Как найти площадь поверхности

Формулы площади поверхности тел

Площадь поверхности геометрической фигуры измеряется в квадратных единицах. Очень часто используется в повседневной жизни, в строительстве, на производствах. Например, нужно вам покрасить комнату, зная сколько краски используется на кв. метр, и площади стен комнаты легко можно вычислить, сколько всего вам нужно купить краски.

Различают два вида площадей поверхности тел: Sбок — площадь боковой поверхности тела, и Р — площадь полной поверхности тела, которая равна сумме площадей боковой поверхности и основания тела.

Формула площади поверхности призмы

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна периметру основания умноженному на высоту призмы (высота=боковому ребру).

р — периметр основания;

h — высота;

l — боковое ребро.

Формула площади поверхности куба

Площадь боковой поверхности куба равна числу боковых граней умноженному на квадрат ребра.

Площадь полной поверхности куба равна числу всех граней куба умноженному на квадрат ребра.

P = 6a 2

а — ребро куба.

Формула площади поверхности пирамиды

1) Правильная пирамида:

Sбок = 1/2pA

p — периметр основания;

A — апофема.

S — площадь основания;

φ — угол между боковой гранью и основанием пирамиды.

Sбок = Sгр n

Sгр — площадь одной боковой грани;
n — количество боковых граней пирамиды.

2) Правильная усеченная пирамида:

A — апофема.

Р — площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды;

Sбок — площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды;

Формула площади поверхности цилиндра

Sбок = 2πrh = πdh

P = 2πr 2 +rh = 2π(r+h)

P — площадь полной поверхности цилиндра;

r — радиус цилиндра;

d — диаметр цилиндра;

h — высота цилиндра.

Формула площади поверхности конуса

1) Прямой круговой конус:

P = πr 2 + πrl= πr(r+l)

P — площадь полной поверхности конуса;

r -радиус конуса;

d -диаметр конуса;

l — образующая конуса.

2) Усеченный прямой круговой конус:

P — площадь полной поверхности усеченного конуса;

d1, d2 — диаметры оснований усеченного конуса;

l — образующая усеченного конуса.

Формула площади поверхности шара (сферы)

Шар — тело, созданное вращением полукруга вокруг диаметра.

Сфера — поверхность шара.

Формула площади поверхности сферического сегмента

Сферический сегмент — часть сферы, что отсекается от сферы плоскостью.

Формула площади поверхности шарового сегмента

Шаровой сегмент — часть шара, что отсекается от шара плоскостью, и ограничивается кругом (основание шарового сегмента) и сферическим сегментом.

Sшар. сегм. = π(2Rh+a 2 )=π(h 2 +2a 2 )

R — радиус шара;

D — диаметр шара;

h — высота сегмента;

a — радиус основания сегмента.

Площади фигур (ЕГЭ 2022)

Если тебя заинтересовало то, как находить площадь поверхностей различных фигур, читай эту статью!

Подробное объяснение, формулы и иллюстрации.

Площадь поверхности призмы

Есть ли общая формула? Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

Площадь полной поверхности призмы – это сумма площадей всех граней.

Формулу можно написать для прямой призмы:

( displaystyle <>_<боков.>>=textcdot text

), где ( displaystyle P) – периметр основания.

Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы. Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы.

Пусть сторона основания равна ( displaystyle a), а боковое ребро равно ( displaystyle b).

Все боковые грани – прямоугольники. Значит ( displaystyle <>_>>=6cdot text).

Площадь поверхности пирамиды

Для пирамиды тоже действует общее правило:

Площадь полной поверхности пирамиды – это сумма площадей всех граней.( displaystyle <_<полн. пов. >>=<_<боков.пов. >>+<_<основания >>)

Теперь давай посчитаем площадь поверхности самых популярных пирамид.

Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна ( displaystyle a), а боковое ребро равно ( displaystyle b). Нужно найти ( displaystyle <_<осн>>) и ( displaystyle <_>).

Вспомним теперь, что

( displaystyle <_<осн>>) – это площадь правильного треугольника ( displaystyle ABC).

И еще вспомним, как искать эту площадь.

Используем формулу площади:

( displaystyle S=frac<1><2>abcdot sin gamma ).

У нас «( displaystyle a)» – это ( displaystyle a), а «( displaystyle b)» – это тоже ( displaystyle a), а ( displaystyle sin gamma =sin 60<>^circ =frac><2>).

Теперь найдем ( displaystyle <_>).

Пользуясь основной формулой площади и теоремой Пифагора, находим

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. ( displaystyle b=a)), то формула получается такой:

Площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна ( displaystyle a), а боковое ребро равно ( displaystyle b).

В основании – квадрат, и поэтому ( displaystyle <_>=<^<2>>).

Осталось найти площадь боковой грани

Площадь поверхности правильной шестиугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна ( displaystyle a), а боковое ребро ( displaystyle b).

Как найти ( displaystyle <_>)? Шестиугольник ( displaystyle ABCDEF) состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете площади поверхности правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

Ну, и площадь боковой грани мы уже искали аж два раза

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете.

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись».
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы:

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Поделись с нами!

Сегодня ты научился искать площадь поверхностей различных фигур. Может, ты искал эту статью, чтобы решить какую-то определенную задачу. А может ты просто изучал это в курсе геометрии

В любом случае, это полезно знать!

Теперь мы хотим услышать тебя! Расскажи нам в комментариях ниже, понравилась ли тебе статья и помогла ли она тебе?

А если у тебя есть вопросы, задай их там же! И мы обязательно тебе ответим.

Как найти площадь фигуры

О чем эта статья:

2 класс, 3 класс, 4 класс

Обозначение площади

Площадь — это одна из характеристик замкнутой геометрической фигуры, которая дает нам информацию о ее размере. S (square) — знак площади.

Если параметры фигуры переданы в разных единицах длины, мы не сможем решить ни одну задачу. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения

  • квадратный миллиметр (мм 2 );
  • квадратный сантиметр (см 2 );
  • квадратный дециметр (дм 2 );
  • квадратный метр (м 2 );
  • квадратный километр (км 2 );
  • гектар (га).

Круг — это когда множество точек на плоскости удалены от центра на равном радиусу расстоянии. Радиусом принято называть прямую линию, соединяющую центр с любой точкой окружности.

1. S = π * r 2 , где r — это радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

2. S = d 2 : 4 * π, где d — это диаметр.

3. S = L 2 ​ : 4 * π, где L — это длина окружности.

Треугольник

Треугольник — это когда три отрезка соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Эти три точки принято называть вершинами, а отрезки — сторонами. Рассчитать площадь треугольника можно несколькими способами по исходными данным, давайте их рассмотрим.

1. Если известна сторона и высота.

S = 0,5 * a * h, где a — длина основания, h — высота, проведенная к основанию.

Основание может быть расположено иначе, например так:

При тупом угле высоту можно отразить на продолжение основания:

При прямом угле основанием и высотой будут его катеты:

2. Если известны две стороны и синус угла.

S = 0,5 * a * b * sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.

3. Если есть радиус описанной окружности.

S = (a * b * с) : 4 * R, где a, b и с — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности.

4. Если есть радиус вписанной окружности.

S = p * r, где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности.

У нас есть отличные онлайн занятия с лучшими преподавателями по математике! Для учеников с 1 по 11 классы!

Прямоугольник

Прямоугольник — четырехугольник, у которого все стороны пересекаются под прямым углом. Узнать площадь фигуры помогут следующие формулы:

1. S = a * b, где a, b — ширина и высота прямоугольника.

2. S = a * √(d 2 — а 2 ), где а — известная сторона, d — диагональ.

Диагональ — это отрезок, который соединяет противоположные стороны фигуры. Он есть во всех фигурах, число вершин которых больше трех.

3. S = 0,5 ∗ d 2 ∗ ( ), где d — диагональ.

Квадрат

Квадрат — это тот же прямоугольник, но при условии, что все его стороны равны. Найти его площадь легко:

1. S = а 2 , где a — сторона квадрата.

2. S = d 2 : 2, где d — диагональ.

Трапеция

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны и две не параллельны.

S = (a + b) : 2 * h, где a, b — два разных основания, h — высота трапеции.

Построить высоту трапеции можно начертив отрезок так, чтобы он соединил параллельные стороны и пересек их под прямым углом.

Параллелограмм и ромб

Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. Определение ромба звучит точно также, поэтому мы их объединили и расскажем про общие формулы расчета площади фигуры.

1. S = a * h, где a — сторона, h — высота.

2. S = a * b * sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.

Площадь поверхности

Первая квадратичная форма поверхности.

Пусть простая поверхность задана векторным уравнением
$$
boldsymbol = boldsymbol(u, v), (u, v) in overline,label
$$
где (Omega) плоская область.

Найдем скалярный квадрат вектора
$$
dboldsymbol = boldsymbol_(u, v) du + boldsymbol_(u, v) dv.nonumber
$$

Полагая
$$
E = (boldsymbol_, boldsymbol_),quad F = (boldsymbol_, boldsymbol_),quad G = (boldsymbol_, boldsymbol_),label
$$
получаем, что справедлива формула
$$
|dboldsymbol|^ <2>= (dboldsymbol, dboldsymbol) = E(u, v) du^ <2>+ 2F(u, v) du dv + G(u, v) dv^<2>.label
$$

Выражение, стоящее в правой части равенства eqref, называется первой квадратичной формой поверхности, числа (E), (F) и (G) называются коэффициентами первой квадратичной формы поверхности.

Первая квадратичная форма простой поверхности положительно определена, то есть (|dboldsymbol|^ <2>> 0), если ((du)^ <2>+ (dv)^ <2>> 0).

Условия (E > 0), (G > 0), (EG-F^ <2>> 0) достаточны для положительной определенности первой квадратичной формы поверхности. (bullet)

Говорят, что первая квадратичная форма задает на поверхности метрику. Зная коэффициенты первой квадратичной формы поверхности, можно вычислить длины кривых, лежащих на поверхности, определить площадь поверхности. Например, дифференциалы длин дуг координатных кривых, проходящих через точку (A(u, v)) поверхности, равны следующим величинам:
$$
ds_ <1>= |boldsymbol_du| = sqrt|du|,quad ds_ <2>= |boldsymbol_dv| = sqrt|dv|.label
$$

Площадь простой поверхности.

Пусть простая поверхность задана уравнением eqref. Рассмотрим на поверхности криволинейный параллелограмм, ограниченный координатными линиями (u), (u + Delta u), (v), (v + Delta v). Векторы (boldsymbol_(u, v)Delta u) и (boldsymbol_(u, v)Delta v) будут касательными к координатным линиям, проходящим через точку (A(u, v)) поверхности (рис. 53.1), а длины этих векторов в силу формул eqref будут отличаться от длин сторон криволинейного параллелограмма на (o(Delta u)) и (o(Delta v)) соответственно при (Delta u rightarrow 0), (Delta v rightarrow 0). Поэтому естественно считать, что площадь криволинейного параллелограмма приближенно равна площади (dS) параллелограмма, построенного на векторах (boldsymbol_ Delta u) и (boldsymbol_ Delta v). Таким образом, при (Delta u > 0), (Delta v > 0).
$$
dS = |[boldsymbol_, boldsymbol_] Delta u Delta v| = sqrt> du dv.label
$$

Рис. 53.1

Выражение eqref называется элементом площади поверхности.

Определим формально площадь простой поверхности (Sigma) как следующий двойной интеграл (область (Omega) предполагается измеримой по Жордану):
$$
S(Sigma) = iintlimits_ |[boldsymbol_, boldsymbol_]| du dv = iintlimits_ sqrt> du dv.label
$$

Это определение оправдано приведенными выше эвристическими рассуждениями, а также перечисленными ниже свойствами площади поверхности.

Число (S(Sigma)) не зависит от способа параметризации поверхности.

(circ) Пусть переход от параметрического уравнения eqref к параметрическому уравнению
$$
boldsymbol = boldsymbol(u’, v’), (u’, v’) in Omega’,nonumber
$$
совершается при помощи взаимно однозначного и непрерывно дифференцируемого отображения области (Omega’) на область (Omega) с якобианом, не равным нулю. Тогда, воспользовавшись формулой отсюда и формулой замены переменных в двойном интеграле, получаем
$$
S(Sigma) = iintlimits_ |[boldsymbol_, boldsymbol_]| du’ dv’ = iintlimits_ |[boldsymbol_, boldsymbol_]| cdot left|fracright| du’ dv’ = iintlimits_ |[boldsymbol_, boldsymbol_]| du dv. bulletnonumber
$$

Если поверхность (Sigma) есть плоская измеримая по Жордану область (Omega), заданная уравнениями
$$
x = u, y = v, z = 0, (u, v) in Omega,nonumber
$$
то ее площадь, вычисленная при помощи формулы eqref, совпадает с плоской мерой Жордана области (Omega).

(circ) Так как
$$
boldsymbol = (u, v, 0), boldsymbol_ = (1, 0, 0), boldsymbol_ = (0, 1, 0), E = G = 1,nonumber F = 0,
$$
то
$$
S(Sigma) = iintlimits_ |[boldsymbol_, boldsymbol_]| du dv = iintlimits_ du dv = m(Omega). bulletnonumber
$$

Выражение (S(Sigma)) аддитивно зависит от поверхности.

(circ) Если область (Omega) гладкой перегородкой разбита на области (Omega_<1>) и (Omega_<2>), то и поверхность (Sigma) разобьется на простые поверхности (Sigma_<1>) и (Sigma_<2>). Из аддитивности двойного интеграла по области интегрирования следует, что
$$
S(Sigma) = S(Sigma_<1>) + S(Sigma_<2>). bulletnonumber
$$

Для поверхности, являющейся графиком непрерывно дифференцируемой функции на замыкании измеримой по Жордану области (Omega), формула eqref для площади поверхности имеет следующий вид:
$$
S(Sigma) = iintlimits_ sqrt<1 + f_^ <2>+ f_^<2>> dx dy.label
$$

(circ) Действительно, так как
$$
boldsymbol = (x, y, f(x, y)), boldsymbol_ = (1, 0, f_(x, y)), boldsymbol_ = (0, 1, f_(x, y)),nonumber
$$
то
$$
E = boldsymbol_^ <2>= 1 + f_^<2>, F = (boldsymbol_, boldsymbol_) = f_f_, G = boldsymbol_^ <2>= 1 + f_^<2>,nonumber
$$
$$
EG-F^ <2>= (1 + f_^<2>)(1 + f_^<2>)-f_^<2>f_^ <2>= 1 + f_^ <2>+ f_^<2>. bulletnonumber
$$

Найти площадь части сферы (x^ <2>+ y^ <2>+ z^ <2>= a^<2>), вырезаемой из нее цилиндром (x^<2>-ax + y^ <2>= 0) (см. рис. 48.10).

(triangle) В силу симметрии достаточно ограничиться рассмотрением той части сферы, которая лежит в первом октанте. Цилиндр будет вырезать из нее множество точек, определяемое следующими неравенствами и равенствами:
$$
x^ <2>+ y^ <2>+ z^ <2>= a^<2>, x^<2>-ax + y^ <2>leq 0, x geq 0, y geq 0, z geq 0.label
$$

Если перейти к сферическим координатам, полагая
$$
x = a cos psi cos varphi, y = a cos psi sin varphi, z =a sin psi,label
$$
то система равенств и неравенств eqref эквивалентна равенствам eqref и неравенствам
$$
0 leq varphi leq psi leq frac<2>,label
$$
определяющим в плоскости параметров (varphi, psi) треугольную область (Omega) (рис. 53.2). Интересующая нас простая поверхность есть образ треугольной области (Omega) при отображении eqref.

Рис. 53.2

Вычислим коэффициенты первой квадратичной формы. Получаем
$$
boldsymbol = (a cos psi cos varphi, a cos psi sin varphi, a sin psi),nonumber
$$
$$
boldsymbol_ = (-a sin psi cos varphi, -a sin psi sin varphi, a cos psi),nonumber
$$
$$
boldsymbol_ = (-a cos psi sin varphi, a cos psi cos varphi, 0),nonumber
$$
$$
E = boldsymbol_^ <2>= a^<2>, F = (boldsymbol_, boldsymbol_) = 0, G = boldsymbol_^ <2>= a^ <2>cos^ <2>psi.nonumber
$$

Площадь части сферы (x^ <2>+ y^ <2>+ z^ <2>= a^<2>), вырезаемой из нее цилиндром (x^<2>-ax + y^ <2>= 0), равна
$$
S(Sigma) = 4 iintlimits_ sqrt> dvarphi dpsi = 4 intlimits_<0>^ dvarphi intlimits_^ a^ <2>cos psi dpsi = 4a^ <2>left(frac<2>-1right). blacktrianglenonumber
$$

Площадь почти простой поверхности.

Почти простая поверхность задается уравнением (boldsymbol = boldsymbol(u, v)), ((u, v) in overline), где (Omega) — плоская область. По определению найдется последовательность ограниченных областей (>) такая, что (overline_ subset Omega_), (displaystyleOmega = bigcup_^Omega_) а поверхности (Sigma_), определяемые уравнениями (boldsymbol = boldsymbol(u, v)), ((u, v) in overline), являются простыми. Предположим дополнительно, что области (Omega_) измеримы по Жордану. Тогда под площадью (S(Sigma)) почти простой поверхности будем понимать (displaystylelim_ S(Sigma_)).

Так как числовая последовательность (S(Sigma_)) монотонно возрастает, то она всегда имеет конечный или бесконечный предел
$$
S(Sigma) = lim_ S(Sigma_) = lim_ iintlimits_> sqrt> du dv = iintlimits_ sqrt> du dv.label
$$

Интеграл в формуле eqref нужно понимать как несобственный. Если область (Omega) измерима по Жордану, а функция (sqrt>) ограничена на (Omega), то интеграл в формуле eqref будет двойным интегралом Римана.

Найти площадь части боковой поверхности конуса (z^ <2>= x^ <2>+ y^<2>), (z geq 0), вырезаемой из нее цилиндром (x^<2>-ax + y^ <2>= 0).

(triangle) Обозначим часть боковой поверхности конуса, вырезаемую из нее цилиндром, через (Sigma). Если перейти к цилиндрическим координатам, то (Sigma) будет почти простой поверхностью, определяемой параметрическими уравнениями
$$
x = r cos varphi, y = r sin varphi, z = r, (r, varphi) in Omega,nonumber
$$
$$
Omega = left<(r, varphi): r leq a cos varphi, -frac <2>leq varphi leq frac<2>right>.nonumber
$$

Найдем коэффициенты первой квадратичной формы этой поверхности:
$$
boldsymbol = (r cos varphi, r sin varphi, r), boldsymbol_ = (-r sin varphi, r cos varphi, 0),nonumber
$$
$$
boldsymbol_ = (cos varphi, sin varphi, 1), E = boldsymbol_^ <2>= r^<2>, F = 0, G = boldsymbol_^ <2>= 2,nonumber
$$
$$
sqrt> dr dvarphi = rsqrt<2> dr dvarphi.nonumber
$$

Применяя формулу eqref, получаем
$$
S(Sigma) = iintlimits_ sqrt<2>r dr dvarphi = sqrt <2>intlimits_<-pi/2>^ dvarphi intlimits_<0>^ r dr = frac sqrt<2>><4>. blacktrianglenonumber
$$

Если поверхность (Sigma) не является простой или почти простой, но может быть разрезана на конечное число простых кусков, то ее площадью называют сумму площадей всех простых кусков.

Калькулятор расчёта объёмов и площадей поверхности тел

Назначение калькулятора

Калькулятор позволяет рассчитать объёмы и площади поверхности таких геометрических тел, как конус, усечённый конус, шар и цилиндр.

В работе калькулятора используются следующие формулы:

1. Конус

1.1 Объём конуса

Для расчёта объёма конуса применяется формула:

h – высота конуса;

Sосн – площадь основания, которое представляет собой круг, соответственно его площадь может быть рассчитана по формуле:

R – радиус основания;

d – диаметр основания.

Тогда итоговая формула будет иметь вид:

1.2 Площадь поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса может быть вычислена по формуле:

R – радиус основания;

L – образующая конуса;

Образующую можно выразить через радиус и высоту h:

Тогда формула площади боковой поверхности примет вид:

Или через диаметр:

Чтобы вычислить полную площадь поверхности, необходимо к площади боковой поверхности добавить площадь основания конуса:

2. Цилиндр

2.1 Объём цилиндра

Объём цилиндра может быть вычислен по следующей формуле:

h – высота цилиндра;

Sосн> – площадь основания, которое представляет собой круг, соответственно его площадь может быть рассчитана по формуле:

Тогда итоговая формула будет иметь вид:

2.2 Площадь поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле:

d – диаметр цилиндра;

h – высота цилиндра;

Для того, чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра необходимо к площади боковой поверхности добавить две площади основания:

3. Шар (сфера)

3.1 Объём шара вычисляется по формуле:

R – радиус шара;

Если радиус выразить через диаметр, то получим следующее:

3.2 Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:

4. Усечённый конус

4.1 Объём усечённого конуса рассчитывается по формуле:

R – радиус нижнего основания;

r – радиус верхнего основания;

h – высота конуса;

4.2 Площадь боковой поверхности усечённого конуса находится по формуле:

L – образующая усечённого конуса;

Если образующую выразить через высоту, то получим следующее:

Для того, чтобы вычислить площадь полной поверхности усечённого конуса необходимо к площади боковой поверхности добавить площади верхнего и нижнего основания:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: