Как найти фокус эллипса

Эллипс

Определение эллипса.

Напомним, что мы назвали эллипсом линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
frac>>+frac>>=1label
$$
при условии (a geq b > 0).

Из уравнения eqref следует, что для всех точек эллипса (|x| leq a) и (|y| leq b). Значит, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами (2a) и (2b).

Точки пересечения эллипса с осями канонической системы координат, имеющие координаты ((a, 0)), ((-a, 0)), ((0, b)) и ((0, -b)), называются вершинами эллипса. Числа (a) и (b) называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Рис. 8.1. Эллипс

В каноническое уравнение входят только квадраты координат. Поэтому, если координаты ((x, y)) какой-либо точки /(M) ему удовлетворяют, то ему удовлетворяют и координаты ((-x, y)), ((x, -y)) и ((-x, -y)) точек (M_<1>), (M_<2>) и (M_<3>) (рис. 8.1). Следовательно, справедливо следующее утверждение.

Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипса, а начало канонической системы — его центром симметрии.

Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса (a) с центром в центре эллипса: (x^<2>+y^<2>=a^<2>). При каждом (x) таком, что (|x| Рис. 8.2. Сжатие окружности к эллипсу. Ординаты всех точек уменьшаются в отношении (b/a).

Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.

У эллипса есть две замечательные точки, которые называются его фокусами.

Фокусами называются точки (F_<1>) и (F_<2>) с координатами ((c, 0)) и ((-c, 0)) в канонической системе координат (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Фокусы эллипса.

Для окружности (c=0), и оба фокуса совпадают с центром. Ниже мы будем предполагать, что эллипс не является окружностью.

Отметим, что (varepsilon Утверждение 2.

Расстояние от произвольной точки (M(x, y)), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов (рис. 8.3) является линейной функцией от ее абсциссы (x):
$$
r_<1>=|F_<1>M|=a-varepsilon x, r_<2>=|F_<2>M|=a+varepsilon x.label
$$

Очевидно, что (r_<1>^<2>=(x-c)^<2>+y^<2>). Подставим сюда выражение для (y^<2>), найденное из уравнения эллипса. Мы получим
$$
r_<1>^<2>=x^<2>-2cx+c^<2>+b^<2>-fracx^<2>>>.nonumber
$$

Учитывая равенство eqref, это можно преобразовать к виду
$$
r_<1>^<2>=a^<2>-2cx+fracx^<2>>>=(a-varepsilon x)^<2>.nonumber
$$
Так как (x leq a) и (varepsilon Утверждение 3.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса (2a).

Необходимость. Если мы сложим равенства eqref почленно, то увидим, что
$$
r_<1>+r_<2>=2a.label
$$
Достаточность. Пусть для точки (M(x, y)) выполнено условие eqref, то есть
$$
sqrt<(x-c)^<2>+y^<2>>=2a-sqrt<(x+c)^<2>+y^<2>>.nonumber
$$
Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены:
$$
xc+a^<2>=asqrt<(x+c)^<2>+y^<2>>.label
$$
Это равенство также возведем в квадрат и приведем подобные члены, используя соотношение eqref. Мы придем к (b^<2>x^<2>+a^<2>y^<2>=a^<2>b^<2>), равносильному уравнению эллипса eqref.

Рис. 8.4. Фокусы и директрисы эллипса.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса (varepsilon).

Уравнение касательной к эллипсу.

Выведем уравнение касательной к эллипсу, заданному каноническим уравнением. Пусть (M_<0>(x_<0>, y_<0>)) — точка на эллипсе и (y_ <0>neq 0). Через (M_<0>) проходит график некоторой функции (y=f(x)), который целиком лежит на эллипсе. (Для (y_ <0>> 0) это график (f_<1>(x)=bsqrt<1-x^<2>/a^<2>>), для (y_ <0>Утверждение 5.

Касательная к эллипсу в точке (M_<0>(x_<0>, y_<0>)) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.

Рис. 8.5.

Эллипс и его свойства

Содержание статьи:

  • Определение и элементы эллипса
  • Определение эллипса
  • Элементы линии эллипс
    • Фокусы эллипса
    • Оси линии эллипс
    • Полуоси эллипса
    • Фокусное расстояние
    • Фокальные радиусы
    • Центр линии эллипс
    • Вершины
    • Фокальный параметр
  • Основные свойства эллипсa
  • Уравнение
    • Каноническое
    • Параметрическое
    • В полярных координатах
  • Радиус круга вписанного в эллипс
  • Радиус круга описанного вокруг эллипсa
  • Как построить эллипс
  • Эксцентриситет
  • Директрисы
  • Периметр эллипсa
  • Площадь эллипса и его сегмента
  • Решение задач на эллипс

Определение и элементы эллипса

Определение. Эллипс — это замкнутая плоская кривая, которая имеет уравнение x²/a²+y²/b²=1. Это каноническое уравнение эллипса, в нем координатные оси совпадают с осями эллипса.

Он имеет два фокуса. Это такие точки, сумма расстояний от которых до любой P(x,y) есть постоянная величина. Эллипс также можно описать как пересечение плоскости и кругового цилиндра.

Эллипс

Элементы:

  • F1 , F2фокусы . F1 = ( c ; 0); F 2 (- c ; 0)
  • A1 A2большая ось эллипса;
  • B1 B2малая ось эллипса;
  • О — центр эллипса (пересечения малой и большой осей);
  • A1, A2, B1, B2вершины эллипса;
  • Диаметр эллипса — отрезок, соединяющий две точки эллипса и проходящий через O;
  • с – фокусное расстояние, половина расстояния между F1 и F2;
  • a – большая полуось эллипса;
  • b – малая полуось эллипса;
  • r1 и r2фокальные радиусы эллипса;
  • Фокальный параметр p = b 2 /a — отрезок, который соединяет фокус фигуры и точку на кривой, перпендикулярен ее большей оси.

Теорема. Фокусное расстояние c и полуоси эллипса связаны соотношением:

Доказательство: В случае, если М лежит на пересечении кривой с вертикальной осью, r1 + r2 = 2*(по теореме Пифагора). В случае, если М — пересечение его с горизонтальной осью, r1 + r2 = а – c + а + c. Т.к. по определению сумма r1 + r 2 – постоянна, то , приравнивая, получаем:

Основные свойства эллипсa

  1. Угол между касательной к эллипсу и фокальным радиусом r1 равен углу между касательной и радиусом r2. Лучи, выпущенные из одного фокуса, после отражения соберутся во втором фокусе.
  2. Уравнение касательной к эллипсу в М с координатами (xM, yM): .
  3. Если две параллельные прямые пересекают эллипс, то отрезок соединяющий середины отрезков образовавшихся при пересечении прямых и эллипса, всегда будет проходить через (.) O эллипсa. (Это свойство дает возможность находить центр эллипса.)
  4. При равенстве полуосей эллипс превращается в окружность.
  5. Эллипс это коническое сечение. Он может быть получен как пересечение плоскости с конусом.

Уравнение

  1. Каноническое уравнение в декартовой системе координат, центр в начале координат, большая ось на оси абсцисс: . Эллипс — кривая второго порядка. Координаты x и y входят только в четных степенях, поэтому эллипс симметричен относительно осей координат. Оси координат пересекают эллипс в A1(-a,0), A2(a,0), B1(0,-b), B2(0,b). Эллипс лежит в прямоугольнике 2a и 2b.
  2. Центр смещен в ( xo, yo):
  3. Параметрическое: , где 0 ≤ α ≤ 2 π.
  4. В полярной системе координат: , где полюс полярной системы координат левый фокус F1, полярная ось луч F1 , F2, p = b²/a фокальный параметр.

Радиус круга вписанного в эллипс

Круг, вписанный в эллипс касается только двух вершин эллипсa B1 и B2. Соответственно, радиус вписанного круга будет равен длине малой полуоси эллипсa r = b.

Радиус круга описанного вокруг эллипсa

Круг, описанный вокруг эллипсa касается только двух вершин эллипсa A1 и A2. Соответственно, радиус описанного круга R будет равен длине большой полуоси эллипсa R = a.

Как построить эллипс

П е р в ы й с п о с о б.

Сумма расстояний от любой точки эллипсa до его фокусов величина постоянная равная 2а.

  1. Иголки втыкаем в фокусы F1 , F2.
  2. К иголкам привязываем нитку длинной 2а.
  3. Нитку оттягиваем карандашом и чертим.
Читайте также  Как читать строительные чертежи

В т о р о й с п о с о б.

Проводим две концентрические окружности радиуса a и b.
Через центр О проводим произвольный луч ON.
Через точки K и M, в которых луч ON пересекает окружности, проводим прямые соответственно параллельные осям Ox и Oy.
Точка их пересечения L — точка искомого эллипса.
Меняя направление луча ON, получим новые точки эллипсa.

Эксцентриситет эллипса

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая равна отношению е = с/a называется эксцентриситетом, характеризует вытянутость фигуры. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем линия больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.

Т.к. с 2 = 16; y = -4.

  • Координаты фокуса: с² = а² – b² = 25 – 16 = 9; с = 3; F1 (-3; 0).
  • Прямая, проходящей через две точки:
  • Пример 2. Дана кривая 9x 2 + 25y 2 = 225. Найти: 1) показать, что это эллипс, найти его полуоси 2) эксцентриситет 3) директрисы.

    Разделим обе стороны на 225

    сократим на 225

    Следовательно, 1) полуоси a = 5, b = 3, 2) F1(-c, 0), F2(c, 0) с определим из равенства b 2 = a 2 — c 2 , c 2 = a 2 — b 2 = 25 — 9 = 16, c = 4, поэтому левый фокус F1(-4, 0), правый F2(4, 0).

    4) уравнение директрис x = ±a/e =±5*5/4=±25/4.

    Пример 3. Эксцентриситет e = 1/3, центр его совпадает с началом координат, F1 (-2;0). Вычислить расстояние от точки M1 с абсциссой, равной 2, до директрисы, односторонней с данным фокусом.

    Т.к. F1 (-2;0), то с = 2. Зная с и e = 1/3, определим а. e = c/a, а = c/е = 2*3=6. Уравнение директрисы x = -а/e = -6*3 = -18. Точка M1 имеет координату х = 2. Следовательно, d = |-18|+2=20.

    Пример 4. Определить точки эллипса x 2 /100+y 2 /36 =1, расстояние от которых до F2 равно 14.

    a = 10, b = 6, c 2 = а 2 — b 2 = 100 -36 = 64 = 8 2 . Найдем эксцентриситет е = c/а = 8/10 = 4/5. Используем формулу для r2 = а — еx, 14 = 10 — 4/5*x, отсюда х = -5. Подставим в исходное координату х и найдем у = ±√27 = ±3√3. Условиям задачи удовлетворяют точки (-5; 3√3) и (-5; -3√3).

    Автор статьи Степанов Владимир

    Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи

    Понятие о кривых второго порядка

    Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

    Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

    ,

    где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

    При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

    Эллипс, заданный каноническим уравнением

    Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

    Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.

    Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

    ,

    где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

    Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

    Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

    Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a , а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

    Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.

    Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

    Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.

    Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

    Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5 , меньшая полуось — это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

    .

    Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где

    ,

    называются фокусами.

    называется эксцентриситетом эллипса.

    Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

    Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

    Решение. Делаем несложные умозаключения:

    — если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

    — если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

    Подставляем и вычисляем:

    Результат — каноническое уравнение эллипса:

    .

    Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .

    Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

    .

    Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

    Составляем каноническое уравнение эллипса:

    Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .

    Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

    .

    Получаем фокусы эллипса:

    Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение

    Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

    1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34

    2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)

    3) эксцентриситет , а один из фокусов находится в точке (6; 0)

    Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

    Если — произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

    .

    Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

    Прямые, определяемые уравнениями

    ,

    называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).

    Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса

    ,

    где и — расстояния этой точки до директрис и .

    Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.

    Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:

    .

    Получаем уравнение директрис эллипса:

    Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .

    Читайте также  Как снять головокружение

    Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

    .

    Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

    Уравнение эллипса готово:

    Пример 9. Проверить, находится ли точка на эллипсе . Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

    Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

    .

    Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

    Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:

    Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

    ,

    так как из исходного уравнения эллипса .

    Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

    Эллипс — свойства, уравнение и построение фигуры

    Среди центральных кривых второго порядка особое место занимает эллипс, близкий к окружности, обладающий похожими свойствами, но всё же уникальный и неповторимый.

    Определение и элементы эллипса

    Множество точек координатной плоскости, для каждой из которых выполняется условие: сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, называется эллипсом.

    По форме график эллипса представляет замкнутую овальную кривую:

    Наиболее простым случаем является расположение линии так, чтобы каждая точка имела симметричную пару относительно начала координат, а координатные оси являлись осями симметрии.

    Отрезки осей симметрии, соединяющие две точки эллипса, называются осями. Различаются по размерам (большая и малая), а их половинки, соответственно, считаются полуосями.

    Точки эллипса, являющиеся концами осей, называются вершинами.

    Расстояния от точки на линии до фокусов получили название фокальных радиусов.

    Расстояние между фокусами есть фокальное расстояние.

    Отношение фокального расстояния к большей оси называется эксцентриситетом. Это особая характеристика, показывающая вытянутость или сплющенность фигуры.

    Основные свойства эллипса

    имеются две оси и один центр симметрии;

    при равенстве полуосей линия превращается в окружность;

    все точки фигуры лежат внутри прямоугольника со сторонами, равными большой и малой осям эллипса, проходящими через вершины параллельно осям.

    Уравнение эллипса

    Пусть линия расположена так, чтобы центр симметрии совпадал с началом координат, а оси – с осями координат.

    Для составления уравнения достаточно воспользоваться определением, введя обозначение:

    а – большая полуось (в наиболее простом виде её располагают вдоль оси Оx) (большая ось, соответственно, равна 2a);

    c – половина фокального расстояния;

    M(x;y) – произвольная точка линии.

    В этом случае фокусы находятся в точках F1(-c;0); F2(c;0)

    После ввода ещё одного обозначения

    получается наиболее простой вид уравнения:

    a 2 b 2 — a 2 y 2 — x 2 b 2 = 0,

    a 2 b 2 = a 2 y 2 + x 2 b 2 ,

    Параметр b численно равен полуоси, расположенной вдоль Oy (a > b).

    В случае (b b) формула эксцентриситета (ε) принимает вид:

    Чем меньше эксцентриситет, тем более сжатым будет эллипс.

    Площадь эллипса

    Площадь фигуры (овала), ограниченной эллипсом, можно вычислить по формуле:

    a – большая полуось, b – малая.

    Площадь сегмента эллипса

    Часть эллипса, отсекаемая прямой, называется его сегментом.

    Длина дуги эллипса

    Длина дуги находится с помощью определённого интеграла по соответствующей формуле при введении параметра:

    Радиус круга, вписанного в эллипс

    В отличие от многоугольников, круг, вписанный в эллипс, касается его только в двух точках. Поэтому наименьшее расстояние между точками эллипса (содержащее центр) совпадает с диаметром круга:

    Радиус круга, описанного вокруг эллипса

    Окружность, описанная около эллипса, касается его также только в двух точках. Поэтому наибольшее расстояние между точками эллипса совпадает с диаметром круга:

    Онлайн калькулятор позволяет по известным параметрам вычислить остальные, найти площадь эллипса или его части, длину дуги всей фигуры или заключённой между двумя заданными точками.

    Как построить эллипс

    Построение линии удобно выполнять в декартовых координатах в каноническом виде.

    Строится прямоугольник. Для этого проводятся прямые:

    Сглаживая углы, проводится линия по сторонам прямоугольника.

    Полученная фигура есть эллипс. По координатам отмечается каждый фокус.

    При вращении вокруг любой из осей координат образуется поверхность, которая называется эллипсоид.

    3. Аналитическая геометрия на плоскости

    3.5 Эллипс

    Выпишем еще раз каноническое уравнение эллипса, begin frac+frac=1, label end

    см. соответствующий рисунок 5.

    При каноническом описании полагают, что $a>b>0$. Заметим, что если $a=b$, то эллипс превращается в окружность. Точки $(a,0), , (-a,0), , (0, b),, (0, -b)$ называют вершинами эллипса, параметр $a$ — большая полуось, параметр $b$ — малая полуось. Далее, вводят параметр $c=sqrt$, точки $(c,0), , (-c,0)$ называют фокусами эллипса. Величину $varepsilon = c/a$ называют эксцентриситетом эллипса. Она характеризует вытянутость эллипса. Из определений следует, что для эллипса $0 leq varepsilon leq 1$.

    &nbsp

    Рис 5: Эллипс и его директрисы.

    Опишем сначала элементарные свойства эллипса, следующие непосредственно из канонического уравнения (19).

    1. Из этого уравнения следует, что если точка $(x,y)$ принадлежит эллипсу, то выполняются неравенства $|x| leq a $, $|y| leq b$. Таким образом, все точки эллипса лежат в этом прямоугольнике (конечном!).

    2. Так как переменные $x,y$ входят в уравнение эллипса только в квадратах, то из того, что $(x,y)$ лежат на эллипсе следует, что точки $(pm x, , pm y)$ также лежат на эллипсе при любом выборе знаков. Это означает, что эллипс симметричен при отражении относительной осей координат и имеет центр симметрии, точку $O$.

    Эллипс можно описать как геометрическое место точек. Для этого соединим точку $M$, лежащую на эллипсе, с фокусами. Соответствующие отрезки называются фокальными радиусами точки (см. рис. 5, отрезки $r_1, , r_2$).

    Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее фокальных радиусов равнялась $2a$, begin r_1+r_2=2a. label end

    1. Достаточность. Из рисунка получаем: [ r_1=sqrt<(x+c)^2+y^2>, quad r_2=sqrt<(x-c)^2+y^2>, ] так что выполняется условие [ sqrt<(x+c)^2+y^2>+sqrt<(x-c)^2+y^2>=2a. ] Покажем, что отсюда следует, что $(x,y)$ удовлетворяет уравнению (19). Надо избавиться от корней. Для этого перенесем один из корней направо и возведем в квадрат. Раскрывая скобки, получаем: [ x^2+2xc+c^2+y^2=4a^2-4asqrt<(x-c)^2+y^2>+x^2-2xc+c^2+y^2. ] Сокращая подобные члены и деля на 4, получаем: [ asqrt<(x-c)^2+y^2>=a^2-xc. ] Возводя еще раз в квадрат, приходим к формуле: [ a^2(x^2-2xc+c^2+y^2)=a^4-2a^2xc+x^2c^2. ] Сокращая еще раз подобные члены, получаем: [ (a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2). ] Подставляя $c^2=a^2-b^2$, получаем соотношение, только множителем отличающееся от соотношения (19).

    2. Необходимость. Пусть выполняется (19), вычислим $r_1$. Имеем: [ r_1=sqrt<(x+c)^2+y^2>=sqrt<(x+c)^2+b^2-frac>= ] [ sqrt>=sqrt+2xc+a^2>=a+varepsilon x. ] Вычисление $r_2$ по этой схеме приводит к результату (имеется отличие только в одном знаке!) $r_2=a-varepsilon x$, из свойств эллипса следует, что в правой части — положительное число. Складывая, получаем (20). ч.т.д. Имеется еще одно описание эллипса. Введем т.н. директрисы эллипса — прямые $x=pm a/varepsilon$, см. рис. 2.

    Читайте также  Как разобрать ноутбук Asus

    Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния от этой точки до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы было равно эксцентриситету эллипса, begin r_2/d_2=varepsilon. (21) label end &nbsp

    1. Достаточность. Пусть $r_2=varepsilon d_2$. Из рисунка следует, что $d_2=a/ varepsilon -x$, так что [ sqrt<(x-c)^2+y^2>=a-varepsilon x. ] Возводя в квадрат, получаем: [ x^2+2xc+c^2+y^2=a^2+2varepsilon x+varepsilon ^2x^2. ] Приводя подобные члены и учитывая явное выражение для $varepsilon $, получаем: [ frac+y^2=b^2. ] Это соотношение, после домножения на подходящий множитель, переходит в (19).

    2. Необходимость. Пусть точка $(x,y)$ лежит на эллипсе, т.е. выполняется уравнение (19). Как было показано при доказательстве предыдущей теоремы, мы получаем $r_2=a-varepsilon x$. Из рисунка: $d_2=a / varepsilon -x$. Делим одно на другое — получаем (21). ч.т.д.

    Пусть известно следующее: расстояния одного из фокусов эллипса до концов большой оси равны 7 и 1. Составим уравнение этого эллипса. Указанные расстояния равны $a+c$ и $a-c$ соответственно, так что имеем: $a=4$, $c=3$. Далее, $c=sqrt$, откуда $b=sqrt<16-9>=sqrt<7>$. В итоге получаем уравнение эллипса:

    Решение типовых задач.

    Дано уравнение эллипса $x^2+4y^2=25$. Вычислить длину его полуосей, координаты фокусов и эксцентриситет.

    Приведем уравнение эллипса к каноническому виду: [ frac<25>+frac<4y^2><25>=1 ] или [ frac<5^2>+frac<(frac<5><2>)^2>=1 ] Отсюда получим, что длина большой полуоси $a=5$, длина малой полуоси $b=frac<5><2>$. Найдем параметр $c$: [ c=sqrt=sqrt<5^2-left(frac<5><2>right)^2>=frac<5><2>sqrt<3>. ] Тогда точки фокуса имеют координаты $left(-frac<5><2>sqrt<3>,0 right)$ и $left( frac<5><2>sqrt<3>,0 right)$ . Эксцентриситет равен $varepsilon = frac=frac<2>> <5>= frac<1><2>$.

    Написать уравнение эллипса с фокусами $C_1(-7;0)$ и $C_2 (7;0)$, проходящего через точку $textbf (-2;12)$.

    Найдем фокальные радиусы точки $textbf $: [ r_1 = |MC_1| = sqrt<(-7-(-2))^2+(0-12)^2>=13, ] [ r_2 = |MC_2| = sqrt<(7-(-2))^2+(0-12)^2>=15. ] Согласно приведенной выше теореме, сумма фокальных радиусов равна длине большой оси эллипса: $r_1+r_2=2a$, следовательно, в нашем случае имеем $13+15=2a$. Значит длина большой полуоси $a=14$. Длину малой полуоси найдем из равенства $c=sqrt$. Тогда [ b=sqrt=sqrt<14^2-7^2>= 7 sqrt<3>. ] Таким образом, каноническое уравнение эллипса с заданными условиями есть [ frac<196>+frac<147>=1 ]

    В эллипс $frac<49>+frac<24>=1$ вписан прямоугольник, две противоположные стороны которого проходят через фокусы. Вычислить площадь этого прямоугольника.

    Исходя из условия, можно утверждать, что одна из сторон вписанного в эллипс прямоугольника равна $2c$, где $c=sqrt=sqrt<49-24>=5$. Длина другой стороны есть длина хорды, перпендикулярной оси абсцисс и проходящей через фокус эллипса, т.е. соответсвующей уравнению $x=5$. Подставив в уравнение эллипса $x=5$, получим [ frac<5^2><49>+frac<24>=1 ] Отсюда $y^2=frac<24^2><49>$, тогда $y=pm frac<24><7>$. Вторая сторона прямоугольника равна $2|y|$. Тогда искомая площадь равна [ S=2c cdot 2|y| = 10 cdot frac<48> <7>= 68 frac<4><7>. ]

    1. Дано уравнение эллипса $25x^2+169y^2=4225$. Вычислить длину его осей, координаты фокусов и эксцентриситет.

    2. Составить простейшее уравнение эллипса, у которого сумма полуосей и расстояние между фокусами равны 8.

    3. В эллипс [ frac<49>+frac<24>=1 ] вписан прямоугольник, противоположные стороны которого проходят через фокусы. Вычислить его площадь.

    4. На эллипсе [ frac<30>+frac<9y^2><24>=1 ] найти точку, расстояние которой от оси $y$ равно пяти.

    5. Эллипс, оси которого совпадают с осями координат, проходит через точки $М(2, 30.5)$ и $N(0, 2)$. Написать его уравнение и найти фокальные радиусы точки М.

    6. Составить простейшее уравнение эллипса, проходящего через точки $M(sqrt<3>, -2)$ и $N(-2sqrt<3>,1)$.

    7. Написать уравнение эллипса, если расстояние между директрисами равно 12, а большая полуось равна $2sqrt<3>$.

    8. В эллипс [ frac<36>+frac<9>=1 ] вписан правильный треугольник, одна из вершин которого совпадает с правой вершиной большой оси. Найти координаты двух других вершин треугольника.

    9. На эллипсе [ frac<100>+frac<36>=1 ] найти точку, расстояние которой от правого фокуса в 4 раза больше расстояния от левого фокуса.

    10. Дан эллипс [ frac<9>+frac<4>=1. ] Через точку $(1,1)$ провести хорду, делящуюся в этой точке пополам.

    Кривые второго порядка

    Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:

    Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах — при вторых степенях одновременно не нули.

    или можно встретить следующую форму записи:

    К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

    Покажем на примере определение значений коэффициентов.

    Рассмотрим кривую второго порядка:

    Вычислим определитель из коэффициентов:

    Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,

    если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,

    если Δ F1 и F2 — фокусы.

    с — фокальное расстояние,

    Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат:

    2а — большая ось эллипса, 2b — малая ось эллипса.

    а — большая полуось эллипса, b — малая полуось эллипса.

    Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b:

    Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x;y), оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

    Эксцентриситет — число, равное отношению фокального расстояния к большей полуоси:

    Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут.

    Гипербола — множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками.

    с — фокальное расстояние,

    Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.

    Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат:

    x — действительная ось, y — мнимая ось.

    а — действительная полуось, b — мнимая полуось.

    Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x;y), оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид:

    Эксцентриситет гиперболы — число, равное отношению фокусного расстояния к действительной полуоси.

    Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох.

    Директриса гиперболы — прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящая от нее на расстоянии a/Ε.

    f1 — правая директриса, f2 — левая директриса.

    Порядок построения гиперболы :

    1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b.

    2. Провести асимптоты гиперболы — диагонали построенного прямоугольника.

    3. Строим гиперболу с вершинами в точках А 1 (-а;0), А 2 (а;0).

    Парабола — множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f.

    F — фокус параболы, f — директриса параболы.

    Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: