек:

«координата вектора» = «конец» — «начало»

Пример:

( A left( 1;1 right) ) — начальная точка,

( B left( 4;3 right) ) — конечная точка,

[ overrightarrow = left< AB_; AB_ right> ]

[ begin AB_ = 4 – 1; AB_ = 3 \ AB_ = 3 – 1; AB_ = 2 end ]

Длина вектора (в чем измеряется, как посчитать)

Длину вектора (его модуль) обозначают так:

Как вычислить длину вектора по его координатам

Когда известны координаты вектора, его длину считают так:

( a_ ) и ( a_ ) — это числа, координаты вектора ( vec )

Для двухмерного вектора:

Для трехмерного вектора:

Как вычислить длину вектора с помощью рисунка

Если вектор нарисован на клетчатой бумаге, длину считаем так:

1). Если вектор лежит на линиях клеточек тетради:

— считаем количество клеточек.

Зная масштаб клеток, легко получить длину вектора – умножаем масштаб на количество клеток.

2). Если вектор не лежит вдоль линий:

— проводим вертикаль и горизонталь пунктиром.

( Delta x ) — горизонталь; ( Delta y ) — вертикаль;

— затем применяем формулу:

Как указать направление вектора

Указать направление вектора можно с помощью его координат. Так как в его координатах уже содержится информация о длине и направлении вектора.

Бывает так, что координаты вектора неизвестны, а известна только лишь его длина. Тогда направление можно указать с помощью угла между вектором и какой-либо осью.

Для двумерного вектора

Если вектор двумерный, то для указания направления (см. рис. 10) можно использовать один из двух углов:

  • угол ( alpha ) между вектором и горизонталью (осью Ox),
  • или угол ( beta ) вежду вектором и вертикалью (осью Oy).

Словами указать направление вектора можно так:

  • вектор длиной 5 единиц направлен под углом 30 градусов к горизонтали;
  • Или же: вектор длиной 5 единиц направлен под углом 60 градусов к вертикали.

Такой способ указания координат используют в полярной системе координат.

Для трехмерного вектора

Когда вектор располагается в трехмерном пространстве, чтобы указать, куда вектор направлен, используют два угла.

  • угол между вектором и осью Oz;
  • и один из углов: между вектором и осью Oy, или между вектором и осью Ox;

Такой способ указания координат используют в сферической системе координат.

Считаем Землю шаром. Расположим ее центр в начале трехмерной системы координат – точке (0 ; 0 ; 0).

Тогда координаты любой точки на поверхности планеты можно указать с помощью радиус-вектора этой точки.

Для указания сферических координат принято использовать:

  • длину вектора,
  • угол между осью Ox и вектором и
  • угол между осью Oz и вектором.
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: