Как найти основание треугольника

Высота равнобедренного треугольника

Равнобедренным треугольником называется такой треугольник, у которого две из трех сторон равны между собой. Равные стороны считаются боковыми сторонами а, а третья сторона в называется основанием равнобедренного треугольника.

Соответственно, в таком треугольнике можно провести три высоты, две из которых будут равны между собой, аналогично сторонам — это высоты, опущенные на боковую сторону треугольника а, а третья высота опускается на основание. Высота треугольника проводится из угла треугольника к противолежащей стороне под прямым углом. Большинство задач с высотой треугольника решаются через прямоугольные треугольники, которые она образует.

Рассмотрим каждый случай по отдельности.

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, обладает рядом индивидуальных свойств, присущих только ей и не распространяющихся на другие высоты в таком треугольнике. В частности, высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой, проведенным к основанию, следовательно, она не только образует прямой угол с основанием, но и делит его на две равные части, как медиана, и аналогично делит угол пополам, как биссектриса. В итоге, высота является своеобразной осью симметрии треугольника и разделяет его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника. В таком треугольнике высота является катетом, и чтобы найти ее длину необходимо соотнести стороны равнобедренного треугольника со сторонами прямоугольного. Боковая сторона равнобедренного треугольника становится гипотенузой, а чтобы определить второй катет, основание равнобедренного треугольника нужно разделить пополам, по свойству медианы.

Длина высоты равнобедренного треугольника равна по теореме Пифагора квадратному корню из суммы квадрата боковой стороны равнобедренного треугольника и четверти квадрата основания равнобедренного треугольника:

Второй случай, когда условиями задачи нужно найти высоту, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника, раскрывается проще всего через площадь треугольника.

Площадь любого треугольника можно найти несколькими способами — например, через три стороны треугольника по формуле Герона, или через высоту, умножив ее на половину стороны, на которую она опущена. И тем, и другим способом получаются одинаковые значения площади, следовательно обе эти формулы можно друг к другу приравнять и отсюда вывести окончательную формулу высоты, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника.

Формула Герона для равнобедренного треугольника будет иметь несколько упрощенный вид за счет того, что значения боковых сторон повторяются:

Площадь равнобедренного треугольника через высоту, опущенную к боковой стороне

Эту же формулу можно применять для нахождения любой высоты в равнобедренном треугольнике, если поменять в формуле соответствующие стороны местами.

Формула высоты равнобедренного треугольника через боковую сторону и угол при основании α: h=a sin⁡α

Формула через боковую сторону и угол напротив основания β:

Формула через основание и угол при нем α:

через основание и угол противолежащий ему β:

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

  1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
  2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
  3. Поделите все на 4.

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Если известны длины трех сторон

  1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
  2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
  3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
  4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
  5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
  6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
  7. Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

Как найти основание треугольника

Вычисление высоты треугольника зависит от самой фигуры (равнобедренный, равносторонний, разносторонний, прямоугольный). В практической геометрии сложные формулы, как правило, не встречаются. Достаточно знать общий принцип вычислений для того, чтобы он мог быть универсально применим для всех треугольников. Сегодня мы познакомим вас с базовыми принципами вычисления высоты фигуры, расчетными формулами, основываясь на свойствах высот треугольников.

Что такое высота?

Высотой принято считать любой отрезок, опущенный из любого угла треугольника на противоположную сторону под прямым углом. Та сторона, на которую опускают прямую линию, будет называться основанием треугольника.

Высота имеет несколько отличительных свойств

    Точка, где все высоты соединяются, называется ортоцентром. Если треугольник остроконечный, то ортоцентр находится внутри фигуры, если один из углов тупой, то ортоцентр, как правило, находится снаружи.

В треугольнике, где один угол равен 90°, ортоцентр и вершина совпадают.

Читайте также  Как переселить сима в другой город
  • В зависимости от вида треугольника есть несколько формул, как найти высоту треугольника.
    1. Если р – это половина периметра, тогда a, b, c являются обозначением сторон требуемой фигуры, h – высота, то первая и самая простая формула будет выглядеть следующим образом: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c).

    В школьных учебниках часто можно найти задачи, в которых известно значение одной из сторон треугольника и величина угла между данной стороной и основанием. Тогда формула расчета высоты будет выглядеть так: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.

    Когда дана площадь треугольника – S, а также длина основания – а, то вычисления будут максимально простыми. Высоту находят по формуле: h = 2S/a.

  • Когда дан радиус окружности, описанной вокруг фигуры, вначале вычисляем длины его двух сторон, а затем приступаем к вычислению заданной высоты треугольника. Для этого используем формулу: h = b ∙ c/2R, где b и c – это две стороны треугольника, которые не являются основанием, а R – радиус.
  • Как найти высоту равнобедренного треугольника?

    Все стороны у данной фигуры равнозначны, их длины равны, поэтому и углы при основании тоже будут равными. Из этого следует, что высоты, которые проводим на основания, тоже будут равны, они же и медианы, и биссектрисы одновременно. Говоря простым языком, высота в равнобедренном треугольнике делит основание надвое. Треугольник с прямым углом, который получился после проведения высоты, будем рассматривать с помощью теоремы Пифагора. Обозначим боковую сторону как а, а основание как b, тогда высота h = ½ √4 a2 − b2.

    Как найти высоту равностороннего треугольника?

    Формула равностороннего треугольника (фигуры, где все стороны являются равновеликими), можно найти, исходя из предыдущих вычислений. Необходимо только измерить длину одной из сторон треугольника и обозначить её как а. Тогда высота выводится по формуле: h = √3/2 a.

    Как найти высоту прямоугольного треугольника?

    Как известно, угол в прямоугольном треугольнике равен 90°. Высота, опущенная на один катет, одновременно является и вторым катетом. На них и будут лежать высоты треугольника с прямым углом. Для получения данных о высоте, нужно немного преобразовать имеющуюся формулу Пифагора, обозначив катеты – а и b, а также измерив длину гипотенузы – с.

    Найдем длину катета (сторона, которой будет перпендикулярна высота): a = √ (c2 − b2). Длина второго катета находится по точно такой же формуле: b =√ (c2 − b2). После чего можно приступать к вычислению высоты треугольника с прямым углом, предварительно сосчитав площадь фигуры – s. Значение высоты h = 2s/a.

    Расчеты с разносторонним треугольником

    Когда разносторонний треугольник имеет острые углы, то высота, опускаемая на основание, видна. Если же треугольник с тупым углом, то высота может находиться вне фигуры, и нужно мысленно её продолжить, чтобы получить точку соединения высоты и основания треугольника. Самым простым способом измерить высоту является вычисление её через одну из сторон и величины углов. Формула выглядит следующим образом: h = b sin y + c sin ß.

    Формулы для нахождения высоты треугольника

    В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

    • Нахождение высоты треугольника
      • Высота в разностороннем треугольнике
      • Высота в равнобедренном треугольнике
      • Высота в прямоугольном треугольнике
      • Высота в равностороннем треугольнике
    • Примеры задач

    Нахождение высоты треугольника

    Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

    Высота в разностороннем треугольнике

    Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

    1. Через площадь и длину стороны

    где S – площадь треугольника.

    2. Через длины всех сторон

    где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

    3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

    4. Через стороны и радиус описанной окружности

    где R – радиус описанной окружности.

    Высота в равнобедренном треугольнике

    Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

    Высота в прямоугольном треугольнике

    Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

    1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

    2. Через стороны треугольника

    Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

    Высота в равностороннем треугольнике

    Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

    Примеры задач

    Задача 1
    Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

    Решение
    В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

    Задача 2
    Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

    Решение
    Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

    Урок геометрии: как найти по формуле периметр треугольника

    Одной из базовых геометрических фигур является треугольник. Он образуется при пересечении трех отрезков прямых. Данные отрезки прямых формируют стороны фигуры, а точки их пересечения называются вершинами. Каждый школьник, изучающий курс геометрии, обязан уметь находить периметр этой фигуры. Полученное умение будет полезным для многих и во взрослой жизни, к примеру, пригодится студенту, инженеру, строителю, дизайнеру.

    Существуют разные способы найти периметр треугольника. Выбор необходимой для вас формулы зависит от имеющихся исходных данных. Чтобы записать данную величину в математической терминологии используют специальное обозначение – Р. Рассмотрим, что такое периметр, основные способы его расчета для треугольных фигур разных видов.

    1. Классическая формула
    2. Альтернативный вариант
    3. Периметр по двум сторонам
    4. Равнобедренный треугольник
    5. Полезное видео: задачи на периметр труегольника
    6. Треугольник прямоугольный
    7. Расчет через высоту
    8. Полезное видео: нахождение периметра треугольника

    Классическая формула

    Самым простым способом найти периметр фигуры, если есть данные всех сторон. В этом случае используется следующая формула:

    Буквой «P» обозначается сама величина периметра. В свою очередь «a», «b» и «c» – это длины сторон.

    Зная размер трех величин, достаточно будет получить их сумму, которая и является периметром.

    Это интересно! Что значит вертикально и как выглядит вертикальная линия

    Альтернативный вариант

    В математических задачах все данные длины редко бывают известны. В таких случаях рекомендуется воспользоваться альтернативным способом поиска нужной величины. Когда в условиях указана длина двух прямых, а также угол, находящийся между ними, расчет производится через поиск третьей. Для поиска этого числа необходимо добыть квадратный корень по формуле:

    .

    Далее рассчитывайте Р по такой формуле:

    .

    Периметр по двум сторонам

    Для расчета периметра не обязательно знать все данные геометрической фигуры. Рассмотрим способы расчета по двум сторонам.

    Это интересно! Основы геометрии: что это такое биссектриса треугольника

    Равнобедренный треугольник

    Равнобедренным называется такой треугольник, не меньше двух сторон которого имеют одинаковую длину. Они называются боковыми, а третья сторона – основанием. Равные прямые образовывают вершинный угол. Особенностью в равнобедренном треугольнике является наличие одной оси симметрии. Ось – вертикальная линия, выходящая из вершинного угла и заканчивающаяся посредине основания. По своей сути ось симметрии включает в себя такие понятия:

    • биссектриса вершинного угла,
    • медиана к основанию,
    • высота треугольника,
    • срединный перпендикуляр.
    Читайте также  Как отбеливать перекисью водорода

    Чтобы определить периметр равнобедренного вида треугольной фигуры, воспользуйтесь формулой.

    В данном случае вам необходимо знать только две величины: основание и длину одной стороны. Обозначение «2а» подразумевает умножение длины боковой стороны на 2. К полученной цифре нужно добавить величину основания – «b».

    В исключительном случае, когда длина основания равнобедренного треугольника равна его боковой прямой, можно воспользоваться более простым способом. Он выражается в следующей формуле:

    Для получения результата достаточно умножить это число на три. Эта формула используется для того, чтобы найти периметр правильного треугольника.

    Это интересно! Изучаем символы: как обозначается в математике площадь

    Полезное видео: задачи на периметр труегольника

    Треугольник прямоугольный

    Главным отличием прямоугольного треугольника от других геометрических фигур этой категории является наличие угла 90°. По этому признаку и определяется вид фигуры. Прежде, чем определить, как найти периметр прямоугольного треугольника, стоит заметить, что данная величина для любой плоской геометрической фигуры составляет сумму всех сторон. Так и в этом случае самый простой способ узнать результат – суммировать три величины.

    В научной терминологии те стороны, которые прилегают к прямому углу, имеют название «катеты», а противоположная к углу 90º – гипотенуза. Особенности этой фигуры исследовались еще древнегреческим ученым Пифагором. Согласно с теоремой Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

    .

    На основании данной теоремы выведена еще одна формула, объясняющая, как найти периметр треугольника по двум известным сторонам. Рассчитать периметр при указанной длине катетов можно, используя следующий способ.

    .

    Чтобы узнать периметр, имея информацию о размере одного катета и гипотенузы, нужно определить длину второй гипотенузы. С этой целью используют такие формулы:

    .

    Также периметр описанного вида фигуры определяется и без данных о размерах катетов.

    .

    Вам потребуется знать длину гипотенузы, а также угол, прилегающий к ней. Зная длину одного из катетов, если имеется угол, прилегающий к нему, периметр фигуры рассчитывают по формуле:

    .

    Это интересно! Как найти и чему будет равна длина окружности

    Расчет через высоту

    Рассчитать периметр таких категорий, как равнобедренные и прямоугольные треугольники, можно через показатель их средней линии. Как известно, высота треугольника разделяет его основание пополам. Таким образом, она образует две прямоугольных фигуры. Далее, нужный показатель вычисляется при помощи теоремы Пифагора. Формула будет иметь следующий вид:

    .

    Если известна высота и половина основания, используя этот способ, вы получите нужное число без поиска остальных данных о фигуре.

    Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: