Как найти обратную матрицу

Обратная матрица

Определение:
Обратная матрица — такая матрица [math]A^<-1>[/math] , при умножении на которую, исходная матрица [math]A[/math] даёт в результате единичную матрицу [math]E[/math] [math]! AA^ <-1>= A^<-1>A = E[/math]

Содержание

  • 1 Обратимость в алгебре
  • 2 Критерий обратимости матрицы
  • 3 Свойства обратной матрицы
  • 4 Методы нахождения обратной матрицы
    • 4.1 Метод Гаусса для нахождения обратной матрицы
      • 4.1.1 Пример
    • 4.2 Метод присоединенной матрицы
      • 4.2.1 Алгоритм получения обратной матрицы
  • 5 Ссылки
  • 6 Источники

Обратимость в алгебре [ править ]

Определение:
Пусть [math]X[/math] — алгебра над [math]F[/math] . [math]e in X[/math] называется единицей [math]X[/math] , если [math]forall x in X: e*x=x*e=x[/math] , причем [math]e[/math] единственна
Определение:
Пусть в алгебре [math]X: x*y=e[/math] , тогда [math]X[/math] называется левым обратным по отношению к [math]y[/math] , а [math]y[/math] — правым обратным по отношению к [math]x[/math]
Определение:
Пусть [math]z in X[/math] . Левый обратный элементу [math]z[/math] , являющийся одновременно и правым обратным к нему, называется обратным и обозначается [math]z^<-1>[/math] . При этом сам элемент называется обратимым.

[math]xz=e, x[/math] — левый обратный

[math]zy=e, y[/math] — правый обратный.

Тогда [math]z[/math] обратим, при этом [math]z^<-1>=x=y[/math] и [math]z^ <-1>— ![/math]

Факт 1. [math]x cdot z cdot y=(x cdot z) cdot y=e cdot y=y[/math] , но [math]x cdot z cdot y=x cdot (z cdot y)=x cdot e=x Rightarrow x=y[/math] , тогда по определению [math]z^<-1>=x=y[/math] .

Факт 2. Пусть [math]exists z^<-1>, tilde^<-1>[/math]

Критерий обратимости матрицы [ править ]

Шаг 1. Если матрица [math]A[/math] обратима, то [math]AB = E[/math] для некоторой матрицы [math]B[/math] . Тогда, если квадратные матрицы одного и того же порядка, то [math]det AB = det A cdot det B[/math] :

[math]1 = det E = det AB = det A cdot det B[/math] , следовательно, [math]det A neq 0, det B neq 0[/math] .

Шаг 2. Докажем обратное утверждение. Пусть [math]det A ne 0[/math] .

1) Докажем существование правой обратной матрицы [math]B[/math] .

Предположим [math]exists B: AB=E[/math] , где [math]A=Vert alpha_^ Vert, B=Vert beta_^ Vert, E=Vert delta_^ Vert[/math]

[math]AB=E: sumlimits_^ alpha_^ beta_^=delta_^, (i,k=1..n)[/math] , фиксируем [math]k[/math] , тогда:

[math](beta_^<1>. beta_^)^T rightarrow (xi^1. xi^n)^T[/math] , тогда получим, что [math]sumlimits_^ alpha_^ xi^=delta_^ Rightarrow A=Vert alpha_^ Vert [/math] — матрица системы уравнений, так как [math]det A ne 0[/math] , то по Крамеру [math]exists! (xi^1. xi^n)^T[/math]

В итоге для всех [math]k[/math] получим матрицу [math]B[/math] , что и требовалось.

2) Докажем существование левой обратной матрицы [math]C[/math] .

Предположим [math]exists C: CA=E Rightarrow sumlimits_^ gamma_^alpha_^=delta_^[/math]

Фиксируем [math]i[/math] , тогда [math](gamma_<1>^. gamma_^) rightarrow (xi_1. xi_n)[/math] ,получаем заполнение по строчкам, аналогично первому пункту показываем [math]exists C[/math] .

Свойства обратной матрицы [ править ]

  • [math]det A^ <-1>= frac<1>[/math]
  • [math] (AB)^ <-1>= B^<-1>A^<-1>[/math]
  • [math] (A^T)^ <-1>= (A^<-1>)^T[/math]
  • [math] (kA)^ <-1>= k^<-1>A^<-1>[/math]

Методы нахождения обратной матрицы [ править ]

Метод Гаусса для нахождения обратной матрицы [ править ]

Возьмём две матрицы: саму [math]A[/math] и [math]E[/math] . Приведём матрицу [math]A[/math] к единичной матрице методом Гаусса. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной [math]A^-1[/math] .

Пример [ править ]

Найдем обратную матрицу для матрицы

[math] A = begin 2 & -1 & 0 \ -1 & 2 & -1 \ 0 & -1 & 2 end. [/math]

  • 1) Для начала убедимся, что ее определитель не равен нулю(она невырожденная).
  • 2) Справа от исходной матрицы припишем единичную.

[math] [ A | I ] = left[ begin2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\ -1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\ 0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 end right]. [/math]

  • 3) Методом Гаусса приведем левую матрицу к единичной, применяя все операции одновременно и к левой, и к правой матрицам.

[math] [ I | B ] = left[ begin1 & 0 & 0 & frac<3><4>& frac<1><2>& frac<1><4>\[3pt] 0 & 1 & 0 & frac<1><2>& 1 & frac<1><2>\[3pt] 0 & 0 & 1 & frac<1><4>& frac<1><2>& frac<3><4>end right]. [/math]

  • 4) [math]A^ <-1>= B[/math]

Метод присоединенной матрицы [ править ]

Определение:
Присоединенная(союзная, взаимная) матрица — матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов исходной матрицы.

Алгебраическим дополнением элемента [math] a_[/math] матрицы [math] A[/math] называется число

где [math] M_[/math] — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы [math] A[/math] путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.

[math]M_ = detbegin a_ <11>& a_ <12>& cdots & a_ <1(j-1)>& a_ <1(j+1)>& cdots & a_ <1n>\ vdots & vdots & ddots & vdots & vdots & ddots & vdots \ a_ <(i-1)1>& a_ <(i-1)2>& cdots & a_ <(i-1)(j-1)>& a_ <(i-1)(j+1)>& cdots & a_ <(i-1)n>\ a_ <(i+1)1>& a_ <(i+1)2>& cdots & a_ <(i+1)(j-1)>& a_ <(i+1)(j+1)>& cdots & a_ <(i+1)n>\ vdots & vdots & ddots & vdots & vdots & ddots & vdots \ a_ & a_ & cdots & a_ & a_ & cdots & a_ \ end[/math]

Нахождение обратной матрицы

В данной публикации мы рассмотрим, что такое обратная матрица, а также на практическом примере разберем, как ее можно найти с помощью специальной формулы и алгоритма последовательных действий.

  • Определение обратной матрицы
  • Алгоритм нахождения обратной матрицы

Определение обратной матрицы

Для начала вспомним, что из себя представляют обратные значения в математике. Допустим, у нас есть число 7. Тогда обратное ему будет равняться 7 -1 или 1 /7. Если умножить данные числа, в результате получится один, т.е. 7 · 7 -1 = 1.

Почти то же самое и с матрицами. Обратной называется такая матрица, умножив которую на исходную, мы получим единичную. Обозначается она как A -1 .

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Для нахождения обратной матрицы нужно уметь вычислять определитель матрицы, а также иметь навыки выполнения определенных действий с ними.

Сразу отметить, что найти обратную можно только для квадратной матрицы, а делается это по формуле ниже:

| A | – определитель матрицы;
A T M – транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Примечание: если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует.

Пример
Давайте найдем для матрицы A ниже обратную ей.

Решение
1. Для начала найдем определитель заданной матрицы.

2. Теперь составим матрицу миноров, которая имеет те же самые размеры, что и исходная:

Нам нужно выяснить, какие числа должны стоять на месте звездочек. Начнем с верхнего левого элемента матрицы. Минор к нему находится путем зачеркивания строки и столбца, в котором он находится, т.е. в обоих случаях под номером один.

Число, которое останется после зачеркивания, и является требуемым минором, т.е. .

Аналогичным образом находим миноры для оставшихся элементов матрицы и получаем такой результат.

3. Определяем матрицу алгебраических дополнений. Как их посчитать для каждого элемента мы рассмотрели в отдельной публикации.

Например, для элемента a11 алгебраическое дополнение считается так:

4. Выполняем транспонирование полученной матрицы алгебраических дополнений (т. е. поменяем столбцы и строки местами).

5. Остается только воспользоваться формулой выше, чтобы найти обратную матрицу.

Ответ можем оставить в таком виде, не деля элементы матрицы на число 11, так как в этом случае получится некрасивые дробные числа.

Проверка результата

Чтобы убедиться в том, что мы получили обратную исходной матрицу, мы можем найти их произведение, которое должно равняться единичной матрице.

В результате мы получили единичную матрицу, значит все сделали верно.

Алгоритм вычисления обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений: метод присоединённой (союзной) матрицы.

Матрица $A^<-1>$ называется обратной по отношению к квадратной матрице $A$, если выполнено условие $A^<-1>cdot A=Acdot A^<-1>=E$, где $E$ – единичная матрица, порядок которой равен порядку матрицы $A$.

Невырожденная матрица – матрица, определитель которой не равен нулю. Соответственно, вырожденная матрица – та, у которой равен нулю определитель.

Обратная матрица $A^<-1>$ существует тогда и только тогда, когда матрица $A$ – невырожденная. Если обратная матрица $A^<-1>$ существует, то она единственная.

Есть несколько способов нахождения обратной матрицы, и мы рассмотрим два из них. На этой странице будет рассмотрен метод присоединённой матрицы, который полагается стандартным в большинстве курсов высшей математики. Второй способ нахождения обратной матрицы (метод элементарных преобразований), который предполагает использование метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана, рассмотрен во второй части.

Метод присоединённой (союзной) матрицы

Пусть задана матрица $A_$. Для того, чтобы найти обратную матрицу $A^<-1>$, требуется осуществить три шага:

  1. Найти определитель матрицы $A$ и убедиться, что $Delta Aneq 0$, т.е. что матрица А – невырожденная.
  2. Составить алгебраические дополнения $A_$ каждого элемента матрицы $A$ и записать матрицу $A_^<*>=left(A_ right)$ из найденных алгебраических дополнений.
  3. Записать обратную матрицу с учетом формулы $A^<-1>=frac<1>cdot >^T$.

Матрицу $>^T$ часто именуют присоединённой (взаимной, союзной) к матрице $A$.

Если решение происходит вручную, то первый способ хорош лишь для матриц сравнительно небольших порядков: второго (пример №2), третьего (пример №3), четвертого (пример №4). Чтобы найти обратную матрицу для матрицы высшего порядка, используются иные методы. Например, метод Гаусса, который рассмотрен во второй части.

Найти матрицу, обратную к матрице $A=left( begin 5 & -4 &1 & 0 \ 12 &-11 &4 & 0 \ -5 & 58 &4 & 0 \ 3 & -1 & -9 & 0 end right)$.

Так как все элементы четвёртого столбца равны нулю, то $Delta A=0$ (т.е. матрица $A$ является вырожденной). Так как $Delta A=0$, то обратной матрицы к матрице $A$ не существует.

Ответ: матрицы $A^<-1>$ не существует.

Найти матрицу, обратную к матрице $A=left(begin -5 & 7 \ 9 & 8 endright)$. Выполнить проверку.

Используем метод присоединённой матрицы. Сначала найдем определитель заданной матрицы $A$:

$$ Delta A=left| begin -5 & 7\ 9 & 8 endright|=-5cdot 8-7cdot 9=-103. $$

Так как $Delta A neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения каждого элемента заданной матрицы:

Составляем матрицу из алгебраических дополнений: $A^<*>=left( begin 8 & -9\ -7 & -5 endright)$.

Транспонируем полученную матрицу: $>^T=left( begin 8 & -7\ -9 & -5 endright)$ (полученная матрица часто именуется присоединённой или союзной матрицей к матрице $A$). Используя формулу $A^<-1>=frac<1>cdot >^T$, имеем:

$$ A^<-1>=frac<1><-103>cdot left( begin 8 & -7\ -9 & -5 endright) =left( begin -8/103 & 7/103\ 9/103 & 5/103 endright) $$

Итак, обратная матрица найдена:

$$A^<-1>=left( begin -8/103 & 7/103\ 9/103 & 5/103 endright).$$

Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^<-1>cdot A=E$ или $Acdot A^<-1>=E$. Проверим выполнение равенства $A^<-1>cdot A=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^<-1>$ не в форме $left( begin -8/103 & 7/103\ 9/103 & 5/103 endright)$, а в виде $-frac<1><103>cdot left( begin 8 & -7\ -9 & -5 endright)$:

Проверка пройдена успешно, обратная матрица $A^<-1>$ найдена верно.

Ответ: $A^<-1>=left( begin -8/103 & 7/103\ 9/103 & 5/103 endright)$.

Найти обратную матрицу для матрицы $A=left( begin 1 & 7 & 3 \ -4 & 9 & 4 \ 0 & 3 & 2end right)$. Выполнить проверку.

Начнём с вычисления определителя матрицы $A$. Итак, определитель матрицы $A$ таков:

$$ Delta A=left| begin 1 & 7 & 3 \ -4 & 9 & 4 \ 0 & 3 & 2end right| = 18-36+56-12=26. $$

Так как $Delta Aneq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения каждого элемента заданной матрицы:

Составляем матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем её:

Используя формулу $A^<-1>=frac<1>cdot >^T$, получим:

$$ A^<-1>=frac<1><26>cdot left( begin 6 & -5 & 1 \ 8 & 2 & -16 \ -12 & -3 & 37end right)= left( begin 3/13 & -5/26 & 1/26 \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ -6/13 & -3/26 & 37/26 end right) $$

Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^<-1>cdot A=E$ или $Acdot A^<-1>=E$. Проверим выполнение равенства $Acdot A^<-1>=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^<-1>$ не в форме $left( begin 3/13 & -5/26 & 1/26 \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ -6/13 & -3/26 & 37/26 end right)$, а в виде $frac<1><26>cdot left( begin 6 & -5 & 1 \ 8 & 2 & -16 \ -12 & -3 & 37end right)$:

$$ Acdot> =left( begin 1 & 7 & 3 \ -4 & 9 & 4\ 0 & 3 & 2end right)cdot frac<1><26>cdot left( begin 6 & -5 & 1 \ 8 & 2 & -16 \ -12 & -3 & 37end right) =frac<1><26>cdotleft( begin 26 & 0 & 0 \ 0 & 26 & 0 \ 0 & 0 & 26end right) =left( begin 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1end right) =E $$

Проверка пройдена успешно, обратная матрица $A^<-1>$ найдена верно.

Ответ: $A^<-1>=left( begin 3/13 & -5/26 & 1/26 \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ -6/13 & -3/26 & 37/26 end right)$.

Найти матрицу, обратную матрице $A=left( begin 6 & -5 & 8 & 4\ 9 & 7 & 5 & 2 \ 7 & 5 & 3 & 7\ -4 & 8 & -8 & -3 end right)$.

Для матрицы четвёртого порядка нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений несколько затруднительно. Однако такие примеры в контрольных работах встречаются.

Чтобы найти обратную матрицу, для начала нужно вычислить определитель матрицы $A$. Лучше всего в данной ситуации это сделать с помощью разложения определителя по строке (столбцу). Выбираем любую строку или столбец и находим алгебраические дополнения каждого элемента избранной строки или столбца.

Например, для первой строки получим:

Определитель матрицы $A$ вычислим по следующей формуле:

А далее продолжаем находить алгебраические дополнения:

Матрица из алгебраических дополнений:

$$A^*=left(begin 556 & -300 & -536 & -112\ -77 & 50 & 87 & 4 \ -93 & 50 & 83 & 36\ 473 & -250 & -463 & -96endright)$$

$$^T=left(begin 556 & -77 & -93 & 473\ -300 & 50 & 50 & -250 \ -536 & 87 & 83 & -463\ -112 & 4 & 36 & -96endright)$$

$$ A^<-1>=frac<1><100>cdot left( begin 556 & -77 & -93 & 473\ -300 & 50 & 50 & -250 \ -536 & 87 & 83 & -463\ -112 & 4 & 36 & -96 end right)= left( begin 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 end right) $$

Проверка, при желании, может быть произведена так же, как и в предыдущих примерах.

Ответ: $A^<-1>=left( begin 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 end right)$.

Во второй части будет рассмотрен иной способ нахождения обратной матрицы, который предполагает использование преобразований метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана.

Обратная матрица.

Обратная матрица — это матрица A −1 , при умножении на которую заданная начальная матрица A даёт в итоге единичную матрицу E:

Метод обратной матрицы.

Метод обратной матрицы – это один из самых распространенных методов решения матриц и применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в случаях, когда число неизвестных соответствует количеству уравнений.

Суть метода обратной матрицы.

Пусть есть система n линейных уравнений с n неизвестными:

Такую систему можно записать как матричное уравнение A* X = B,

где – матрица системы,

– столбец неизвестных,

– столбец свободных коэффициентов.

Из выведенного матричного уравнения выражаем X путем умножения обеих частей матричного уравнения слева на A -1 , в результате чего имеем:

A -1 * A * X = A -1 * B

Зная, что A -1 * A = E, тогда E * X = A -1 * B либо X = A -1 * B.

Следующим шагом определяется обратная матрица A -1 и умножается на столбец свободных членов B.

Обратная матрица к матрице A существует лишь тогда, когда det A ≠ 0. Ввиду этого при решении СЛАУ методом обратной матрицы первым делом находится det A. Если det A ≠ 0, то у системы есть только одно решение, которое можно получить методом обратной матрицы, если же det A = 0, то такая система методом обратной матрицы не решается.

Решение обратной матрицы.

Последовательность действий для решения обратной матрицы:

  1. Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
  2. Получаем определитель матрицы A. Если определитель больше нуля, решаем обратную матрицы дальше, если он равен нулю, то здесь обратную матрицу найти не удастся.
  3. Находим транспонированную матрицу AT.
  4. Ищем алгебраические дополнения, после чего заменяем все элементы матрицы их алгебраическими дополнениями.
  5. Собираем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы полученной матрицы делим на определитель исходно заданной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно исходной.
  6. Проверяем выполненную работу: умножаем начальную и полученную матрицы, результатом должна стать единичная матрица.

Приведенный ниже алгоритм решения обратной матрицы по сути такой же, как и приведенный выше, разница только в нескольких шагах: первым делом определяем алгебраические дополнения, а уже после этого вычисляем союзную матрицу C.

  1. Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
  2. Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
  3. Вычисляем алгебраические дополнения.
  4. Составляем союзную (взаимную, присоединённую) матрицу C.
  5. Составляем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы присоединённой матрицы C делим на определитель начальной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно заданной.
  6. Проверяем выполненную работу: умножаем начальную и полученную матрицы, результатом должна стать единичная матрица.

Нахождение обратной матрицы.

Нахождение обратной матрицы – это лучше всего делать с помощью присоединённой матрицы.

Теорема: Если к квадратной матрице с правой стороны приписать единичную матрицу такого же порядка и при помощи элементарных преобразований над строками преобразовать начальную матрицу, стоящую слева, в единичную, то полученная с правой стороны будет обратной к начальной.

Пример нахождения обратной матрицы.

Задание. Для матрицы найти обратную методом присоединенной матрицы.

Решение. Дописываем к заданной матрице А справа единичную матрицу 2го порядка:

Из 1й строки вычитаем 2ю:

От второй строки отнимаем 2 первых:

1ю и 2ю строки меняем местами:

От 2й строки отнимаем 2 первых:

Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке добавляем 2ю:

Итак, слева имеем единичную матрицу, а, значит, матрица, которая стоит справа, будет обратной к заданной изначально.

Т.о., имеем .

Ответ после нахождения обратной матрицы:

Замечание. Если на каком-либо этапе в «левой» матрице образуется нулевая строка, значит, что заданная изначально не имеет обратной.

Как найти обратную матрицу?

Для любой невырожденной матрицы А существует и притом единственная матрица A -1 такая, что

где E — единичная матрица тех же порядков, что и А. Матрица A -1 называется обратной к матрице A.

Если кто-то забыл, в единичной матрице, кроме диагонали, заполненной единицами, все остальные позиции заполнены нулями, пример единичной матрицы:

Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы

Обратная матрица определяется формулой:

Т.е. для вычисления обратной матрицы, нужно вычислить определитель этой матрицы. Затем найти алгебраические дополнения для всех её элементов и составить из них новую матрицу. Далее нужно транспортировать эту матрицу. И каждый элемент новой матрицы поделить на определитель исходной матрицы.

Рассмотрим несколько примеров.

Найти A -1 для матрицы

Р е ш е н и е. Найдём A -1 методом присоединённой матрицы. Имеем det A = 2. Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы A. В данном случае алгебраическими дополнениями элементов матрицы будут соответствующие элементы самой матрицы, взятые со знаком в соответствии с формулой

Имеем A11 = 3, A12 = -4, A21 = -1, A22 = 2. Образуем присоединённую матрицу

Транспортируем матрицу A*:

Находим обратную матрицу по формуле:

Методом присоединённой матрицы найти A -1 , если

Р е ш е н и е. Прежде всего вычисляем определитесь данной матрицы, чтобы убедиться в существовании обратной матрицы. Имеем

Здесь мы прибавили к элементам второй строки элементы третьей строки, умноженные предварительно на (-1), а затем раскрыли определитель по второй строке. Так как определитесь данной матрицы отличен от нуля, то обратная к ней матрица существует. Для построения присоединённой матрицы находим алгебраические дополнения элементов данной матрицы. Имеем

В соответствии с формулой

транспортируем матрицу A*:

Тогда по формуле

Нахождение обратной матрицы методом элементарных преобразований

Кроме метода нахождения обратной матрицы, вытекающего из формулы (метод присоединенной матрицы), существует метод нахождения обратной матрицы, называемый методом элементарных преобразований.

Элементарные преобразования матрицы

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1) перестановка строк (столбцов);

2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.

Для нахождения матрицы A -1 построим прямоугольную матрицу В = (А|Е) порядков (n; 2n), приписывая к матрице А справа единичную матрицу Е через разделительную черту:

Далее, с помощью элементарных преобразований над строками, приводим матрицу В к виду (Е|А-1), что всегда возможно, если матрица А невырождена.

Методом элементарных преобразований найти A -1 , если

Р е ш е н и е. Образуем матрицу B:

Обозначим строки матрицы B через α1, α2, α3. Произведём над строками матрицы B следующие преобразования:

В результате последнего получаем

Нахождение обратных матриц в wxMaxima и Maxima

Для нахождения обратных матриц в wxMaxima и Maxima используется функция invert:

Эта функция равнозначна возведению матрицы в степень -1 (M^^-1).

Ещё одна функция в wxMaxima и Maxima для нахождения обратных матриц — invert_by_adjoint. Она находит обратную матрицу методом присоединения.

Также можно упомянуть функцию invert_by_lu, которая находит обратную матрицу используя LU-факторизацию.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: